人教版 高中數(shù)學(xué) 選修22優(yōu)化練習(xí)：第二章 章末優(yōu)化總結(jié)

2019學(xué)年人教版高中數(shù)學(xué)選修精品資料章末檢測(cè)(二)時(shí)間：120分鐘滿分：150分一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1根據(jù)偶函數(shù)定義可推得“函數(shù)f(x)x2在R上是偶函數(shù)”的推理過(guò)程是()A歸納推理B類比推理C演繹推理 D非以上答案解析：根據(jù)演繹推理的定義知，推理過(guò)程是演繹推理，故選C.答案：C2下面四個(gè)推理不是合情推理的是()A由圓的性質(zhì)類比推出球的有關(guān)性質(zhì)B由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形的內(nèi)角和都是180°，歸納出所有三角形的內(nèi)角和都是180°C某次考試張軍的成績(jī)是100分，由此推出全班同學(xué)的成績(jī)都是100分D蛇、海龜、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龜、蜥蜴是爬行動(dòng)物，所以所有的爬行動(dòng)物都是用肺呼吸的解析：A是類比推理，B、D是歸納推理，C不是合情推理答案：C3用三段論證明命題：“任何實(shí)數(shù)的平方大于0，因?yàn)閍是實(shí)數(shù)，所以a2>0”，你認(rèn)為這個(gè)推理()A大前提錯(cuò)誤 B小前提錯(cuò)誤C推理形式錯(cuò)誤 D是正確的解析：這個(gè)三段論推理的大前提是“任何實(shí)數(shù)的平方大于0”，小前提是“a是實(shí)數(shù)”，結(jié)論是“a2>0”顯然結(jié)論錯(cuò)誤，原因是大前提錯(cuò)誤答案：A4設(shè)n為正整數(shù)，f(n)1，計(jì)算得f(2)，f(4)>2，f(6)>，f(8)>3，f(10)>，觀察上述結(jié)果，可推測(cè)出一般結(jié)論為()Af(2n) Bf(2n)>Cf(2n) Df(n)>解析：觀察所給不等式，不等式左邊是f(2n)，右邊是，故選B.答案：B5已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a11，Snn2an(nN*)，計(jì)算S1，S2，S3，S4，可歸納猜想出Sn的表達(dá)式為()A. B.C. D.解析：由a11，得a1a222a2，a2，S2；又1a332a3，a3，S3；又1a416a4，得a4，S4；由S1，S2，S3，S4，可以猜想Sn.答案：A6如果兩個(gè)數(shù)之和為正數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)()A一個(gè)是正數(shù)，一個(gè)是負(fù)數(shù)B兩個(gè)都是正數(shù)C至少有一個(gè)是正數(shù)D兩個(gè)都是負(fù)數(shù)解析：這兩個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)數(shù)是正數(shù)，否則，若這兩個(gè)數(shù)都不是正數(shù)，則它們的和一定是非正數(shù)，這與“兩個(gè)數(shù)之和為正數(shù)”相矛盾答案：C7已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明12時(shí)，若已假設(shè)nk(k2為偶數(shù))時(shí)命題為真，則還需要用歸納假設(shè)再證()Ank1時(shí)等式成立 Bnk2時(shí)等式成立Cn2k2時(shí)等式成立 Dn2(k2)時(shí)等式成立解析：因?yàn)榧僭O(shè)nk(k2為偶數(shù))，故下一個(gè)偶數(shù)為k2，故選B.答案：B8用數(shù)學(xué)歸納法證明1222(n1)2n2(n1)22212時(shí)，從nk到nk1時(shí)，等式左邊應(yīng)添加的式子是()A(k1)22k2B(k1)2k2C(k1)2D.(k1)2(k1)21解析：當(dāng)nk時(shí)，左邊1222(k1)2k2(k1)22212，當(dāng)nk1時(shí)，左邊1222(k1)2k2(k1)2k2(k1)22212，從nk到nk1，左邊應(yīng)添加的式子為(k1)2k2.答案：B9.如圖所示，橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為左焦點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，其離心率為，此類橢圓被稱為“黃金橢圓”類比“黃金橢圓”，可推算出“黃金雙曲線”的離心率e等于()A. B.C.1 D.1解析：如圖所示，設(shè)雙曲線方程為1(a>0，b>0)，則F(c,0)，B(0，b)，A(a,0)(c，b)，(a，b)又，·b2ac0.c2a2ac0.e2e10.e或e(舍去)，故應(yīng)選A.答案：A10用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式>的過(guò)程中，由nk到nk1時(shí)，不等式左邊的變化情況為()A增加B增加C增加，減少D增加，減少解析：當(dāng)nk時(shí)，不等式的左邊，當(dāng)nk1時(shí)，不等式的左邊，所以()，所以由nk到nk1時(shí)，不等式的左邊增加，減少.