高考數學復習：第七章 ：第三節(jié)空間、線、面之間的位置關系演練知能檢測

△+△2019年數學高考教學資料△+△ 第三節(jié)　空間點、線、面之間的位置關系 [全盤鞏固] 1．若空間三條直線a，b，c滿足a⊥b，b⊥c，則直線a與c(　　) 　 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　 A．一定平行 B．一定相交 C．一定是異面直線 D．平行、相交或異面都有可能 解析：選D　當a，b，c共面時，a∥c；當a，b，c不共面時，a與c可能異面也可能相交．[來源:] 2．以下四個命題中， ①不共面的四點中，其中任意三點不共線； ②若點A、B、C、D共面，點A、B、C、E共面，則A、B、C、D、E共面； ③若直線a、b共面，直線a、c共面，則直線b、c共面； ④依次首尾相接的四條線段必共面． 其中正確命題的個數是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：選B?、僦校僭O存在三點共線，則這四點必共面，與題設矛盾，故①正確； ②中，若A、B、C三點共線，則A、B、C、D、E有可能不共面，故②錯誤； ③中，如圖所示正方體的棱中，a、b共面，a、c共面，而b、c異面，故③錯誤； ④中，空間四邊形的四條線段不共面，故④錯誤，故選B. 3．l1，l2，l3是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是(　　) A．l1⊥l2，l2⊥l3?l1⊥l3 B．l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3 C．l1∥l2∥l3?l1，l2，l3共面 D．l1，l2，l3共點?l1，l2，l3共面 解析：選B　A選項，l1⊥l2，l2⊥l3，則l1與l3的位置關系可能是相交、平行或異面；B選項正確；C選項，l1∥l2∥l3，則l1、l2、l3既可能共面，也可能異面；D選項，如長方體共頂點的三條棱為l1、l2、l3，但這三條直線不共面． 4．在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，既與AB共面又與CC1共面的棱的條數為(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：選C　由條件知，與AB和CC1都相交的棱有BC；與AB相交且與CC1平行的棱有AA1，BB1；與AB平行且與CC1相交的棱有CD，C1D1，故符合條件的棱共有5條． 5．已知直線a和平面α，β，α∩β＝l，a?α，a?β，且a在α、β內的射影分別為直線b和c，則直線b和c的位置關系是(　　) A．相交或平行 B．相交或異面[來源:] C．平行或異面 D．相交、平行或異面 解析：選D　依題意，直線b和c的位置關系可能是相交、平行或異面． 6．(2014杭州模擬)如圖，平面α與平面β交于直線l，A，C是平面α內不同的兩點，B，D是平面β內不同的兩點，且A，B，C，D不在直線l上，M，N分別是線段AB，CD的中點．下列判斷正確的是(　　) A．若AB與CD相交，且直線AC平行于l時，則直線BD與l可能平行也有可能相交 B．若AB，CD是異面直線，則直線MN可能與l平行 C．若存在異于AB，CD的直線同時與直線AC，MN，BD都相交，則AB，CD不可能是異面直線 D．M，N兩點可能重合，但此時直線AC與l不可能相交 解析：選D　A錯誤，若AB與CD相交，則AB，CD共面，當AC∥l時，則AC∥平面β，經過AC的平面ABCD與平面β的交線為BD，則AC∥BD，又AC∥l，故BD∥l；B錯誤，采用反證法，假定直線MN∥l，連接AD，取AD的中點G，連接MG，NG，由于MG∥BD，又MN∥l，由面面平行的推論可證得平面MGN∥平面β，故l∥平面β，易推理AC∥平面β，因為直線AC與l共面且平行同一平面MGN，故AC∥l，又MN∥l，故AC∥MN，此時易證A，B，C，D四點共面，與AB與CD異面不符合，故MN與直線l不可能平行；C錯誤，存在，如經過點N的直線可與AB與CD相交，此時AB，CD可以為異面直線；D正確，若M，N兩點重合，即AC與BD交于一點且相互平分，故四邊形ABCD為平行四邊形，即AC∥BD，易證得直線AC∥平面β，又直線l?β，故AC與直線l必無公共點，即兩直線不可能相交，故選D. 7．對于空間三條直線，有下列四個條件： ①三條直線兩兩相交且不共點； ②三條直線兩兩平行； ③三條直線共點； ④有兩條直線平行，第三條直線和這兩條直線都相交． 其中使三條直線共面的充分條件有________． 解析：易知①中的三條直線一定共面；三棱柱三側棱兩兩平行，但不共面，故②錯；三棱錐三側棱交于一點，但不共面，故③錯；④中兩條直線平行可確定一個平面，第三條直線和這兩條直線相交于兩點，則第三條直線也在這個平面內，故三條直線共面． 答案：①④ 8．已知a，b為不垂直的異面直線，α是一個平面，則a，b在α上的射影可能是： ①兩條平行直線； ②兩條互相垂直的直線； ③同一條直線； ④一條直線及其外一點． 在上面結論中，正確的是________(寫出所有正確結論的序號)． 解析：只有當a∥b時，a，b在α上的射影才可能是同一條直線，故③錯，其余都有可能． 答案：①②④ 9．設a，b，c是空間中的三條直線，下面給出五個命題： ①若a∥b，b∥c，則a∥c； ②若a⊥b，b⊥c，則a∥c； ③若a與b相交，b與c相交，則a與c相交；[來源:] ④若a?