高考數(shù)學(xué) 三輪講練測核心熱點(diǎn)總動(dòng)員新課標(biāo)版 專題23 參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程選修2 Word版含解析

【名師精講指南篇】【高考真題再現(xiàn)】1.【20xx新課標(biāo)全國】已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（）把的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程；（）求與交點(diǎn)的極坐標(biāo)（）.【解析】（1）先利用參數(shù)方程得到C1的一般方程，進(jìn)而得到極坐標(biāo)方程；（2）聯(lián)立求出交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出極坐標(biāo).2.【20xx高考全國1第23題】已知曲線，直線：（為參數(shù)）.（I）寫出曲線的參數(shù)方程，直線的普通方程；（II）過曲線上任意一點(diǎn)作與夾角為的直線，交于點(diǎn)，的最大值與最小值【解析】（I）曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）直線的普通方程為（II）曲線C上任意一點(diǎn)到的距離為則其中為銳角，且當(dāng)時(shí)，取到最大值，最大值為當(dāng)時(shí)，取到最小值，最小值為3【20xx全國】在直線坐標(biāo)系中，曲線：（為參數(shù)，）其中.在以為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線：，：. (1)求與交點(diǎn)的直角坐標(biāo)；(2)若與相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，求的最大值.4.【20xx全國】在直角坐標(biāo)系中，直線：，圓：，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求的極坐標(biāo)方程.(2)若直線的極坐標(biāo)方程為，設(shè)與的交點(diǎn)為，求的面積.解析（1）由：，可得極坐標(biāo)方程為，由：，得極坐標(biāo)方程為【熱點(diǎn)深度剖析】20xx年高考主要考查圓的參數(shù)方程，參數(shù)方程與普通方程的互化，普通方程與極坐標(biāo)方程互化，極坐標(biāo)方程與普通方程互化，主要考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸能力. 20xx年高考考查了橢圓和直線的參數(shù)方程，點(diǎn)到直線的距離公式，解直角三角形20xx年考查了直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)方程的互化、圓的幾何性質(zhì)、三角函數(shù)的最值 從三年試題來看，高考對這部分要求不是太高，要求會(huì)參數(shù)方程與普通方程，極坐標(biāo)方程與普通方程互化，主要考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸能力，利用參數(shù)方程研究軌跡問題. 預(yù)測20xx年高考仍然考查圓，直線，橢圓的參數(shù)方程與普通方程，極坐標(biāo)方程與普通方程互化，重點(diǎn)是直線和圓的參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸能力【重點(diǎn)知識整合】1極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化公式若點(diǎn)M的極坐標(biāo)為(，)，直角坐標(biāo)為(x，y)，則.求曲線的極坐標(biāo)方程f(，)0的步驟與求曲線的直角坐標(biāo)方程步驟完全相同特別注意的是求極坐標(biāo)方程時(shí)，常常要解一個(gè)三角形(4)極坐標(biāo)方程()表示的平面圖形的對稱性：若()()，則圖形關(guān)于極軸對稱；若()()，則圖形關(guān)于射線對稱；若()()，則圖形關(guān)于極點(diǎn)對稱2.特殊的常見曲線(包括直線)的極坐標(biāo)方程圓心在極軸上點(diǎn)C(a,0)，過極點(diǎn)的圓方程2acos.圓心在極點(diǎn)、半徑為r的圓的極坐標(biāo)方程r.圓心在處且過極點(diǎn)的圓方程為2asin(0)過極點(diǎn)傾角為的直線的極坐標(biāo)方程為：或.過A(a,0)(a>0)與極軸垂直的直線cosa.過A(a>0)與極軸平行的直線sina.3.參數(shù)方程的概念在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x、y都是某個(gè)變數(shù)t的函數(shù)(*)，并且對于t的每一個(gè)允許值，由方程組(*)所確定的點(diǎn)M(x，y)都在這條曲線上，而這條曲線上任一點(diǎn)M(x，y)都可以通過(*)式得到，則方程組(*)就叫做這條曲線的參數(shù)方程，變數(shù)t叫做參數(shù)這時(shí)，參數(shù)t的幾何意義是：以直線l上點(diǎn)M(x0，y0)為起點(diǎn)，任意一點(diǎn)N(x，y)為終點(diǎn)的有向線段的數(shù)量為MN且|t|MN|.4圓的參數(shù)方程(1)圓心在原點(diǎn)、半徑為r的圓的參數(shù)方程為(為參數(shù))；(2)圓心為C(a，b)，半徑為r的圓的參數(shù)方程為(為參數(shù))5參數(shù)方程和普通方程的互化(1)化參數(shù)方程為普通方程：消去參數(shù)常用的消參方法有代入消去法、加減消去法、恒等式(三角的或代數(shù)的)消去法(2)化普通方程為參數(shù)方程：引入?yún)?shù)，即選定合適的參數(shù)t，先確定一個(gè)關(guān)系xf(t)或y(t)，再代入普通方程F(x，y)0，求得另一關(guān)系y(t)或xf(t)【應(yīng)試技巧點(diǎn)撥】1.