高考數(shù)學(xué) 一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件北師大版理科： 第3章 三角函數(shù)、解三角形 第7節(jié) 正弦定理和余弦定理學(xué)案 理 北師大版

第七節(jié)　正弦定理和余弦定理 [考綱傳真]　(教師用書獨具)掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題． (對應(yīng)學(xué)生用書第61頁) [基礎(chǔ)知識填充] 1．正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 內(nèi)容 ＝＝＝2R.(R為△ABC外接圓半徑) a2＝b2＋c2－2bc·cos A； b2＝c2＋a2－2ca·cos B； c2＝a2＋b2－2ab·cos C 變形形式 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (3)sin A＝，sin B＝，sin C＝ cos A＝； cos B＝； cos C＝ 2.在△ABC中，已知a、b和A時，解的情況如下： A為銳角 A為鈍角或直角 圖形 關(guān)系式 a＝bsin A bsin A＜a＜b a≥b a＞b 解的個數(shù) 一解 兩解 一解 一解 3.三角形常用面積公式 (1)S＝a·ha(ha表示邊a上的高)； (2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A； (3)S＝r(a＋b＋c)(r為內(nèi)切圓半徑)． [知識拓展] 1．在△ABC中，A＞B?a＞b?sin A＞sin B． 2．合比定理：＝＝2R. 3．在銳角三角形中①A＋B＞；②若A＝，則＜B，C＜. [基本能力自測] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)在△ABC中，若A＞B，則必有sin A＞sin B．(　　) (2)在△ABC中，若b2＋c2＞a2，則△ABC為銳角三角形．(　　) (3)在△ABC中，若A＝60°，a＝4，b＝4，則B＝45°或135°.(　　) (4)在△ABC中，＝.(　　) [解析]　(1)正確．A＞B?a＞b?sin A＞sin B． (2)錯誤．由cos A＝＞0知，A為銳角，但△ABC不一定是銳角三角形． (3)錯誤．由b＜a知，B＜A． (4)正確．利用a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，可知結(jié)論正確． [答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝，則sin B＝(　　) A．　　　 B． C． D．1 B　[根據(jù)＝，有＝，得sin B＝.故選B．] 3．(20xx·全國卷Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a＝，c＝2，cos A＝，則b＝(　　) A． B． C．2 D．3 D　[由余弦定理得5＝b2＋4－2×b×2×， 解得b＝3或b＝－(舍去)，故選D．] 4．在△ABC中，a＝3，b＝2，cos C＝，則△ABC的面積為________． 4　[∵cos C＝，0＜C＜π， ∴sin C＝， ∴S△ABC＝absin C ＝×3×2×＝4.] 5．(教材改編)在△ABC中，acos A＝bcos B，則這個三角形的形狀為________． 等腰三角形或直角三角形　[由正弦定理，得sin Acos A＝sin Bcos B，即sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝， 所以這個三角形為等腰三角形或直角三角形．] (對應(yīng)學(xué)生用書第62頁) 利用正、余弦定理解三角形 　(20xx·廣州綜合測試(二))△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知bcos C＋bsin C＝a. (1)求角B的大??； (2)若BC邊上的高等于a，求cos A的值． [解]　(1)因為bcos C＋bsin C＝a， 由正弦定理得sin Bcos C＋sin Bsin C＝sin A． 因為A＋B＋C＝π， 所以sin Bcos C＋sin Bsin C＝sin(B＋C)． 即sin Bcos C＋sin Bsin C＝sin Bcos C＋cos Bsin C． 因為sin C≠0，所以sin B＝cos B． 因為cos B≠0，所以tan B＝1. 因為B∈(0，π)，所以B＝. (2)法一：設(shè)BC邊上的高線為AD，則AD＝a. 因為B＝，則BD＝AD＝a，CD＝a. 所以AC＝＝a，AB＝a. 由余弦定理得cos∠BAC＝＝－. 所以cos∠BAC的值為－. 法二：設(shè)BC邊上的高線為AD，則AD＝a. 因為B＝，則BD＝AD＝a，CD＝a. 所以AC＝＝a，AB＝a. 由正弦定理得＝， 則sin∠BAC＝＝＝. 在△ABC中，由AB＜AC，得C＜B＝， 所以∠BAC為鈍角． 所以cos∠BAC＝－＝－. 所以cos∠BAC的值為－. [規(guī)律方法]　1.正弦定理是一個連比等式，只要知道其比值或等量關(guān)系就可以運(yùn)用正弦定理通過約分達(dá)到解決問題的目的. 2.