《高等數(shù)學1試題微積分》(共7頁)

精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)高等數(shù)學高等數(shù)學一填空題（本題共 5 小題，每小題 4 分，共 20 分）;1.設0 x1x0 xef(x) x，則f(x)的一個原函數(shù)是.2.曲線12x11y與x軸、y軸和直線4x 所圍成的面積是.3.已知曲線f(x)y 上的任一點f(x)(x,的切線斜率是2x41，而且曲線經(jīng)過定點(2,0)，則曲線方程.4.1xx12x4xf(x)234在上的零點有個.5.已知(1) f存在，且1xdx)f(e lim3 x0 2x0 x，則(1) f.二選擇題（本題共 5 小題，每小題 4 分，共 20 分）1.已知F(x)具有二階連續(xù)導數(shù)(x)F，則下面正確的是（）A. F(x)dF(x)B.1dx(x)Fxdx(x)FdC.CF(x)(x)dFD.C(x)FF(x)(x)dxF(x)F2.1 -n 1 ini 2nen2lim（）A.2 0 xdx e 2B.1 0 x2dx e 2C.2 0 x2dx e D.1 0 x2dx e 3.已知F(x)的一階導數(shù)(x)F在上連續(xù)，且0F(0) ，則0 x(t)dt xFd（）A.(x)dxxFB.(x)dxxFC.(x)dxxFF(x)D.(x)dxxFF(x)4.設f(x)的導數(shù)在x=a處連續(xù)，又xa( )lim1fxxa ，則（）精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)A.x=a是f(x)的極小值點B.x=a是f(x)的極大值點C.(a,f(a)是曲線y=f(x)的拐點D.x=a不是f(x)的極值點，(a,f(a)也不是曲線y=f(x)的拐點。5. 設0 x1x 0 xef(x)sin x，那么 x1 f(t)dtF(x)在點0 x 處（）A.其連續(xù)性無法判定。B.是可導的。C.是連續(xù)的，但不可導。D.是不連續(xù)的。三計算題（本題共 6 小題，共 38 分）1. 求3)1(x1x1)(xx1)sin(xelim3。(6 分)2. 求拋物線22yax的曲率半徑。(6 分)3. 求函數(shù)x9)3x(xf(x)2的極值和拐點。(6 分)4.已知函數(shù)0 x 2x2x10 xx)2x)(1(11f(x)22，求2 0 x)dxf(1 。(6 分)5.求 1 101xxdx 。(7 分)6.設f(x)可導，0f(0) ，若1 0 1 0 2f(x)dx 2xxf(x)f(tx)dt R)x( ，求f(x)。(7 分)四. 證明題（22 分）1.證明：當20,x時，x21cosx。 （6 分）2.設f(x)在1,2上連續(xù)，在(1,2)內(nèi)可導，且0f(2) ，證明：至少存在一點(1,2)，使得0)f()ln( f 。(8 分)3.設f(x)在)0,上連續(xù)且單調(diào)減少，試證明對任何0ab，皆有：b a b 0 a 0 f(x)dx af(x)dx b21 xf(x)dx。（8 分）精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)高等數(shù)學高等數(shù)學一填空題（本題共 5 小題，每小題 4 分，共 20 分）1. 0 x1xx21 0 x e F(x)2x2.2ln23.82xarctan21f(x)4.2523二選擇題（本題共 5 小題，每小題 4 分，共 20 分）1-5.DBDBC三計算題（本題共 8 小題，共 38 分）1.解一：3)1(x1x1)(xx1)sin(xelim33x0 xx1xsinxelim3333330 xx1x)(xx3!1x()x(x1limoo65解二：3)1(x1x1)(xx1)sin(xelim33x0 xx1xsinxelim32x20 x3x1xcose3xlim36xxsin6xee9xlim33xx40 x6xxsin6xelim3x0 x652.解：2232, 22,aayaxyyayyyy ，則22 3 222 3 2(1)()yakyay，故22 3 221()ayRka。3.