極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化(1)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化的前提條件：極點(diǎn)與原點(diǎn)重合；極軸與x軸正向重合；取相同的單位長度(2)直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程比較容易，只要運(yùn)用公式及直接代入并化簡即可；而極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程則相對困難一些，解此類問題常通過變形，構(gòu)造形如，的形式，進(jìn)行整體代換2.求曲線的極坐標(biāo)方程求曲線的極坐標(biāo)方程的步驟：(1)建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系，設(shè)是曲線上任意一點(diǎn)；(2)由曲線上的點(diǎn)所適合的條件，列出曲線上任意一點(diǎn)的極徑和極角之間的關(guān)系式；(3)將列出的關(guān)系式進(jìn)行整理、化簡，得出曲線的極坐標(biāo)方程3.參數(shù)方程與普通方程的互化在求出曲線的參數(shù)方程后，通常利用消參法得出普通方程一般地，消參數(shù)經(jīng)常采用的是代入法和三角公式法，但將曲線的參數(shù)方程化為普通方程，不只是把其中的參數(shù)消去，還要注意x，y的取值范圍在消參前后應(yīng)該是一致的，也就是說，要使得參數(shù)方程與普通方程等價(jià)，即它們二者要表示同一曲線4.直線的參數(shù)方程及應(yīng)用根據(jù)直線的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)式中的幾何意義，有如下常用結(jié)論：(1)直線與圓錐曲線相交，交點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為，則弦長；(2)定點(diǎn)是弦的中點(diǎn)；(3)設(shè)弦中點(diǎn)為，則點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)值(由此可求及中點(diǎn)坐標(biāo))5.圓與圓錐曲線的參數(shù)方程及應(yīng)用解決與圓、圓錐曲線的參數(shù)方程有關(guān)的綜合問題時(shí)，要注意普通方程與參數(shù)方程的互化公式，主要是通過互化解決與圓、圓錐曲線上動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的問題，如最值、范圍等【考場經(jīng)驗(yàn)分享】1在極坐標(biāo)系中，如無特別說明時(shí)，；點(diǎn)的極坐標(biāo)不惟一，若規(guī)定,，則極坐標(biāo)系中的點(diǎn)與點(diǎn)的極坐標(biāo)形成一一對應(yīng)關(guān)系(極點(diǎn)除外)；曲線上的點(diǎn)的極坐標(biāo)不一定滿足曲線的極坐標(biāo)方程，但曲線上一點(diǎn)P的無數(shù)個(gè)極坐標(biāo)中必有一個(gè)適合曲線的極坐標(biāo)方程2極坐標(biāo)方程表示一條射線并非直線，只有當(dāng)允許時(shí)，才表示一條直線3只有在a2b21時(shí)，直線(t為參數(shù))中的參數(shù)t才表示由M(x0，y0)指向N(x，y)的有向線段的數(shù)量，而在a2b21時(shí)，|MN|t.4消參后應(yīng)將原參數(shù)的取值范圍相應(yīng)地轉(zhuǎn)化為變量x(或y)的取值范圍【名題精選練兵篇】1.【20xx廣西桂林市、北海市、崇左市3月聯(lián)合調(diào)研】已知曲線的極坐標(biāo)方程是以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),極軸為軸的正半軸,建立平面直角坐標(biāo)系,直線的參數(shù)方程是（為參數(shù)）（1）將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）若直線與曲線相交于、兩點(diǎn),且,求直線的傾斜角的值2.【20xx吉林長春質(zhì)量監(jiān)測（二）】在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為（是參數(shù)）,以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程,并指出其表示何種曲線；（2）若曲線與曲線交于,兩點(diǎn),求的最大值和最小值.【解析】(1) 對于曲線有,即,因此曲線的直角坐標(biāo)方程為,其表示一個(gè)圓. (2) 聯(lián)立曲線與曲線的方程可得：,因此的最小值為,最大值為8. 3.【20xx年安徽省“江南十?！甭?lián)考】在平面直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知在極坐標(biāo)系中,圓的方程為（）求在平面直角坐標(biāo)系中圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）已知為圓上的任意一點(diǎn),求面積的最大值.4.