答案：C11將石子擺成如圖的梯形形狀，稱數(shù)列5,9,14,20，為“梯形數(shù)”根據(jù)圖形的構(gòu)成，此數(shù)列an的第2 012項(xiàng)與5的差，即a2 0125()A2 018×2 012 B2 018×2 011C1 009×2 012 D1 009×2 011解析：由已知的圖形我們可以得出圖形的編號(hào)與圖中石子的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系為：n1時(shí)，a123×(23)×2；n2時(shí)，a2234×(24)×3由此我們可以推斷：an23(n2)×2(n2)×(n1)a2 0125×2(2 0122)×(2 0121)51 008×2 01351 009×2 011，故選D.答案：D12語(yǔ)文、數(shù)學(xué)兩學(xué)科，成績(jī)?cè)u(píng)定為“優(yōu)秀”“合格”“不合格”三種若A同學(xué)每科成績(jī)不低于B同學(xué)，且至少有一科成績(jī)比B高，則稱“A同學(xué)比B同學(xué)成績(jī)好”現(xiàn)有若干同學(xué)，他們之間沒(méi)有一個(gè)人比另一個(gè)成績(jī)好，并且沒(méi)有任意兩個(gè)人語(yǔ)文成績(jī)一樣，數(shù)學(xué)成績(jī)也一樣的問(wèn)滿足條件的最多有多少學(xué)生()A2 B3C4 D5解析：假設(shè)A、B兩個(gè)同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)一樣，由題意知他們語(yǔ)文成績(jī)不一樣，這樣他們的語(yǔ)文成績(jī)總有人比另一個(gè)人高，語(yǔ)文成績(jī)高的同學(xué)比另一個(gè)同學(xué)“成績(jī)好”，與已知條件“他們之中沒(méi)有一個(gè)比另一個(gè)成績(jī)好”相矛盾因此，沒(méi)有任意兩個(gè)同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)是相同的同理，沒(méi)有任意兩個(gè)同學(xué)語(yǔ)文成績(jī)是相同的因?yàn)檎Z(yǔ)文、數(shù)學(xué)兩學(xué)科成績(jī)各有3種，因而同學(xué)數(shù)量最大為3.即 3位同學(xué)成績(jī)分別為(優(yōu)秀，不合格)、(合格，合格)、(不合格，優(yōu)秀)時(shí)滿足條件答案：B二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在題中的橫線上)13已知x，yR，且xy<2，則x，y中至多有一個(gè)大于1，在用反證法證明時(shí)，假設(shè)應(yīng)為_(kāi)解析：“至多有一個(gè)大于1”包括“都不大于1和有且僅有一個(gè)大于1”，故其對(duì)立面為“x，y都大于1”答案：x，y都大于114已知f(x)，定義f1(x)f(x)，f2(x)f1(x)，fn1(x)fn(x)，nN.經(jīng)計(jì)算f1(x)，f2(x)，f3(x)，照此規(guī)律，則fn(x)_.解析：觀察各個(gè)式子，發(fā)現(xiàn)分母都是ex，分子依次是(x1)，(x2)，(x3)，(x4)，括號(hào)前是(1)n，括號(hào)里是xn，故fn(x).答案：15設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差數(shù)列類比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列bn的前n項(xiàng)積為T(mén)n，則T4，_，_，成等比數(shù)列解析：由于等差數(shù)列與等比數(shù)列具有類比性，且等差數(shù)列與和差有關(guān)，等比數(shù)列與積商有關(guān)，因此當(dāng)?shù)炔顢?shù)列依次每4項(xiàng)之和仍成等差數(shù)列時(shí)，類比到等比數(shù)列為依次每4項(xiàng)的積的商成等比數(shù)列即T4，成等比數(shù)列答案：16在平面上，我們用一直線去截正方形的一個(gè)角，那么截下的一個(gè)直角三角形，按如圖所標(biāo)邊長(zhǎng)，由勾股定理有c2a2b2.設(shè)想正方形換成正方體，把截線換成如圖截面，這時(shí)從正方體上截下三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐O ­LMN，如果用S1、S2、S3表示三個(gè)側(cè)面面積，S表示截面面積，那么類比得到的結(jié)論是_解析：類比如下：正方形正方體；截下直角三角形截下三側(cè)面兩兩垂直的三棱錐；直角三角形斜邊平方三棱錐底面面積的平方；直角三角形兩直角邊平方和三棱錐三個(gè)側(cè)面面積的平方和，結(jié)論S2SSS.證明如下：如圖，作OE平面LMN，垂足為E，連接LE并延長(zhǎng)交MN于F，連接NE，ME，OF.LOOM，LOON，LO平面MON，MN平面MON，LOMN，OEMN，MN平面OFL，SOMNMN·OF，SMNEMN·FE，SMNLMN·LF，OF2FE·FL，S (MN·OF)2(MN·FE)·(MN·FL)SMNE·SMNL，同理SSMLE·SMNL，SSNLE·SMNL，SSS(SMNESMLESNLE)·SMNLS，即SSSS2.答案：S2SSS三、解答題(本大題共6小題，共74分，必要的解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17(本小題滿分12分)設(shè)a，b(0，)，且ab，求證：a3b3>a2bab2.