高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 專題33 數(shù)列求和檢測 文

專題33數(shù)列求和本專題特別注意：1.倒序求和2. 錯位相減求和3.分組求和4.分項(xiàng)求和5.裂項(xiàng)求和6.構(gòu)造求和【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1熟練掌握等差、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式2熟練掌握非等差、等比數(shù)列求和的幾種方法，如錯位相減、裂項(xiàng)相消以及分組求和等【知識要點(diǎn)】求數(shù)列前n項(xiàng)和的基本方法(1)公式法數(shù)列an為等差或等比數(shù)列時直接運(yùn)用其前n項(xiàng)和公式求和若an為等差數(shù)列，則Sn_若an為等比數(shù)列，其公比為q，則當(dāng)q1時，Sn_(an為常數(shù)列)；當(dāng)q1時，Sn_(2)裂項(xiàng)相消求和法數(shù)列an滿足通項(xiàng)能分裂為兩項(xiàng)之差，且分裂后相鄰的項(xiàng)正負(fù)抵消從而求得其和(3)倒序相加法如果一個數(shù)列an的前n項(xiàng)中首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前n項(xiàng)的和即可用倒序相加法，如等差數(shù)列前n項(xiàng)的和公式就是用此法推導(dǎo)的(4)錯位相減法如果一個數(shù)列的各項(xiàng)是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用此法來求，如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式就是用此法推導(dǎo)的(5)分組轉(zhuǎn)化求和法一個數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時可用分組求和法，分別求和而后相加減(6)并項(xiàng)求和法一個數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱為并項(xiàng)求和形如an(1)nf(n)類型，可采用兩項(xiàng)合并求解例如，Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5 050.【方法總結(jié)】1.常用基本求和法均對應(yīng)數(shù)列通項(xiàng)的特殊結(jié)構(gòu)特征，分析數(shù)列通項(xiàng)公式的特征，聯(lián)想相應(yīng)的求和方法既是根本，又是關(guān)鍵.2.數(shù)列求和實(shí)質(zhì)就是求數(shù)列Sn的通項(xiàng)公式，它幾乎涵蓋了數(shù)列中所有的思想策略、方法和技巧，對學(xué)生的知識和思維有很高的要求，應(yīng)充分重視并系統(tǒng)訓(xùn)練.【高考模擬】一、單選題1設(shè)列的前項(xiàng)和，若數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（ ）A 8 B 9 C 10 D 11【答案】C【解析】【分析】首先求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列的和【詳解】Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，設(shè)公差為d，a4=4，S5=15，則：，解得d=1，則an=4+（n4）=n由于=，則，=，解得m=10故答案為：10故選：C【考點(diǎn)】等差數(shù)列性質(zhì)、裂項(xiàng)相消求和.【點(diǎn)睛】裂項(xiàng)相消法是指將數(shù)列的通項(xiàng)分成兩個式子的代數(shù)和的形式，然后通過累加抵消中間若干項(xiàng)的方法，裂項(xiàng)相消法適用于形如 (其中是各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列，c為常數(shù))的數(shù)列. 裂項(xiàng)相消法求和，常見的有相鄰兩項(xiàng)的裂項(xiàng)求和(如本例)，還有一類隔一項(xiàng)的裂項(xiàng)求和，如或.2已知數(shù)列滿足，若恒成立，則的最小值為（ ）A 0 B 1 C 2 D 【答案】D【詳解】由題意知，由，得，恒成立，故最小值為，故選D.【點(diǎn)睛】裂項(xiàng)相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時很難找到裂項(xiàng)的方向，突破這一難點(diǎn)的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，常見的裂項(xiàng)技巧：(1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂項(xiàng)之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項(xiàng)或多項(xiàng)的問題，導(dǎo)致計算結(jié)果錯誤.3已知函數(shù)的圖象過點(diǎn)，記若數(shù)列的前項(xiàng)和為，則等于（）A B C D 【答案】D【解析】【詳解】分析：由函數(shù)的圖象過點(diǎn)，求出，從而可得的通項(xiàng)公式，由裂項(xiàng)相消法可得結(jié)果.詳解：因?yàn)楹瘮?shù)的圖象過點(diǎn)，所以，可得 ， ，故選D.點(diǎn)睛：本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)與求和公式，以及裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，屬于中檔題. 裂項(xiàng)相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時很難找到裂項(xiàng)的方向，突破這一難點(diǎn)的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，常見的裂項(xiàng)技巧：(1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂項(xiàng)之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項(xiàng)或多項(xiàng)的問題，導(dǎo)致計算結(jié)果錯誤.4定義為個正數(shù)的“平均倒數(shù)”.