解：0 x9x 3xx0 x9x 3x xf(x)2323當0 x 時1)3)(x-3(x96x3x(x) f2，1)6(x6x6(x) f令0(x) f，得f(x)的駐點：3x1，精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)令0(x) f，得f(x)的可疑拐點：1x2，當0 x 時1)3)(x-3(x96x3x(x) f2，1)6(x6x6(x) f令0(x) f，得f(x)的駐點：1x3，令0(x) f，f(x)沒有可疑拐點，0 x4是f(x)的不可導點又當1x時，0(x) f，當0 x1時，0(x) f，當3x0時，0(x) f，當3x 時，0(x) f，1x3，3x1是f(x)的極小點，極小值是51)f(和27f(3)0 x4是f(x)的極大點，極大值是0f(0) 又當0 x 時，0(x) f，當1x0時，0(x) f，當1x 時，0(x) f，點(0,0)和點11)(1,是f(x)的拐點。4.解：2 0 x)dxf(1 1 1 f(x)dx 1 0 f(x)dx 0 1 f(x)dx 1 0 f(x)dx 1 0 2dxx)2x)(1(11 1 0 2dxx)(11x122x14 1 0 x11x)2ln(12x)2ln(121ln2)2(ln321232ln精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)0 1 f(x)dx 0 1 2dx22xx1 0 12) 2x2x1ln(x)2ln(1所以2 0 x)dxf(1 21232ln)2ln(15.解： 1 101xxdx 1 0 104t1dtt 1 0 105t1)d(t 511 0 5)arcsin(t51106. 解：記1 0 f(x)dx a，那么當0 x 時，1 0 1 0 2f(x)dx 2xxf(x)f(tx)dt x0 22axxf(x)f(u)du x1 x0 232axxxf(x)f(u)du 兩邊求導，得：ax4x3(x) xff(x)f(x)2ax43x(x) f2所以4ax)dx(3xf(x)2C232axx又0f(0) ，f(x)可導必連續(xù)，從而得0C 所以23ax2xf(x)于是兩邊求定積分，得：1 0 21 0 3dx x2adx xa43a 所以23x23xf(x)四、證明題（22 分）1. 證一：令1x2cosxf(x)則0)2f(f(0)，f(x)在20,上連續(xù)，且2sinx(x) f，令0(x) f，得駐點2arcsin)2, 0(當 x0時，0(x) f，f(x)單調(diào)增加，當 x0時，0f(0)f(x)又當2x時，0(x) f，f(x)單調(diào)減少，精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)當2x時，0)2f(f(x)綜上所述，當20,x時，0f(x) ，即x21cosx。證二：令1x2cosxf(x)則0)2f(f(0)，f(x)在20,上連續(xù)，且2sinx(x) f，cosx(x) f)2, 0( x0(x) f f(x)在20,上是向上凸的，當20,x時，0)2f(minf(0),f(x)，即得：當20,x時，x21cosx。2.證：令f(x)lnxF(x) ，f(x)、lnx在1,2上連續(xù)，在(1,2)內(nèi)可導， F(x)在1,2上連續(xù)，在(1,2)內(nèi)可導，根據(jù)拉格朗日中值定理，至少存在一點(1,2)，使得：1)-)(2( FF(1)F(2).(*)又x1f(x)(x)lnx f(x) F，0f(2) （或直接在1,2上應用羅爾定理即可證得。 ）1)f()ln( f)( F，0F(1)F(2)由(*)式可得 ：01)f()ln( f，即0)f()ln( f 所以，至少存在一點(1,2)，使得0)f()ln( f 。3. 證：令f(x)dx af(x)dx u21 xf(x)dxF(u)u 0 a 0 u a 0)(a，則f(x)在)0,上連續(xù)， F(u)在)0,上可導，又顯然有0F(a) 。對F(u)求導，得：當0u 時uf(u)21f(x)dx 21uf(u)(u) Fu 0 精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)u 0 f(x)dx 21uf(u)21f(x)dxf(u) 21u 0 f(x)在)0,上單調(diào)減少，當xu 時，0f(x)f(u)，所以0f(x)dxf(u) 21(u) Fu 0 從而，F(xiàn)(u)在)0,上是單調(diào)減少的，于是當0ab時，有：0F(a)F(b)，即：b a b 0 a 0 f(x)dx af(x)dx b21 xf(x)dx。