(1)運(yùn)用余弦定理時，要注意整體思想的運(yùn)用. (2)在已知三角形兩邊及其中一邊的對角，求該三角形的其它邊角的問題時，首先必須判斷是否有解，如果有解，是一解還是兩解，注意“大邊對大角”在判定中的應(yīng)用. (3)重視在余弦定理中用均值不等式，實現(xiàn)a2＋b2，ab，a＋b三者的互化.) [跟蹤訓(xùn)練]　(1)(20xx·全國卷Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，則b＝________. (2)(20xx·全國卷Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若2bcos B＝acos C＋ccos A，則B＝________. (1)　(2)60°　[(1)在△ABC中，∵cos A＝，cos C＝， ∴sin A＝，sin C＝，∴sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝. 又∵＝，∴b＝＝＝. (2)法一：由2bcos B＝acos C＋ccos A及正弦定理， 得2sin Bcos B＝sin Acos C＋sin Ccos A． ∴2sin Bcos B＝sin(A＋C)． 又A＋B＋C＝π，∴A＋C＝π－B． ∴2sin Bcos B＝sin(π－B)＝sin B． 又sin B≠0，∴cos B＝.∴B＝. 法二：∵在△ABC中，acos C＋ccos A＝b， ∴條件等式變?yōu)?bcos B＝b，∴cos B＝. 又0＜B＜π，∴B＝.] 判斷三角形的形狀 　(1)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，則△ABC的形狀為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：79140131】 A．銳角三角形　　　 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不確定 (2)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，則△ABC的形狀為(　　) A．直角三角形 B．等腰非等邊三角形 C．等邊三角形 D．鈍角三角形 (1)B　(2)C　[(1)由已知及正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A， 即sin(B＋C)＝sin2A，又sin(B＋C)＝sin A， ∴sin A＝1，∴A＝.故選B． (2)∵＝，∴＝，∴b＝c. 又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，∴b2＋c2－a2＝bc， ∴cos A＝＝＝. ∵A∈(0，π)，∴A＝，∴△ABC是等邊三角形．] ([規(guī)律方法]　判定三角形形狀的兩種常用途徑 (1)化角為邊：利用正弦定理、余弦定理化角為邊，通過代數(shù)恒等變換，求出邊與邊之間的關(guān)系進(jìn)行判斷. (2)化邊為角：通過正弦定理和余弦定理，化邊為角，利用三角變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系進(jìn)行判斷. 易錯警示：無論使用哪種方法，都不要隨意約掉公因式；要移項提取公因式，否則會有漏掉一種情況的可能. [跟蹤訓(xùn)練]　設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若2sin Acos B＝sin C，那么△ABC一定是(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形 B　[法一：由已知得2sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，即sin(A－B)＝0，因為－π＜A－B＜π，所以A＝B． 法二：由正弦定理得2acos B＝c，再由余弦定理得2a·＝c?a2＝b2?a＝b.] 與三角形面積有關(guān)的問題 　(20xx·全國卷Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sin(A＋C)＝8sin2. (1)求cos B； (2)若a＋c＝6，△ABC的面積為2，求b. [解]　(1)由題設(shè)及A＋B＋C＝π得sin B＝8sin2， 故sin B＝4(1－cos B)． 上式兩邊平方，整理得17cos2B－32cos B＋15＝0， 解得cos B＝1(舍去)，或cos B＝. 故cos B＝. (2)由cos B＝得sin B＝， 故S△ABC＝acsin B＝ac. 又S△ABC＝2，則ac＝. 由余弦定理及a＋c＝6得b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B)＝36－2××＝4. 所以b＝2. [規(guī)律方法]　三角形面積公式的應(yīng)用方法 (1)對于面積公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一個角就使用哪一個公式. (2)與面積有關(guān)的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化，所以解決此類問題通常圍繞某個已知角，將余弦定理和面積公式都寫出來，尋求突破. [跟蹤訓(xùn)練]　(20xx·深圳二調(diào))已知a，b，c分別為△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，2b＝asin B＋bcos A，c＝4. (1)求A； (2)若D是BC的中點，AD＝，求△ABC的面積. 【導(dǎo)學(xué)號：79140132】 [解]　(1)由2b＝asin B＋bcos A及正弦定理， 又0＜B＜π， 可得2＝sin A＋cos A， 即有sin＝1， ∵0＜A＜π，∴＜A＋＜， ∴A＋＝，∴A＝. (2)設(shè)BD＝CD＝x，則BC＝2x， 由余弦定理得cos∠BAC＝＝， 得4x2＝b2－4b＋16.① ∵∠ADB＝180°－∠ADC， ∴cos∠ADB＋cos∠ADC＝0， 由余弦定理得＋＝0， 得2x2＝b2＋2.② 聯(lián)立①②，得b2＋4b－12＝0，解得b＝2(舍負(fù))， ∴S△ABC＝bcsin∠BAC＝×2×4×＝2.