若已知數(shù)列的前項(xiàng)的“平均倒數(shù)”為，又，則等于（ ）A B C D 【答案】B【詳解】根據(jù)題意和“平均倒數(shù)”的定義可得:設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時也適合上式，則故故選【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和，遇到形如的通項(xiàng)在求和時往往運(yùn)用裂項(xiàng)求和法，關(guān)鍵在對已知條件的化簡，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。5在數(shù)列中，若，則的值A(chǔ) B C D 【答案】A【解析】分析：由疊加法求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而即可求解的和.詳解：由題意，數(shù)列中，則，所以所以，故選A.點(diǎn)睛：本題主要考查了數(shù)列的綜合問題，其中解答中涉及到利用疊加法求解數(shù)列的通項(xiàng)公式和利用裂項(xiàng)法求解數(shù)列的和，正確選擇方法和準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，以及推理與運(yùn)算能力.6數(shù)列的通項(xiàng)公式，則其前項(xiàng)和（ ）A B C D 【答案】A【解析】分析：先化簡，再利用裂項(xiàng)相消求和.詳解：由題得，所以，故答案為：A.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查裂項(xiàng)相消求和，意在考查學(xué)生對該知識的掌握水平.(2) 類似（其中是各項(xiàng)不為零的等差數(shù)列，為常數(shù)）的數(shù)列、部分無理數(shù)列等.用裂項(xiàng)相消法求和.7對于三次函數(shù)，給出定義：設(shè)是函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對稱中心.設(shè)函數(shù)，則( )A 2016 B 2017 C 2018 D 2019【答案】C【解析】分析：對已知函數(shù)求兩次導(dǎo)數(shù)可得圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，即，利用倒序相加法即可得到結(jié)論.詳解：函數(shù)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由得，解得，而，故函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱，故設(shè)，則，兩式相加得，則，故選C.點(diǎn)睛：本題主要考查初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，正確理解“拐點(diǎn)”并利用“拐點(diǎn)”求出函數(shù)的對稱中心是解決本題的關(guān)鍵，求和的過程中使用了倒序相加法，屬于難題.8在數(shù)列中，若數(shù)列滿足：，則數(shù)列的前10項(xiàng)的和等于（ ）A B C D 【答案】B【解析】分析：由題設(shè)可以得到是等差數(shù)列，從而得到即，利用裂項(xiàng)相消法可求前項(xiàng)和.詳解：是等差數(shù)列，其首項(xiàng)是1，公差為2，所以，所以，故，故選B.點(diǎn)睛：數(shù)列通項(xiàng)的求法，取決遞推關(guān)系的形式，如果滿足，則用累加，特別地如果是常數(shù)，則就是等差數(shù)列；若，則用累乘，特別地如果是常數(shù)，則就是等比數(shù)列.其他類型的遞推關(guān)系則可通過變形構(gòu)建新數(shù)列且新數(shù)列的遞推關(guān)系大多數(shù)滿足前面兩種情形.9定義函數(shù)如下表，數(shù)列滿足，若，則（ ）A 7042 B 7058 C 7063 D 7262【答案】C【解析】分析：利用題設(shè)條件，結(jié)合函數(shù)定義能夠推導(dǎo)出數(shù)列是周期為6的周期數(shù)列，由此能求出數(shù)列的前2018項(xiàng)的和.詳解：由題設(shè)知，是周期為6的周期數(shù)列，故選C.點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的定義和數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是推導(dǎo)出數(shù)列是周期為6的周期數(shù)列.10已知函數(shù)，且，則（ ）A 20100 B 20500 C 40100 D 10050【答案】A【解析】分析：根據(jù)函數(shù)表達(dá)式得到當(dāng)n為偶數(shù)時，當(dāng)n為奇數(shù)時，再由數(shù)列中裂項(xiàng)求和的方法得到結(jié)果. 詳解：，當(dāng)n為偶數(shù)時，當(dāng)n為奇數(shù)時，故 故答案為：A.點(diǎn)睛：這個題目考查了三角函數(shù)的求值，以及三角函數(shù)的求值，數(shù)列的裂項(xiàng)求和的方法；數(shù)列求和常用法有：錯位相減，裂項(xiàng)求和，分組求和等.11已知數(shù)列滿足：，則的整數(shù)部分為（ ）A B C D 【答案】B【解析】分析：觀察問題則需要進(jìn)行裂項(xiàng)，再結(jié)合條件推導(dǎo)出其變式，然后進(jìn)行求和詳解：原式當(dāng)時，整數(shù)部分為故選點(diǎn)睛：本題主要考查了裂項(xiàng)求和，由已知條件推導(dǎo)出和問題一致的通項(xiàng)是本題的解題關(guān)鍵，在不斷的轉(zhuǎn)換過程中注意分子和分母的變形，本題有一定的難度。