高考數(shù)學(xué) 一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件北師大版理科： 第4章 平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 第2節(jié) 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示學(xué)案 理 北師大版

第二節(jié)　平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示 [考綱傳真]　(教師用書獨(dú)具)1.了解平面向量的基本定理及其意義.2.掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.3.會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算.4.理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件． (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第71頁(yè)) [基礎(chǔ)知識(shí)填充] 1．平面向量基本定理 (1)定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，存在唯一一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. (2)基底：不共線的向量e1，e2叫作表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底． 2．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 (1)向量加法、減法、數(shù)乘及向量的模 設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)， λa＝(λx1，λy1)，|a|＝. (2)向量坐標(biāo)的求法 ①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)． ②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1)， ||＝. 3．平面向量共線的坐標(biāo)表示 設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中a≠0，b≠0.a，b共線?x1y2－x2y1＝0. [知識(shí)拓展] 1．若a與b不共線，λa＋μb＝0，則λ＝μ＝0. 2．設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如果x2≠0，y2≠0，則a∥b?＝. [基本能力自測(cè)] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)平面內(nèi)的任何兩個(gè)向量都可以作為一組基底．(　　) (2)在△ABC中，設(shè)＝a，＝b，則向量a與b的夾角為∠ABC．(　　) (3)若a，b不共線，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，則λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　　) (4)平面向量的基底不唯一，只要基底確定后，平面內(nèi)的任何一個(gè)向量都可被這組基底唯一表示．(　　) (5)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件可表示成＝.(　　) (6)當(dāng)向量的起點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，向量的坐標(biāo)就是向量終點(diǎn)的坐標(biāo)．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)×　(6)√ 2．已知平面向量a＝(2，－1)，b＝(1,3)，那么|a＋b|等于 (　　) A．5　　 B． C． D．13 B　[因?yàn)閍＋b＝(2，－1)＋(1,3)＝(3,2)，所以|a＋b|＝＝.] 3．設(shè)e1，e2是平面內(nèi)一組基底，若λ1e1＋λ2e2＝0，則λ1＋λ2＝________. 0　[假設(shè)λ1≠0，由λ1e1＋λ2e2＝0，得e1＝－e2，∴e1與e2共線，這與e1，e2是平面內(nèi)一組基底矛盾，故λ1＝0，同理，λ2＝0，∴λ1＋λ2＝0.] 4．(20xx·全國(guó)卷Ⅱ)已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，則m＝________. －6　[∵a＝(m,4)，b＝(3，－2)，a∥b， ∴－2m－4×3＝0，∴m＝－6.] 5．(教材改編)已知?ABCD的頂點(diǎn)A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為________． (1,5)　[設(shè)D(x，y)，則由＝，得(4,1)＝(5－x,6－y)， 即解得] (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第72頁(yè)) 平面向量基本定理及其應(yīng)用 　(1)如圖4­2­1，在三角形ABC中，BE是邊AC的中線，O是BE邊的中點(diǎn)，若＝a，＝b，則＝(　　) 圖4­2­1 A．a(chǎn)＋b　 B．a(chǎn)＋b C．a(chǎn)＋b D．a(chǎn)＋b (2)在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點(diǎn)，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，則λ＋μ＝________. (1)D　(2)　[(1)∵在三角形ABC中，BE是AC邊上的中線， ∴＝. ∵O是BE邊的中點(diǎn)， ∴＝(＋)＝＋＝a＋b. (2)選擇，作為平面向量的一組基底，則＝＋，＝＋，＝＋， 又＝λ＋μ＝＋， 于是得解得 所以λ＋μ＝.] [規(guī)律方法]　平面向量基本定理應(yīng)用的實(shí)質(zhì)和一般思路 (1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算. (2)用向量基本定理解決問題的一般思路是先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決. [跟蹤訓(xùn)練]　如圖4­2­2，以向量＝a，＝b為鄰邊作?OADB，＝，＝，用a，b表示，，. 圖4­2­2 [解]　∵＝－＝a－b， ＝＝a－b， ∴＝＋＝a＋b. ∵＝a＋b， ∴＝＋＝＋ ＝＝a＋b， ∴＝－＝a＋b－a－b＝a－b. 綜上，＝a＋b，＝a＋b，＝a－b. 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 　已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．設(shè)＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b， (1)求3a＋b－3c； (2)求滿足a＝mb＋nc的實(shí)數(shù)m，n； (3)求M，N的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79140151】 [解]　由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)． (1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)， ∴解得 (3)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)．∵＝－＝3c， ∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ∴M(0,20)． 又∵＝－＝－2b， ∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N(9,2)，∴＝(9，－18)． [規(guī)律方法]　平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧 (1)利用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的法則來進(jìn)行求解，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo). (2)解題過程中，常利用“向量相等，則坐標(biāo)相同”這一結(jié)論，由此可列方程(組)進(jìn)行求解. [跟蹤訓(xùn)練]　(1)已知四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且＝2，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(　　) A．　　　 B． C．(3,2) D．(1,3) (2)在△ABC中，點(diǎn)P在BC上，且＝2，點(diǎn)Q是AC的中點(diǎn)，若＝(4,3)，＝(1,5)，則＝(　　) A．(－2,7) B．(－6,21) C．(2，－7) D．(6，－21) (1)A　(2)B　[(1)設(shè)D(x，y)，＝(x，y－2)，＝(4,3)， 又＝2，∴∴故選A． (2)∵＝2，∴＝3＝3(＋)．∵Q是AC的中點(diǎn)，∴＝2，又＝＋，∴＝3[＋2(＋)]＝(－6,21)．] 平面向量共線的坐標(biāo)表示 　已知a＝(1,0)，b＝(2,1)． (1)當(dāng)k為何值時(shí)，ka－b與a＋2b共線； (2)若＝2a＋3b，＝a＋mb，且A，B，C三點(diǎn)共線，求m的值． [解]　(1)∵a＝(1,0)，b＝(2,1)， ∴ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)， a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)， ∵ka－b與a＋2b共線， ∴2(k－2)－(－1)×5＝0， ∴k＝－. (2)＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)， ＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)． ∵A，B，C三點(diǎn)共線， ∴∥， ∴8m－3(2m＋1)＝0， ∴m＝. [規(guī)律方法]　1.向量共線的充要條件 (1)a∥b?a＝λb(b≠0)； (2)a∥b?x1y2－x2y1＝0(其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)).當(dāng)涉及向量或點(diǎn)的坐標(biāo)問題時(shí)一般利用(2)比較方便. 2.與向量共線有關(guān)的題型與解法 (1)證三點(diǎn)共線：可先證明相關(guān)的兩向量共線，再說明兩向量有公共點(diǎn)； (2)已知向量共線，求參數(shù)：可利用向量共線的充要條件列方程(組)求解. [跟蹤訓(xùn)練]　(1)(20xx·鄭州第二次質(zhì)量預(yù)測(cè))已知a＝(2，m)，b＝(1，－2)，若a∥(a＋2b)，則m的值是(　　) A．－4 B．1 C．0 D．－2 (2)已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(－k,10)，且A，B，C三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)k的值是________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79140152】 (1)A　(2)－　[(1)a＋2b＝(4，m－4)，由a∥(a＋2b)，得2(m－4)＝4m，m＝－4，故選A． (2)＝－＝(4－k，－7)， ＝－＝(－2k，－2)． ∵A，B，C三點(diǎn)共線， ∴，共線， ∴－2×(4－k)＝－7×(－2k)， 解得k＝－.]