人教版 高中數(shù)學(xué) 選修22 課時(shí)作業(yè)22

2019年編·人教版高中數(shù)學(xué) 課時(shí)作業(yè)(二十二) 一、選擇題 1．(2010·全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)a＝log32，b＝ln 2，c＝5－，則(　　) A．a(chǎn)＜b＜c　　　　　　　 B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a 答案　C 解析　a＝log32＝＜ln 2＝b，又c＝5－＝＜，a＝log32＞log3＝，因此c＜a＜b，故選C. 2．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，則(　　) A．a(chǎn)b≤ B．a(chǎn)b≥ C．a(chǎn)2＋b2≥2 D．a(chǎn)2＋b2≤3 答案　C 解析　由a＋b＝2，可得ab≤1. 又a2＋b2＝4－2ab，∴a2＋b2≥2. 3．(2010·福建卷)若向量a＝(x,3)(x∈R)，則“x＝4”是“|a|＝5”的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件 答案　A 解析　當(dāng)x＝4時(shí)，a＝(4,3)，則|a|＝5；若|a|＝5，則x＝±4.故“x＝4”是“|a|＝5”的充分而不必要條件． 4．a(chǎn)>0，b>0，則下列不等式中不成立的是(　　) A．a(chǎn)＋b＋≥2 B．(a＋b)(＋)≥4 C.≥a＋b D.≥ 答案　D 解析　∵a>0，b>0，∴≤. 二、填空題 5．設(shè)a>0，b>0，c>0，若a＋b＋c＝1，則＋＋的最小值為________． 答案　9 解析　∵a>0，b>0，c>0，a＋b＋c＝1， ∴＋＋＝＋＋ ＝3＋＋＋＋＋＋ ≥3＋2＋2＋2＝9. 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝時(shí)等號(hào)成立． 6．函數(shù)y＝f(x)在(0,2)上是增函數(shù)，y＝f(x＋2)是偶函數(shù)，則f(1)，f(2.5)，f(3.5)的大小關(guān)系是________． 答案　f(3.5)<f(1)<f(2.5) 解析　y＝f(x＋2)是偶函數(shù)，則x＝2是f(x)的對(duì)稱軸． 又f(x)在(0,2)上為增函數(shù)， ∴f(1)<f(1.5)＝f(2.5)，f(3.5)＝f(0.5)<f(1)． ∴f(3.5)<f(1)<f(2.5)． 7．已知a、b、u∈R＋，且＋＝1，則使得a＋b≥u恒成立的u的取值范圍是________． 答案　(－∞，16] 8．(2010·山東卷)已知x，y∈R＋，且滿足＋＝1，則xy的最大值為________． 答案　3 解析　因?yàn)?＝＋≥2＝2＝，所以xy≤3.當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝，y＝2時(shí)取等號(hào)，故xy的最大值為3. 9．(2010·浙江卷)若正實(shí)數(shù)x，y滿足2x＋y＋6＝xy，則xy的最小值是________． 答案　18 解析　由基本不等式，得xy≥2＋6，令＝t，得不等式t2－2t－6≥0，解得t≤－(舍去)或者t≥3，故xy的最小值為18. 10．(2010·安徽卷)若a>0，b>0，a＋b＝2，則下列不等式對(duì)一切滿足條件的a，b恒成立的是________(寫出所有正確命題的編號(hào))． ①ab≤1；②＋≤；③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3；⑤＋≥2. 答案?、佗邰? 解析　兩個(gè)正數(shù)，和為定值，積有最大值，即ab≤＝1，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)，故①正確；(＋)2＝a＋b＋2＝2＋2≤4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)，得＋≤2，故②錯(cuò)誤；由于≥＝1，故a2＋b2≥2成立，故③正確；a3＋b3＝(a＋b)(a2＋b2－ab)＝2(a2＋b2－ab)，∵ab≤1，∴－ab≥－1.又a2＋b2≥2，∴a2＋b2－ab≥1，∴a3＋b3≥2，故④錯(cuò)誤；＋＝(＋)＝1＋＋≥1＋1＝2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)，故⑤正確． 三、解答題 11．已知a、b、c∈R＋，求證： ≥. 證明　要證 ≥， 只需證≥()2， 只需證3(a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca， 只需證2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2bc＋2ca， 只需證(c－a)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0，而這是顯然成立的， 所以 ≥成立． 