12已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，其中第一項(xiàng)是，接下來的兩項(xiàng)是，再接下來的三項(xiàng)是，依此類推，則該數(shù)列的前94項(xiàng)和是（ ）A B C D 【答案】D【解析】分析：先歸納出的項(xiàng)數(shù)和變化規(guī)律，再確定第94項(xiàng)在第幾組，是第幾項(xiàng)，再利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式進(jìn)行求解詳解：由題意，得共有項(xiàng)，且，令，則的最大值為，且，則該數(shù)列的前94項(xiàng)的和為點(diǎn)睛：歸納推理是由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或由個別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，其思維過程如下：試驗(yàn)、觀察概括、推廣猜測一般性結(jié)論13數(shù)列的通項(xiàng)公式，其前項(xiàng)和為，則（ ）A 1010 B -1010 C 2018 D -504【答案】B【解析】分析：根據(jù)通項(xiàng)公式，可得看成其是以為周期的周期函數(shù)，求出相鄰項(xiàng)的值，即可求解.詳解：，其是以為周期的周期函數(shù)， ，故選B.點(diǎn)睛：本題考查了三角函數(shù)的單調(diào)性，數(shù)列求和，推理能力與計算能力，屬于中檔題.利用遞推關(guān)系求數(shù)列中的項(xiàng)常見思路為：（1）項(xiàng)的序號較小時，逐步遞推求出即可；（2）項(xiàng)的序數(shù)較大時，考慮證明數(shù)列是等差、等比數(shù)列，或者是周期數(shù)列.14已知定義在上的函數(shù)滿足：；函數(shù)的圖象與函數(shù)的交點(diǎn)為；則A B C D 【答案】A【解析】分析：先由題得函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)（2,0）對稱，再得到函數(shù)g(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)（2,1）對稱，最后得到函數(shù)f(x)與函數(shù)g（x）的圖像的交點(diǎn)滿足，最后求的值.詳解：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)滿足，所以函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)（2,0）對稱.由題得所以函數(shù)g(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)（2,0）對稱，所以函數(shù)f(x)與函數(shù)g（x）的圖像的交點(diǎn) 關(guān)于點(diǎn)（2,0）對稱，滿足由題得所以.故答案為：A.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查函數(shù)的圖像和性質(zhì)，考查數(shù)列求和，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本題的關(guān)鍵有兩點(diǎn)，其一是推理出函數(shù)g(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)（2,1）對稱，其二是推理得到函數(shù)f(x)與函數(shù)g（x）的圖像的交點(diǎn)滿足.15設(shè)表示不超過的最大整數(shù)，如已知數(shù)列滿足：，則( )A 1 B 2 C 3 D 4【答案】A【解析】分析：由題意先求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再求出，最后結(jié)合的定義求解詳解：，又滿足上式，故選A點(diǎn)睛：本題考查累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式和利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，考查學(xué)生的運(yùn)算能力和理解運(yùn)用新知識解決問題的能力，解題的關(guān)鍵是正確理解所給的運(yùn)算的定義 16已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，對任意的 有，且則的值為( )A 2或4 B 2 C 3或4 D 6【答案】A【解析】分析：利用的關(guān)系，求解的表達(dá)式，討論滿足不等式的值。詳解：則，解得，所以，當(dāng)時，；當(dāng)時，；點(diǎn)睛：，一定要注意，當(dāng)時要驗(yàn)證不滿足數(shù)列。形如：為擺動數(shù)列，為奇數(shù)或偶數(shù)時表達(dá)式不一樣，要分類討論。17數(shù)列的前項(xiàng)和為，若， 則 ( )A B C D 【答案】B點(diǎn)睛：，一定要注意，當(dāng)時要驗(yàn)證是否滿足數(shù)列。18已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，令，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（ ）A -2018 B 2018 C -2017 D 2017【答案】A【解析】分析：利用當(dāng)，.當(dāng)時，即可得到，于是，由于函數(shù)的周期，利用周期性和等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可得出.詳解：由數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)時，；當(dāng)時，上式對時也成立，. ，函數(shù)的周期， .故選：A.點(diǎn)睛：本題考查了利用“當(dāng)，.當(dāng)時，”求、余弦函數(shù)的周期性、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力和計算能力.19已知數(shù)列滿足：當(dāng)且時，有，則數(shù)列的前200項(xiàng)的和為（ ）A 300 B 200 C 100 D 50【答案】A【解析】分析：由條件分別令，再求和，即可得到答案.