【20xx河南新鄉(xiāng)許昌平頂山二調(diào)】 在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為（為參數(shù)）,曲線C2的參數(shù)方程為 （為參數(shù)）,以O(shè)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系 （）求曲線C1和曲線C2的極坐標(biāo)方程； （）已知射線l1：（）將射線l1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到射線l2：,且射線l1與曲線C1交于O、P兩點(diǎn),射線l2與曲線C2交于O、Q兩點(diǎn),求OPOQ的最大值【解析】（1）曲線的直角坐標(biāo)方程為,所以極坐標(biāo)方程為曲線的直角坐標(biāo)方程為,所以極坐標(biāo)方程為 （2）設(shè)點(diǎn)極點(diǎn)坐標(biāo),即點(diǎn)極坐標(biāo)為 即則= ,當(dāng)即時(shí),取最大值4 5.【20xx福建4月質(zhì)檢】在直角坐標(biāo)系中,曲線C的參數(shù)方程為(其中為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系中,直線的極坐標(biāo)方程為.()求C的普通方程和直線的傾斜角；()設(shè)點(diǎn)P(0,2),和C交于A,B兩點(diǎn),求.即（為參數(shù)）,代入并化簡,得設(shè)兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為,則,所以所以解法二：（）同解法一. （）直線的普通方程為.由消去得,于是.設(shè),則,所以.故6.【2106遼寧省沈陽質(zhì)量監(jiān)測（一）】在以直角坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系下,曲線的方程是,將向上平移1個(gè)單位得到曲線.()求曲線的極坐標(biāo)方程；()若曲線的切線交曲線于不同兩點(diǎn),切點(diǎn)為.求的取值范圍. ()由題令,切線的傾斜角為,所以切線的參數(shù)方程為: (為參數(shù)). 聯(lián)立的直角坐標(biāo)方程得, , 即由直線參數(shù)方程中,的幾何意義可知, ,因?yàn)樗? 此題也可根據(jù)圖形的對稱性推出答案,此種方法酌情給分.7.【20xx年安慶二?！吭谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中,以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,并在兩坐標(biāo)系中取相同的長度單位已知曲線的極坐標(biāo)方程為,直線的參數(shù)方程為（為參數(shù),為直線的傾斜角）（I）寫出直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（II）若直線與曲線有唯一的公共點(diǎn),求角的大小【解析】（）當(dāng)時(shí),直線的普通方程為；當(dāng)時(shí),直線的普通方程為. 由,得,所以,即為曲線的直角坐標(biāo)方程. （）把,代入,整理得.由,得,所以或,故直線傾斜角為或. 8.【20xx甘肅蘭州實(shí)戰(zhàn)考試,理23】 所以. 9. 【20xx屆陜西省寶雞市九校高三聯(lián)合檢測】坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的參數(shù)方程為參數(shù)）.以O(shè)為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（）求圓C的極坐標(biāo)方程；（）射線與圓C的交點(diǎn)為O、P兩點(diǎn)，求P點(diǎn)的極坐標(biāo).10. 【20xx屆河北省唐山市高三第一次模擬】已知橢圓C：，直線（t為參數(shù)）.（）寫出橢圓C的參數(shù)方程及直線的普通方程；（）設(shè)，若橢圓C上的點(diǎn)P滿足到點(diǎn)A的距離與其到直線的距離相等，求點(diǎn)P的坐標(biāo).【解析】（）C：（為參數(shù)），l：xy90 （）設(shè),則，P到直線l的距離由|AP|d得3sin4cos5，又sin2cos21，得，故11. 【20xx屆河北唐山市高三上學(xué)期期末考試】極坐標(biāo)系的極點(diǎn)為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，兩種坐標(biāo)系中的長度單位相同. 已知曲線C的極坐標(biāo)方程為，斜率為的直線交y軸于點(diǎn).（1）求C的直角坐標(biāo)方程，的參數(shù)方程；（2）直線與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，求.