平面α，b?平面β，則a，b一定是異面直線； ⑤若a，b與c成等角，則a∥b. 其中正確的命題是________(只填序號)．[來源:數理化網] 解析：由公理4知①正確； 當a⊥b，b⊥c時，a與c可以相交、平行，也可以異面，故②不正確； 當a與b相交，b與c相交時，a與c可以相交、平行，也可以異面，故③不正確； a?α，b?β，并不能說明a與b“不同在任何一個平面內”，故④不正確； 當a，b與c成等角時，a與b可以相交、平行，也可以異面，故⑤不正確． 答案：① 10．已知正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別為D1C1、C1B1的中點，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求證： (1)D，B，F，E四點共面； (2)若A1C交平面DBFE于R點，則P，Q，R三點共線． 證明： (1)如圖所示．[來源:] 因為E，F分別為D1C1，C1B1的中點， 所以EF是△D1B1C1的中位線， 所以EF∥B1D1. 在正方體ABCDA1B1C1D1中，B1D1∥BD， 所以EF∥BD. 所以EF，BD確定一個平面， 即D、B、F、E四點共面． (2)在正方體ABCDA1B1C1D1中，設A1A與CC1確定的平面為α，又設平面BDEF為β. 因為Q∈A1C1，所以Q∈α. 又Q∈EF，所以Q∈β，則Q是α與β的公共點， 同理，P點也是α與β的公共點，所以α∩β＝PQ. 又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α且R∈β， 則R∈PQ，故P、Q、R三點共線． 11．已知長方體ABCD A′B′C′D′中，AB＝4，BC＝3，AA′＝5，求異面直線D′B與AC所成角的余弦值． 解：法一：(平移法)如圖，在長方體ABCD A′B′C′D′中，連接BD交AC于點E，取DD′的中點F，連接EF，AF， 則EF∥D′B，EF=D′B, ∴∠FEA是D′B與AC所成的角， ∵AE＝＝， EF＝＝， AF＝ ＝， ∴在△FEA中，cos∠FEA＝＝. 法二：(補形法)如圖，在長方體的一旁補一個全等的長方體， 則BE∥AC,BE=AC. ∴∠D′BE(或其補角)是D′B與AC所成的角， ∵D′B＝5，BE＝5，D′E＝， ∴在△D′BE中， cos∠D′BE＝－， ∴D′B與AC所成角的余弦值為. 12.如圖所示，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在平面垂直，已知BC＝2AD＝4，∠ABC＝60，BF⊥AC. (1)求證：AC⊥平面ABF； (2)求異面直線BE與AF所成的角； (3)求該幾何體的表面積． 解：(1)證明：因為平面ADEF⊥平面ABCD，且交線為AD，AF⊥AD，AF?平面ADEF， 所以AF⊥平面ABCD. 又AC?平面ABCD，故AF⊥AC， 又BF⊥AC，AF∩BF＝F，AF，BF?平面ABF， 所以AC⊥平面ABF. (2)因為ADEF為正方形，所以DE∥AF， 所以DE與BE所成的角即為異面直線BE與AF所成的角． 連接BD，由(1)易知DE⊥BD. 在Rt△BDE中，DE＝2，BD＝2， 所以tan∠BED＝＝， 所以∠BED＝60， 即異面直線BE與AF所成的角為60. (3)由(1)知AF⊥平面ABCD，所以AF⊥AB， 所以AB＝BCcos 60＝2， 所以△ABF的面積S1＝|AF||AB|＝2. 同理△CDE的面積S2＝2. 等腰梯形BCEF的上底長為2，下底長為4，兩腰長均為2，則它的高為， 所以其面積S3＝(2＋4)＝3. 等腰梯形ABCD的上底長為2，下底長為4，兩腰長均為2，則它的高為， 所以其面積S4＝(2＋4)＝3. 故該幾何體的表面積 S＝S1＋S2＋S3＋S4＋4＝3＋3＋8. [沖擊名校] 1．設四面體的六條棱的長分別為1,1,1,1，和a，且長為a的棱與長為的棱異面，則a的取值范圍是(　　) A．(0, ) B．(0, ) C．(1, ) D．(1, ) 解析： 選A　如圖所示，AB＝，CD＝a，設點E為AB的中點，則ED⊥AB，EC⊥AB，則ED＝＝，同理EC＝.由構成三角形的條件知0<a<ED＋EC＝，所以0<a<. 2．(2013江西高考)如圖所示，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方體的六個面所在的平面與直線CE，EF相交的平面?zhèn)€數分別記為m，n，那么m＋n＝(　　) A．8 B．9 C．10 D．11 解析：選A　如圖所示，∵CE?平面ABPQ，CE∥平面A1B1P1Q1， ∴CE與正方體的其余四個面所在平面均相交，m＝4； ∵EF∥平面BPP1B1，且EF∥平面AQQ1A1， ∴EF與正方體的其余四個面所在平面均相交，n＝4，故m＋n＝8. [高頻滾動] 1．如圖是底面為正方形、一條側棱垂直于底面的四棱錐的三視圖，那么該四棱錐的直觀圖是下列各圖中的(　　) 解析：選D　根據正視圖為直角三角形及直角三角形的形狀，可排除A、B；根據側視圖的直角三角形形狀，可排除C；可驗證D符合題意． 2．一個幾何體的三視圖如圖所示，則它的體積為(　　) A. B. C．20 D．40 解析：選B　該空間幾何體是一個四棱錐，其直觀圖如圖所示． 故其體積為(1＋4)44＝. 高考數學復習精品 高考數學復習精品