詳解：由題意當(dāng)且時，有，可得到，所以數(shù)列的前項(xiàng)的和為，故選A.點(diǎn)睛：點(diǎn)本題主要考查了數(shù)列的分組求和，其中解答中注意數(shù)列的遞推關(guān)系的合理運(yùn)用是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，以及推理與計算能力.20已知數(shù)列中，且對任意的，都有，則（ ）A B C D 【答案】D【解析】分析：令m=1，可得an+1an=n+1，再利用累加法可得的通項(xiàng)，再利用裂項(xiàng)法得到=2（），從而可求得的值詳解：a1=1，且對任意的m，nN*，都有am+n=am+an+mn，令m=1，則an+1=a1+an+n=an+n+1，即an+1an=n+1，anan1=n（n2），a2a1=2，an=（anan1）+（an1an2）+（a2a1）+a1=n+（n1）+（n2）+3+2+1=，=2（），=2（1）+（）+（）+（）+（）=2（1）=，故選：D點(diǎn)睛：裂項(xiàng)相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時很難找到裂項(xiàng)的方向，突破這一難點(diǎn)的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，常見的裂項(xiàng)技巧：(1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂項(xiàng)之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項(xiàng)或多項(xiàng)的問題，導(dǎo)致計算結(jié)果錯誤.二、填空題21設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若是的導(dǎo)數(shù)，若方程方有實(shí)數(shù)解，則稱.點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.已知：任何三次函數(shù)既有拐點(diǎn)，又有對稱中心，且拐點(diǎn)就是對稱中心.設(shè)，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則_【答案】4034【解析】【分析】由題意對已知函數(shù)求兩次導(dǎo)數(shù)可得f（x）=2x4，由題意可得函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)（2，2）對稱，即f（x）+f（4x）=2，由數(shù)列an的通項(xiàng)公式分析可得an為等差數(shù)列，且a1+a2017=a2+a2016=2a1009=4，而=f（a1）+f（a2）+f（a2016）+f（a2017），結(jié)合f（x）+f（4x）=2，計算可得答案即（2，2）是三次函數(shù)的對稱中心，則有f（x）+f（4x）=4，數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=n1007，為等差數(shù)列，則有a1+a2017=a2+a2016=2a1009=4則=f（a1）+f（a2）+f（a2016）+f（a2017）=f（a1）+f（a2017）+f（a2）+f（a2016）+f（a1008）+f（a1010）+f（a1009）=41008+2=4034；故答案為：4034【點(diǎn)睛】本題考查了三次函數(shù)的中心對稱性，考查了數(shù)列求和，解題關(guān)鍵是利用對稱性成對求和即可,屬于中檔題.22已知數(shù)列滿足，且對任意的，都有，若數(shù)列滿足，則數(shù)列的前項(xiàng)和的取值范圍是_.【答案】【詳解】由題意m，nN*，都有=an，令m=1，可得：，可得an=3n，bn=log3（an）2+1，bn=2n+1，那么數(shù)列的通項(xiàng)cn=那么：Tn=c1+c2+cn=（+）=，當(dāng)n=1時，可得T1=，故得Tn的取值范圍為，），故答案為：，）【點(diǎn)睛】裂項(xiàng)相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時很難找到裂項(xiàng)的方向，突破這一難點(diǎn)的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，常見的裂項(xiàng)技巧：(1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂項(xiàng)之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項(xiàng)或多項(xiàng)的問題，導(dǎo)致計算結(jié)果錯誤.23已知數(shù)列對任意，總有成立，記，則數(shù)列的前項(xiàng)和為_【答案】【解析】分析：由數(shù)列的遞推公式即可求出通項(xiàng)公式，再裂項(xiàng)相消法求出答案.解析： 當(dāng)n=1時，；當(dāng)時，兩式相除得，當(dāng)n=1時，適合上式. ， ， .故答案為：.點(diǎn)睛：利用裂項(xiàng)相消法求和時，應(yīng)注意抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng)，再就是將通項(xiàng)公式裂項(xiàng)后，有時候需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開的兩項(xiàng)之差和系數(shù)之積與原通項(xiàng)公式相等24等差數(shù)列中，.若記表示不超過的最大整數(shù)，（如）.令，則數(shù)列的前2000項(xiàng)和為_【答案】5445.【解析】分析：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由a3+a4=12，S7=49可得2a1+5d=12，d=49，解出即可得出； bn=lgan=lg（2n1），n=1，2，3，4，5時，bn=0.6n50時，bn=1；51n500時，bn=2；501n2000時，bn=3即可得出詳解：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，a3+a4=12，S7=492a1+5d=12，d=49，解得a1=1，d=2an=1+2（n1）=2n1bn=lgan=lg（2n1），n=1，2，3，4，5時，bn=06n50時，bn=1；51n500時，bn=2；501n2000時，bn=3數(shù)列bn的前2000項(xiàng)和=45+4502+15003=5445故答案為：5445.