證明：要證a3b3>a2b ab2成立，即需證(ab)(a2abb2)>ab(ab)成立又因ab>0，故只需證a2abb2>ab成立，即需證a22abb2>0成立，即需證(ab)2>0成立而依題設(shè)ab，則(ab)2>0顯然成立由此命題得證18(本小題滿分12分)用綜合法或分析法證明：(1)如果a，b>0，則lg ；(2)已知m0，a，bR，求證：2.證明：(1)當(dāng)a，b>0時(shí)，有，lglg，lglg ab.(2) m0，1m0.所以要證原不等式成立，只需證(amb)2(1m)(a2mb2)，即證m(a22abb2)0，即證(ab)20，而(ab)20顯然成立，故原不等式得證19. (本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)ax(a>1)(1)證明：函數(shù)f(x)在(1，)上為增函數(shù)；(2)用反證法證明方程f(x)0沒(méi)有負(fù)數(shù)根證明：(1)任取x1、x2(1，)，不妨設(shè)x1<x2，則x2x1>0，ax2x1>1且ax1>0，ax2ax1ax1(ax2x11)>0，又x11>0，x21>0，于是f(x2)f(x1)ax2ax1>0，故函數(shù)f(x)在(1，)上為增函數(shù)(2)設(shè)存在x0<0(x01)滿足f(x0)0，則ax0，且0<ax0<1.0<<1，即<x0<2，與假設(shè)x0<0矛盾故方程f(x)0沒(méi)有負(fù)數(shù)根20(本小題滿分12分)某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù)：sin213°cos217°sin 13°cos 17°；sin215°cos215°sin 15°cos 15°；sin218°cos212°sin 18°cos 12°；sin2(18°)cos248°sin(18°)cos 48°；sin2(25°)cos255°sin(25°)cos 55°.(1)試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè)，求出這個(gè)常數(shù)；(2)根據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論解析：(1)選擇式，計(jì)算如下：sin215°cos215°sin 15°cos 15°1sin 30°1.(2)三角恒等式為sin2cos2(30°)sin cos(30°).證明如下：sin2cos2(30°)sin cos(30°)sin2(cos 30°cos sin 30°sin )2sin (cos 30°cos sin 30°sin )sin2cos2sin cos sin2sin cos sin2sin2cos2.21(本小題滿分13分) 設(shè)數(shù)列a1，a2，an，中的每一項(xiàng)都不為0.證明an為等差數(shù)列的充分必要條件是：對(duì)任何nN*，都有.證明：先證必要性設(shè)數(shù)列an的公差為d.若d0，則所述等式顯然成立若d0，則.再證充分性(直接證法)依題意有，.得，在上式兩端同乘a1an1an2，得a1(n1)an1nan2.同理可得a1nan(n1)an1(n2)，得2nan1n(an2an)，即an2an1an1an，又由當(dāng)n2時(shí)，得等式，兩端同乘a1a2a3，即得a1a32a2，知a3a2a2a1，故對(duì)任意nN*均成立所以an是等差數(shù)列22(本小題滿分13分)(2014·高考北京卷)對(duì)于數(shù)對(duì)序列P：(a1，b1)，(a2，b2)，(an，bn)，記T1(P)a1b1，Tk(P)bkmaxTk1(P)，a1a2ak(2kn)，其中maxTk1(P)，a1a2ak表示Tk1(P)和a1a2ak兩個(gè)數(shù)中最大的數(shù)(1)對(duì)于數(shù)對(duì)序列P：(2,5)，(4,1)，求T1(P)，T2(P)的值；(2)記m為a，b，c，d四個(gè)數(shù)中最小的數(shù)，對(duì)于由兩個(gè)數(shù)對(duì)(a，b)，(c，d)組成的數(shù)對(duì)序列P：(a，b)，(c，d)和P：(c，d)，(a，b)，試分別對(duì)ma和md兩種情況比較T2(P)和T2 (P)的大??；(3)在由五個(gè)數(shù)對(duì)(11,8)，(5,2)，(16,11)，(11,11)，(4,6)組成的所有數(shù)對(duì)序列中，寫(xiě)出一個(gè)數(shù)對(duì)序列P使T5(P)最小，并寫(xiě)出T5(P)的值(只需寫(xiě)出結(jié)論)解析：(1)T1(P)257，T2(P)1maxT1(P)，241max7,68.(2)T2(P)maxabd，acd，T2(P)maxcdb，cab當(dāng)ma時(shí)，T2(P)maxcdb，cabcdb.因?yàn)閍bdcbd，且acdcbd，所以T2(P)T2(P)當(dāng)md時(shí)，T2(P)maxcdb，cabcab.因?yàn)閍bdcab，且acdcab，所以T2(P)T2(P)所以無(wú)論ma還是md，T2(P)T2(P)都成立(3)數(shù)對(duì)序列P：(4,6)，(11,11)，(16,11)，(11,8)，(5,2)的T5(P)值最小，T1(P)10，T2(P)26，T3(P)42，T4(P)50，T5(P)52.