【解析】（）由2(cossin)，得22(cossin)，即x2y22x2y，即(x1) 2(y1) 22直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù), tR） （）將，代入(x1) 2(y1) 22得t2t10，解得，則|EA|EB| t1| t2|t1t2|12已知圓錐曲線（為參數(shù)）和定點(diǎn)，、是此圓錐曲線的左、右焦點(diǎn)，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系（1）求直線的直角坐標(biāo)方程；（2）經(jīng)過點(diǎn)且與直線垂直的直線交此圓錐曲線于、兩點(diǎn)，求的值13 已知曲線的極坐標(biāo)方程為，以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）（1）把曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，把直線的參數(shù)方程化為普通方程；（2）求直線被曲線截得的線段的長.14已知曲線的極坐標(biāo)方程是，直線的參數(shù)方程是（為參數(shù)）（）將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（）設(shè)直線與軸的交點(diǎn)是，是曲線上一動(dòng)點(diǎn)，求的最大值【解析】（）曲線的極坐標(biāo)方程可化為， 又，所以曲線的直角坐標(biāo)方程為，（）將直線l的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，得，令，得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0） 又曲線為圓，圓的圓心坐標(biāo)為（1，0），半徑，則，所以.15. 在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C：，過點(diǎn)P（-2，-4）的直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）與C分別交于M，N.（1）寫出C的平面直角坐標(biāo)系方程和的普通方程；（2）若，成等比數(shù)列，求a 的值.【解析】（1）曲線C的直角坐標(biāo)方程為；直線的普通方程為. （2）將直線1的參數(shù)方程與C的直角坐標(biāo)方程聯(lián)立，得.設(shè)點(diǎn)M，N分別對應(yīng)參數(shù)t1，t2，恰為上述方程的根.則，.由題設(shè)得，即.由（*）得，則有，得，或.因?yàn)椋? 16. 已知曲線C： （t為參數(shù)）， C：（為參數(shù)）.（1）分別求出曲線C，C的普通方程；（2）若C上的點(diǎn)P對應(yīng)的參數(shù)為，Q為C上的動(dòng)點(diǎn)，求中點(diǎn)到直線 （t為參數(shù)）距離的最小值及此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)【名師原創(chuàng)測試篇】1在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的參數(shù)方程為求曲線的直角坐標(biāo)方程與曲線的普通方程；試判斷曲線與是否存在兩個(gè)交點(diǎn)？若存在，求出兩交點(diǎn)間的距離；若不存在，說明理由 【解析】 (1) 對于曲線：，得，故有，對于曲線：，消去參數(shù)得.(2) 顯然曲線：為直線，則其參數(shù)方程可寫為（為參數(shù)），與曲線：聯(lián)立方程組得，可知，所以與存在兩個(gè)交點(diǎn)，由，得. 2. 已知曲線的極坐標(biāo)方程是，直線的參數(shù)方程是（為參數(shù)）（）將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（）設(shè)直線與軸的交點(diǎn)是，是曲線上一動(dòng)點(diǎn)，求的最大值3. 已知曲線的參數(shù)方程： （為參數(shù)）, 曲線上的點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系()求曲線的極坐標(biāo)方程；（）已知直線過點(diǎn)，且與曲線于兩點(diǎn)，求的范圍【解析】()將點(diǎn)和代入曲線的參數(shù)方程：中得，所以，所以曲線的參數(shù)方程為，化為普通方程為，所以曲線的極坐標(biāo)方程（）設(shè)直線參數(shù)方程為直線的參數(shù)方程：，代入到曲線方程里，得到，由韋達(dá)定理可得到，因?yàn)?，所?. 已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)在直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸與x軸的正半軸重合曲線C的極坐標(biāo)方程為，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，tR)試在曲線C上求一點(diǎn)M，使它到直線l的距離最大5. 以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位，已知直線的參數(shù)方程是（為參數(shù)），圓的極坐標(biāo)方程是.（）求直線的方程和圓的直角坐標(biāo)方程；（）求直線被圓截得的弦長6. 在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為，曲線D的參數(shù)方程為（為參數(shù)）（）把C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（）判定曲線C與曲線D間的位置關(guān)系【解析】（）由得，將，代入得，即為曲線C的普通方程（）由（1）知曲線C的直角坐標(biāo)方程為：，即，是圓心C(1,1)，半徑=的圓將曲線D的參數(shù)方程化為普通方程為，曲線D是圓心D(,1)，半徑=，=，兩圓相交