點(diǎn)睛：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、取整函數(shù)的性質(zhì)、數(shù)列求和，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題數(shù)列通項(xiàng)的求法中有常見的已知和的關(guān)系，求表達(dá)式，一般是寫出做差得通項(xiàng)，但是這種方法需要檢驗(yàn)n=1時通項(xiàng)公式是否適用；數(shù)列求和常用法有：錯位相減，裂項(xiàng)求和，分組求和等。25已知函數(shù)，則 _.【答案】【解析】分析：由題意可得，利用倒序相加法，從而即可得到答案.詳解： ，設(shè) 則 +得，.故答案為：2018.點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列與函數(shù)的應(yīng)用，考查推理能力以及運(yùn)算求解能力.26已知等差數(shù)列，若函數(shù)，記，用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前項(xiàng)和的方法，求數(shù)列的前9項(xiàng)和為_【答案】9【解析】分析：由等差中項(xiàng)可知，所以故，由此得此結(jié)論。詳解：，所以數(shù)列的前9項(xiàng)和為，由等差數(shù)列，則，由所以，則，所以。由倒序相加可得所以，點(diǎn)睛：知識儲備，等差數(shù)列的性質(zhì)：若，則。為周期函數(shù)，周期。27已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的前n項(xiàng)和 _ 【答案】【解析】分析：可設(shè)an+1+t=3（an+t），求得t=，運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得數(shù)列an的通項(xiàng)，再由數(shù)列的求和方法：分組求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，化簡即可得到所求和詳解：由a1=1，an+1=3an+1，可設(shè)an+1+t=3（an+t），即an+1=3an+2t，可得2t=1，即t=，則an+1+=3（an+），可得數(shù)列an+是首項(xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列，即有an+=3n1，即an=3n1，可得數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=（1+3+32+3n1）n=（3n+12n3）故答案為：（3n+12n3）點(diǎn)睛：這個題目考查的是數(shù)列通項(xiàng)公式的求法及數(shù)列求和的常用方法；數(shù)列通項(xiàng)的求法中有常見的已知和的關(guān)系，求表達(dá)式，一般是寫出做差得通項(xiàng)，但是這種方法需要檢驗(yàn)n=1時通項(xiàng)公式是否適用；數(shù)列求和常用法有：錯位相減，裂項(xiàng)求和，分組求和等。28.已知數(shù)列滿足.記，則數(shù)列的前項(xiàng)和=_【答案】.【解析】分析：首先從題中所給的遞推公式推出數(shù)列成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得，代入題中的條件，可以求得，可以發(fā)現(xiàn)是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)積所構(gòu)成的新數(shù)列，用錯位相減法求和即可得結(jié)果.詳解：由得，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，所以，即，記，則 （1），式子兩邊都乘以2得 （2），兩式相減得： 所以，故答案為.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)數(shù)列求和的問題，涉及的知識點(diǎn)有由倒數(shù)型的遞推公式通過構(gòu)造等差數(shù)列求得通項(xiàng)公式，以及錯位相減法求和，在操作的過程中，需要時刻保持頭腦清醒，再者就是在求和時，涉及到等比數(shù)列求和時，一定要分清項(xiàng)數(shù).29已知數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列滿足，若，則_【答案】18.【解析】分析：先根據(jù)已知得到數(shù)列的通項(xiàng)，再求出，最后利用裂項(xiàng)相消化簡即得n的值.詳解：當(dāng)n=1時，.當(dāng)n2時，適合n=1.故所以所以所以=，解之得n=18.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)的求法和裂項(xiàng)相消法求和，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理的能力.(2) 類似（其中是各項(xiàng)不為零的等差數(shù)列，為常數(shù)）的數(shù)列、部分無理數(shù)列等,用裂項(xiàng)相消法求和.30已知公差不為零的等差數(shù)列中，且，成等比數(shù)列，的前項(xiàng)和為，.則數(shù)列的前項(xiàng)和_【答案】那么bn的前n項(xiàng)和Tn=.故答案為：點(diǎn)睛：本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題三、解答題31已知數(shù)列是等比數(shù)列，是和的等差中項(xiàng).（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)根據(jù)已知求出q的值，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)先求得，再利用錯位相減求數(shù)列的前項(xiàng)和.