高考數(shù)學(xué) 一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件北師大版理科： 第3章 三角函數(shù)、解三角形 第6節(jié) 正弦定理和余弦定理學(xué)案 文 北師大版

第六節(jié)　正弦定理和余弦定理 [考綱傳真]　掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題． (對應(yīng)學(xué)生用書第50頁) [基礎(chǔ)知識填充] 1．正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 公式 ＝＝＝2R.(R為△ABC外接圓半徑) a2＝b2＋c2－2bccos_A； b2＝c2＋a2－2cacos_B； c2＝a2＋b2－2abcos_C 公式 變形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (3)sin A＝，sin B＝，sin C＝ cos A＝； cos B＝； cos C＝ 2. 在△ABC中，已知a、b和A時，解的情況如下： A為銳角 A為鈍角或直角 圖形 關(guān)系式 a＝bsin A bsin A＜a＜b a≥b a＞b 解的個數(shù) 一解 兩解 一解 一解 3. 三角形常用面積公式 (1)S＝aha(ha表示邊a上的高)； (2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A． (3)S＝r(a＋b＋c)(r為內(nèi)切圓半徑)． [知識拓展] 1．三角形內(nèi)角和定理 在△ABC中，A＋B＋C＝π； 變形：＝－. 2．三角形中的三角函數(shù)關(guān)系 (1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C； (2)sin＝cos ；(4)cos＝sin . 3．在△ABC中，sin A＞sin B?A＞B?a＞b cosA＞cos B?A＜B?a＜b [基本能力自測] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“”) (1)在△ABC中，若A＞B，則必有sin A＞sin B．(　　) (2)在△ABC中，若b2＋c2＞a2，則△ABC為銳角三角形．(　　) (3)在△ABC中，若A＝60，a＝4，b＝4，則B＝45或135.(　　) (4)在△ABC中，＝.(　　) [解析]　(1)正確．A＞B?a＞b?sin A＞sin B． (2)錯誤．由cos A＝＞0知，A為銳角，但△ABC不一定是銳角三角形． (3)錯誤．由b＜a知，B＜A． (4)正確．利用a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，可知結(jié)論正確． [答案]　(1)√　(2)　(3)　(4)√ 2．(教材改編)在△ABC中，若sin2A＋sin2B＜sin2C，則△ABC的形狀是(　　) A．銳角三角形　　 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不能確定 C　[由正弦定理，得＝sin A，＝sin B，＝sin C，代入得到a2＋b2＜c2，由余弦定理得cos C＝＜0，所以C為鈍角，所以該三角形為鈍角三角形．] 3．(20xx全國卷Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a＝，c＝2，cos A＝，則b＝(　　) A．　　　　　 B． C．2　　　　　 D．3 D　[由余弦定理得5＝b2＋4－2b2， 解得b＝3或b＝－(舍去)，故選D．] 4．(20xx全國卷Ⅲ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，C．已知C＝60，b＝，c＝3，則A＝________. 75　[如圖，由正弦定理，得＝，∴sin B＝. 又c>b，∴B＝45， ∴A＝180－60－45＝75.] 5．在△ABC中，A＝60，AC＝4，BC＝2，則△ABC的面積等于________. 【導(dǎo)學(xué)號：00090109】 2　[由題意及余弦定理得cos A＝＝＝，解得c＝2，所以S＝bcsin A＝42sin 60＝2.] (對應(yīng)學(xué)生用書第51頁) 利用正、余弦定理解三角形 　(1)(20xx全國卷Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，C．已知sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0，a＝2，c＝，則C＝(　　) A．　　　　　 B． C． D． (2)在△ABC中，∠BAC＝，AB＝6，AC＝3，點D在BC邊上，AD＝BD，求AD的長． B　[(1)因為a＝2，c＝， 所以由正弦定理可知，＝， 故sin A＝sin C． 又B＝π－(A＋C)， 故sin B＋sin A(sin C－cos C) ＝sin(A＋C)＋sin Asin C－sin Acos C ＝sin Acos C＋cos Asin C＋sin Asin C－sin Acos C ＝(sin A＋cos A)sin C ＝0. 又C為△ABC的內(nèi)角， 故sin C≠0， 則sin A＋cos A＝0，即tan A＝－1. 又A∈(0，π)，所以A＝. 從而sin C＝sin A＝＝. 由A＝知C為銳角，故C＝. 故選B． (2)設(shè)△ABC的內(nèi)角∠BAC，B，C所對邊的長分別是a，b，c， 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos∠BAC ＝(3)2＋62－236cos ＝18＋36－(－36)＝90， 所以a＝3. 又由正弦定理得sin B＝＝＝， 由題設(shè)知0＜B＜， 所以cos B＝＝＝. 