12．當(dāng)a≥2時(shí)，求證：－<－. 證明　方法一(分析法)： 要證：－<－， 只需證＋<＋， 只需證(＋)2<(＋)2， 只需證a＋1＋a－2＋2<a＋a－1＋2， 只需證<， 只需證(a＋1)(a－2)<a(a－1)， 即證－2<0，而－2<0顯然成立， 所以－<－成立． 方法二(綜合法)： ∵－＝， －＝， 又∵<， ∴－<＋. 13．已知a，b是正數(shù)，且a＋b＝1，求證：＋≥4. 證明　方法一：∵a，b是正數(shù)且a＋b＝1， ∴a＋b≥2，∴≤，∴ab≤，∴≥4. ∴＋＝＝≥4. 方法二：∵a，b是正數(shù)， ∴a＋b≥2>0，＋≥2>0. ∴(a＋b)(＋)≥4. 又a＋b＝1，∴＋≥4. 方法三：＋＝＋＝1＋＋＋1≥2＋2＝4. 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，取“＝”號(hào)． 14. 用向量法證明：已知四面體A－BCD，若AB⊥CD，AD⊥BC，則AC⊥BD. 證明　取向量、、為基向量． 則＝－，＝－， ＝－， ∵AB⊥CD，AD⊥BC， ∴·＝0，·＝0. ∴·(－)＝0，·(－)＝0. ∴·＝·，·＝·. ∴·＝·(－) ＝·－· ＝·－·＝0. ∴⊥，∴AC⊥BD. ?重點(diǎn)班·選做題 15．已知a>0，b>0，且a＋b＝1. 求證：(a＋)2＋(b＋)2≥. 證明　要證(a＋)2＋(b＋)2≥， 只需證(a2＋b2)＋(＋)＋4≥， 只需證(a2＋b2)＋(＋)≥. ∵a>0，b>0，且ab≤()2＝，∴≥4. ∴＋≥≥8. 又∵a2＋b2≥＝， ∴(a2＋b2)＋(＋)≥(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時(shí)等號(hào)成立)． ∴(a＋)2＋(b＋)2≥. 16．已知a＋b＝1，求證：(a＋)(b＋)≥. 證明　∵a＋b＝1，a>0，b>0，∴a＋b≥2. ∴ab≤. ∴(a＋)(b＋)－＝·－ ＝＝≥0. ∴(a＋)(b＋)≥. 1．設(shè)α，β，γ為平面，a，b為直線，給出下列條件： ①a?α，b?β，a∥β，b∥α；②α∥γ，β∥γ；③α⊥γ，β⊥γ； ④a⊥α，b⊥β，a∥b. 其中能使α∥β一定成立的條件是(　　) A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 答案　C 解析?、偃籀痢搔拢絣，a∥l，b∥l亦滿足，③α可與β相交，④??α∥β.故選C. 2．p＝＋，q＝·(m、n、a、b、c、d均為正數(shù))，則p、q的大小為(　　) A．p≥q B．p≤q C．p>q D．不確定 答案　B 解析　q＝≥＝＋＝p. 3．已知a、b、c、d∈R＋，且<，則(　　) A.<< B.<< C.<< D．以上均可能 答案　A 4．若實(shí)數(shù)a，b滿足0<a<b，且a＋b＝1，則下列四個(gè)數(shù)中最大的是(　　) A. B．2ab C．a(chǎn)2＋b2 D．a(chǎn) 答案　C 5．已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足a＋b＋c＝0，abc>0，則＋＋的值(　　) A．一定是正數(shù) B．一定是負(fù)數(shù) C．可能是零 D．正、負(fù)不能確定 答案　B 6．已知a>0，b>0，m＝lg，n＝lg，則m與n的大小關(guān)系為________． 答案　m>n 解析　因?yàn)?＋)2＝a＋b＋2>a＋b>0，所以>，所以m>n. 7．設(shè)a＝，b＝－，c＝－，則a，b，c的大小關(guān)系是________． 答案　a>c>b 8．已知a，b，c都是正實(shí)數(shù)，且ab＋bc＋ca＝1. 求證：a＋b＋c≥. 證明　考慮特征的結(jié)論“a＋b＋c≥”， 因?yàn)閍＋b＋c>0， 所以只需證明(a＋b＋c)2≥3， 即a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3. 又ab＋bc＋ca＝1， 所以只需證明a2＋b2＋c2≥1，即a2＋b2＋c2－1≥0.因?yàn)閍b＋bc＋ca＝1， 所以只需證明a2＋b2＋c2－(ab＋bc＋ca)≥0， 只需證明2a2＋2b2＋2c2－2(ab＋bc＋ca)≥0， 即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0. 由于任意實(shí)數(shù)的平方都非負(fù)，故上式成立． 所以a＋b＋c≥. 9．已知a>b>c，求證：＋≥. 證明　a>b>c?a－b>0，b－c>0? ?(a－c)(＋)≥2· 2＝4?＋≥. 10．已知a>b>0，求證：<－<. 證明　為了證明<－<， 只需證<a＋b－2<， 即證()2<(－)2<()2. ∵a>b>0，∴a－b>0，－>0. 只需證<－<， 即證<1<， 只需證1＋<2<1＋， 即證<1<，即證<1<. ∵a>b>0，∴<1<，∴原命題成立．