（2）因?yàn)?，所以所?則， . 得，所以【點(diǎn)睛】（1）本題主要考查等比數(shù)列通項(xiàng)的求法，考查錯位相減求和，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理計算能力.(2) 若數(shù)列，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，則采用錯位相減法.32已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)，得到的方程組，解方程組即得數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)利用裂項(xiàng)相消求數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】【點(diǎn)睛】(1)本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)求法，考查裂項(xiàng)相消求和，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平.(2) 類似（其中是各項(xiàng)不為零的等差數(shù)列，為常數(shù)）的數(shù)列、部分無理數(shù)列等.用裂項(xiàng)相消法求和.33等差數(shù)列中， ，其前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)， ，公比為（），且， .（1）求與；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）， ;（2）.【解析】【分析】（1）等差數(shù)列的公差為， ，求出公比和公差，然后求解通項(xiàng)公式（2）求出數(shù)列前項(xiàng)和為，化簡通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)相消法求和即可【詳解】（1）等差數(shù)列的公差為， ，.整理得： ，解得： 或（舍去）， ，（2）數(shù)列前項(xiàng)和為， ，數(shù)列的前項(xiàng)和數(shù)列的前項(xiàng)和【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列以及等比數(shù)列的應(yīng)用，數(shù)列求和的方法，考查計算能力34數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，.（）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)見解析;(2).【解析】【分析】(1)由，可得，即，從而可得結(jié)論；（2）由（1）知，可得，利用錯位相減法，結(jié)合等比數(shù)列求和公式，即可得結(jié)果.【詳解】（1）證明：，又，數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）知， ， . -得，.【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的定義和等比數(shù)列的求和公式，以及錯位相減法求數(shù)列的前 項(xiàng)和，屬于中檔題.一般地，如果數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和時，可采用“錯位相減法”求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列的公比，然后作差求解, 在寫出“”與“” 的表達(dá)式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項(xiàng)對齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“”的表達(dá)式.35設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （）若，設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和【答案】(1);(2).【解析】【分析】（）直接利用項(xiàng)和公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式.( )先求出，再利用裂項(xiàng)相消求數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】（1）由得， 兩式相減得：， 即 ， 即 所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列， 又由得， 所以； （2）因?yàn)椋?所以， 所以【點(diǎn)睛】(1)本題主要考查項(xiàng)和公式求數(shù)列的通項(xiàng)，考查裂項(xiàng)相消求和，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平.(2) 類似（其中是各項(xiàng)不為零的等差數(shù)列，為常數(shù)）的數(shù)列、部分無理數(shù)列等.用裂項(xiàng)相消法求和.36已知公差不為0的等差數(shù)列的前三項(xiàng)的和為15，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)先根據(jù)已知列方程組求出，再求數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)先利用裂項(xiàng)相消求出，再求的最大值為，即得m的取值范圍和最小值.【詳解】（1）依題意，即，即，故.又，即，故.故數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）依題意，.則 ，故恒成立，則，所以實(shí)數(shù)的最小值為.【點(diǎn)睛】(1)本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查等差數(shù)列通項(xiàng)的求法和裂項(xiàng)相消求和，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和計算能力.(2) 類似（其中是各項(xiàng)不為零的等差數(shù)列，為常數(shù)）的數(shù)列、部分無理數(shù)列等.