高考數學 一輪復習學案訓練課件北師大版理科： 課時分層訓練30 數列的概念與簡單表示法 理 北師大版

課時分層訓練(三十)　數列的概念與簡單表示法 A組　基礎達標 一、選擇題 1．下列數列中，既是遞增數列又是無窮數列的是(　　) A．1，，，，… B．－1，－2，－3，－4，… C．－1，－，－，－，… D．1，，，…， C　[根據定義，屬于無窮數列的是選項A，B，C，屬于遞增數列的是選項C，D，故同時滿足要求的是選項C.] 2．(20xx安徽黃山二模)已知數列{an}的前n項和為Sn，且a1＝2，an＋1＝Sn＋1(n∈N＋)，則S5＝(　　) A．31　　　　　　　 B．42 C．37 D．47 D　[∵an＋1＝Sn＋1(n∈N＋)，即Sn＋1－Sn＝Sn＋1(n∈N＋)，∴Sn＋1＋1＝2(Sn＋1)(n∈N＋)，∴數列{Sn＋1}為等比數列，其首項為3，公比為2.則S5＋1＝324，解得S5＝47.故選D.] 3．把3,6,10,15,21，…這些數叫作三角形數，這是因為以這些數目的點可以排成一個正三角形(如圖511)． 圖511 則第6個三角形數是(　　) 【導學號：79140168】 A．27 B．28 C．29 D．30 B　[由題圖可知，第6個三角形數是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.] 4．已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N＋)，則數列{an}的通項公式是(　　) A．2n－1 B． C．n2 D．n D　[∵an＝n(an＋1－an)，∴＝， ∴an＝…a1 ＝…1＝n.] 5．已知數列{an}滿足a1＝2，an＋1＝(n∈N＋)，則該數列的前2 019項的乘積a1a2a3…a2 019＝(　　) A. B．－ C．3 D．－3 C　[由題意可得，a2＝＝－3，a3＝＝－，a4＝＝，a5＝＝2＝a1， ∴數列{an}是以4為周期的數列，而2 019＝4504＋3，a1a2a3a4＝1， ∴前2 019項的乘積為1504a1a2a3＝3.] 二、填空題 6．在數列－1,0，，，…，，…中，0.08是它的第______項． 10　[令＝0.08，得2n2－25n＋50＝0， 則(2n－5)(n－10)＝0，解得n＝10或n＝(舍去)． 所以a10＝0.08.] 7．(20xx河北唐山一模)設數列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝，若a4＝32，則a1＝________. 　[∵Sn＝，a4＝32， ∴－＝32，∴a1＝.] 8．已知數列{an}滿足a1＝1，an－an＋1＝nanan＋1(n∈N＋)，則an＝__________. 【導學號：79140169】 　[由已知得，－＝n，所以－＝n－1， －＝n－2，…，－＝1，所以－＝，a1＝1，所以＝， 所以an＝.] 三、解答題 9．已知數列{an}的前n項和Sn＝2n＋1－2. (1)求數列{an}的通項公式； (2)設bn＝an＋an＋1，求數列{bn}的通項公式． [解]　(1)當n＝1時，a1＝S1＝22－2＝2； 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2－(2n－2)＝2n＋1－2n＝2n. 因為a1也適合此等式， 所以an＝2n(n∈N＋)． (2)因為bn＝an＋an＋1，且an＝2n，an＋1＝2n＋1， 所以bn＝2n＋2n＋1＝32n. 10．已知Sn為正項數列{an}的前n項和，且滿足Sn＝a＋an(n∈N＋)． (1)求a1，a2，a3，a4的值； (2)求數列{an}的通項公式． [解]　(1)由Sn＝a＋an(n∈N＋)，可得 a1＝a＋a1，解得a1＝1； S2＝a1＋a2＝a＋a2，解得a2＝2； 同理，a3＝3，a4＝4. (2)Sn＝a＋an， ① 當n≥2時，Sn－1＝a＋an－1， ② ①－②得(an－an－1－1)(an＋an－1)＝0. 由于an＋an－1≠0，所以an－an－1＝1， 又由(1)知a1＝1，故數列{an}是首項為1， 公差為1的等差數列，故an＝n. B組　能力提升 11．(20xx鄭州二次質量預測)設數列{an}滿足：a1＝1，a2＝3，且2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1，則a20的值是(　　) A. B． C. D． D　[由2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1得nan－(n－1)an－1＝(n＋1)an＋1－nan，又因為1a1＝1,2a2－1a1＝5，所以數列{nan}是首項為1，公差為5的等差數列，則20a20＝1＋195，解得a20＝，故選D.] 12．(20xx衡水中學檢測)若數列{an}滿足：a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N＋)，則數列{an}的前n項和數值最大時，n的值為(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 B　[∵a1＝19，an＋1－an＝－3， ∴數列{an}是以19為首項，－3為公差的等差數列， ∴an＝19＋(n－1)(－3)＝22－3n. 設{an}的前k項和數值最大， 則有k∈N＋， ∴ ∴≤k≤， ∵k∈N＋，∴k＝7.∴滿足條件的n的值為7.] 13．在一個數列中，如果任意n∈N＋，都有anan＋1an＋2＝k(k為常數)，那么這個數列叫作等積數列，k叫作這個數列的公積．已知數列{an}是等積數列，且a1＝1，a2＝2，公積為8，則a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________. 28　[依題意得數列{an}是周期為3的數列，且a1＝1，a2＝2，a3＝4，因此a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4(1＋2＋4)＝28.] 14．已知數列{an}的通項公式是an＝n2＋kn＋4. (1)若k＝－5，則數列中有多少項是負數？n為何值時，an有最小值？并求出最小值； (2)對于n∈N＋，都有an＋1>an，求實數k的取值范圍. 【導學號：79140170】 [解]　(1)由n2－5n＋4<0， 解得1<n<4. 因為n∈N＋，所以n＝2,3， 所以數列中有兩項是負數，即為a2，a3. 因為an＝n2－5n＋4＝－， 由二次函數性質，得當n＝2或n＝3時，an有最小值，其最小值為a2＝a3＝－2. (2)由an＋1>an知該數列是一個遞增數列， 又因為通項公式an＝n2＋kn＋4，可以看作是關于n的二次函數，考慮到n∈N＋，所以－<，即得k>－3. 所以實數k的取值范圍為(－3，＋∞)．