在△ABD中，因為AD＝BD，所以∠ABD＝∠BAD，所以∠ADB＝π－2B， 故由正弦定理得 AD＝＝＝＝.] [規(guī)律方法]　1.正弦定理是一個連比等式，只要知道其比值或等量關(guān)系就可以運用正弦定理通過約分達(dá)到解決問題的目的． 2．(1)運用余弦定理時，要注意整體思想的運用． (2)在已知三角形兩邊及其中一邊的對角，求該三角形的其它邊角的問題時，首先必須判斷是否有解，如果有解，是一解還是兩解，注意“大邊對大角”在判定中的應(yīng)用． [變式訓(xùn)練1]　(1)(20xx鄭州模擬)已知a，b，c分別為△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊， 且(b－c)(sin B＋sin C)＝(a－c)sin A，則角B的大小為(　　) A．30　　　　 B．45　　　　 C．60　　　　 D．120 (2)(20xx全國卷Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，則b＝________. (1)A　(2)　[(1)由正弦定理＝＝及(b－c)(sin B＋sin C)＝(a－c)sin A得(b－c)(b＋c)＝(a－c)a，即b2－c2＝a2－ac，∴a2＋c2－b2＝aC．又∵cos B＝，∴cos B＝，∴B＝30. (2)在△ABC中，∵cos A＝，cos C＝， ∴sin A＝，sin C＝，∴sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝＋＝. 又∵＝，∴b＝＝＝.] 判斷三角形的形狀 　(1)(20xx東北三省四市二聯(lián))在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，滿足acos A＝bcos B，則△ABC的形狀為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：00090110】 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 (2)(20xx廣州模擬)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且b2＋c2＝a2＋bc，若sin Bsin C＝sin2A，則△ABC的形狀是(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形 (1)D　(2)C　[(1)因為acos A＝bcos B，由正弦定理得sin Acos A＝sin Bcos B，即sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝，所以△ABC為等腰三角形或直角三角形，故選D． (2)由b2＋c2＝a2＋bc得cos A＝＝＝. ∵A∈(0，π)，∴A＝. 由sin Bsin C＝sin2A得bc＝a2，代入b2＋c2＝a2＋bc得(b－c)2＝0，即b＝c，從而△ABC是等邊三角形．] [規(guī)律方法]　1.判定三角形形狀的途徑：(1)化邊為角，通過三角變換找出角之間的關(guān)系．(2)化角為邊，通過代數(shù)變形找出邊之間的關(guān)系，正(余)弦定理是轉(zhuǎn)化的橋梁． 2．無論使用哪種方法，都不要隨意約掉公因式；要移項提取公因式，否則會有漏掉一種形狀的可能． [變式訓(xùn)練2]　設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若2sin Acos B＝sin C，那么△ABC一定是(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形 B　[法一：由已知得2sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，即sin(A－B)＝0，因為－π＜A－B＜π，所以A＝B． 法二：由正弦定理得2acos B＝c，再由余弦定理得2a＝c?a2＝b2?a＝B．] 與三角形面積有關(guān)的問題 　(20xx全國卷Ⅰ)已知a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊，sin2B＝2sin Asin C． (1)若a＝b，求cos B； (2)設(shè)B＝90，且a＝，求△ABC的面積． [解]　(1)由題設(shè)及正弦定理可得b2＝2aC． 2分 又a＝b，可得b＝2c，a＝2C． 由余弦定理可得cos B＝＝. 5分 (2)由(1)知b2＝2aC． 7分 因為B＝90，由勾股定理得a2＋c2＝b2， 故a2＋c2＝2ac，進(jìn)而可得c＝a＝. 9分 所以△ABC的面積為＝1. 12分 [規(guī)律方法]　三角形面積公式的應(yīng)用方法： (1)對于面積公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一個角就使用哪一個公式． (2)與面積有關(guān)的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化． [變式訓(xùn)練3]　(20xx全國卷Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2cos C(acos B＋bcos A)＝C． (1)求C； (2)若c＝，△ABC的面積為，求△ABC的周長． [解]　(1)由已知及正弦定理得 2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C， 即2cos Csin(A＋B)＝sin C， 3分 故2sin Ccos C＝sin C． 可得cos C＝，所以C＝. 5分 (2)由已知得absin C＝. 又C＝，所以ab＝6. 9分 由已知及余弦定理得a2＋b2－2abcos C＝7， 故a2＋b2＝13，從而(a＋b)2＝25. 所以△ABC的周長為5＋. 12分