用裂項(xiàng)相消法求和.37設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)，前項(xiàng)和滿足關(guān)系式.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列的公比為，作數(shù)列，使，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）數(shù)列滿足條件（2），求和：.【答案】（1）見解析.（2）.（3）.【解析】【分析】（1）利用，求得數(shù)列的遞推式，整理得，進(jìn)而可推斷出時，數(shù)列成等比數(shù)列，然后分別求得和，驗(yàn)證亦符合，進(jìn)而可推斷出是一個首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列；（2）把 的解析式代入，進(jìn)而可知，判斷出是一個首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列進(jìn)而根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得答案；（3）由是等差數(shù)列進(jìn)而可推斷出和也是首項(xiàng)分別為1和2，公差均為2的等差數(shù)列，進(jìn)而用分組法可求得結(jié)果（2）由，得.所以是一個首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列.于是.（3）由，可知和是首項(xiàng)分別為1和2，公差均為2的等差數(shù)列，于是，所以 .【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比關(guān)系的確定，考查了學(xué)生綜合分析問題的能力，考查了利用分組求和法求數(shù)列的和.38設(shè)數(shù)列滿足.（）求及的通項(xiàng)公式;（）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)見解析;(2).【解析】【分析】（）分別令可求出，因?yàn)槭呛愕仁剑室渤闪?，兩式相減可得，結(jié)合前者可得通項(xiàng).（）用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】（）令，則.令，則，故.，時，得：.又時，滿足上式，（）由（）:【點(diǎn)睛】數(shù)列求和關(guān)鍵看通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)形式，如果通項(xiàng)是等差數(shù)列與等比數(shù)列的和，則用分組求和法；如果通項(xiàng)是等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積，則用錯位相減法；如果通項(xiàng)可以拆成一個數(shù)列連續(xù)兩項(xiàng)的差，那么用裂項(xiàng)相消法；如果通項(xiàng)的符號有規(guī)律的出現(xiàn)，則用并項(xiàng)求和法.39已知數(shù)列中，又?jǐn)?shù)列是首項(xiàng)為、公差為的等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1) (2)【詳解】（1）數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，解得.（2）.【點(diǎn)睛】利用裂項(xiàng)相消法求和時，應(yīng)注意抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng)，再就是將通項(xiàng)公式裂項(xiàng)后，有時候需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開的兩項(xiàng)之差和系數(shù)之積與原通項(xiàng)公式相等40已知等差數(shù)列滿足，公比為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，.（）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】( ) （）【解析】【分析】（ ）利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求得；（）由（）知，利用錯位相減法即可得到數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】（）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，因?yàn)椋?，解?所以.由及等比中項(xiàng)的性質(zhì)，得，又顯然必與同號，所以.所以.又公比為正數(shù)，解得.所以.（）由（）知，則 . .-，得.所以.【點(diǎn)睛】用錯位相減法求和應(yīng)注意的問題(1)要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形；(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項(xiàng)對齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“SnqSn”的表達(dá)式；(3)在應(yīng)用錯位相減法求和時，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解.我國經(jīng)濟(jì)發(fā)展進(jìn)入新常態(tài)，需要轉(zhuǎn)變經(jīng)濟(jì)發(fā)展方式，改變粗放式增長模式，不斷優(yōu)化經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)健康可持續(xù)發(fā)展進(jìn)區(qū)域協(xié)調(diào)發(fā)展，推進(jìn)新型城鎮(zhèn)化，推動城鄉(xiāng)發(fā)展一體化因：我國經(jīng)濟(jì)發(fā)展還面臨區(qū)域發(fā)展不平衡、城鎮(zhèn)化水平不高、城鄉(xiāng)發(fā)展不平衡不協(xié)調(diào)等現(xiàn)實(shí)挑戰(zhàn)。