高考數(shù)學(xué) 三輪講練測核心熱點(diǎn)總動(dòng)員新課標(biāo)版 專題22 幾何證明選修1 Word版含解析

【名師精講指南篇】【高考真題再現(xiàn)】1【20xx新課標(biāo)全國】如圖，直線AB為圓的切線，切點(diǎn)為B，點(diǎn)C在圓上，ABC的角平分線BE交圓于點(diǎn)E，DB垂直BE交圓于D.（）證明：DB=DC；（）設(shè)圓的半徑為1，BC=，延長CE交AB于點(diǎn)F，求BCF外接圓的半徑.【解析】（1）利用弦切角定理進(jìn)行求解；（2）利用（1）中的結(jié)論配合角度的計(jì)算可以得到答案.2.【20xx高考全國1】如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，的延長線與的延長線交于點(diǎn)，且.（）證明：；（）設(shè)不是的直徑，的中點(diǎn)為，且，證明：為等邊三角形.3.【20xx全國】如圖所示，為等腰三角形內(nèi)一點(diǎn)，圓與的底邊交于，兩點(diǎn)，與底邊上的高交于點(diǎn)，且與，分別相切于，兩點(diǎn).(1)證明：；(2)若等于圓O的半徑，且，求四邊形的面積. 4.【20xx全國】如圖所示，是直徑，是切線，交于點(diǎn)E.（1）若D為中點(diǎn)，求證：是的切線；（2）若，求的大小.解析（1）連接，如圖所示.因?yàn)闉橹睆?，所?又為中點(diǎn)，所以，所以.因?yàn)闉榍芯€，所以，即.在圓中，所以.結(jié)合，可得，即.所以是圓的切線.【熱點(diǎn)深度剖析】20xx年高考以圓為幾何背景考查弦切角定理，三角形全等，直角三角形外接圓半徑，考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的能力. 20xx年高考涉及到圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，垂徑定理的推論20xx年涉及到面積、切線證明、切割線定理。從三年試題來看，高考對(duì)這部分要求不是太高，要求會(huì)以圓為幾何背景，利用直角三角形射影定理，圓周角定理、圓的切線的判定定理及性質(zhì)定理，相交弦定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理、切割線定理證明三角形相似，全等，求線段長等，但連續(xù)幾年沒考查相交弦定理，預(yù)測20xx年高考可能以圓為幾何背景，考查相似三角形的證明、相交線定理，切割線定理，以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理，考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的能力.【重點(diǎn)知識(shí)整合】一、相似三角形1相似三角形(1)定義：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形，相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比值叫做相似比(或相似系數(shù))(2)判定判定定理1兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似判定定理2三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似判定定理3兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩三角形相似如果兩個(gè)直角三角形有一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等，那么它們相似如果兩個(gè)直角三角形的兩條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么它們相似如果一個(gè)直角三角形的斜邊與一條直角邊和另一個(gè)直角三角形的斜邊與一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似(3)性質(zhì)性質(zhì)定理1相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的高、中線和它們周長的比都等于相似比性質(zhì)定理2相似三角形面積的比等于相似比的平方相似三角形對(duì)應(yīng)角的平分線的比，外接圓直徑的比、周長的比，內(nèi)切圓直徑的比、周長的比都等于相似比相似三角形外接圓面積的比，內(nèi)切圓面積的比都等于相似比的平方2平行截割定理平行截割定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例推論：平行于三角形一邊的直線截其它兩邊(或兩邊的延長線)所得的對(duì)應(yīng)線段成比例3直角三角形的射影定理：若RtABC斜邊AB上的高為CD，則CD2AD·BD，BC2BD·AB，AC2AD·AB.二、圓冪定理與圓錐截線1圓的切線(1)切線判定定理經(jīng)過半徑外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線(2)切線性質(zhì)定理圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必過切點(diǎn)經(jīng)過切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心推論1從圓外一點(diǎn)所引圓的兩條切線長相等推論2經(jīng)過圓外一點(diǎn)和圓心的直線平分從這點(diǎn)向圓所引兩條切線的夾角(3)內(nèi)切圓、旁切圓與一個(gè)三角形三邊都相切的圓，叫做這個(gè)三角形的內(nèi)切圓；與三角形的一邊和其它兩邊的延長線都相切的圓，叫做三角形的旁切圓2圓心角定理圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)3圓周角定理圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)的一半推論1直徑(或半圓)所對(duì)的圓周角都是直角推論2同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等推論3等于直角的圓周角所對(duì)的弦是圓的直徑4弦切角定理弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半推論：弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角5圓冪定理(1)相交弦定理圓的兩條相交弦被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等(2)切割線定理從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)(3)割線定理從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的積相等圓冪定理已知(O，r)，通過一定點(diǎn)P，作O的任一條割線交圓于A、B兩點(diǎn)，則PA·PB定值k.當(dāng)點(diǎn)P在圓外時(shí)，kPO2r2，當(dāng)點(diǎn)P在圓內(nèi)時(shí)，kr2OP2，當(dāng)點(diǎn)P在O上時(shí)，k0，通常把這里的定值k稱作點(diǎn)P對(duì)O的冪6圓內(nèi)接四邊形(1)圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)定理對(duì)角互補(bǔ)外角等于它的內(nèi)對(duì)角(2)圓內(nèi)接四邊形判定定理如果一個(gè)四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形內(nèi)接于圓推論如果四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角，那么這個(gè)四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓【應(yīng)試技巧點(diǎn)撥】1輔助線作法：幾何證明題的一個(gè)重要問題就是作出恰當(dāng)?shù)妮o助線，相似關(guān)系的基礎(chǔ)就是平行截割定理，故作輔助線的主要方法就是作平行線，見中點(diǎn)取中點(diǎn)連線利用中位線定理，見比例點(diǎn)取等比的分點(diǎn)構(gòu)造平行關(guān)系，截取等長線段構(gòu)造全等關(guān)系，立體幾何中通過作平行線或連結(jié)異面直線上的點(diǎn)化異為共等等都是常用的作輔助線方法2比例的性質(zhì)的應(yīng)用相似關(guān)系的證明中，經(jīng)常要應(yīng)用比例的性質(zhì)：若，則；.3同一法：先作出一個(gè)滿足命題結(jié)論的圖形，然后證明圖形符合命題已知條件，確定所作圖形與題設(shè)條件所指的圖形相同，從而證明命題成立4.證明多點(diǎn)共圓，當(dāng)兩點(diǎn)在一條線段同側(cè)時(shí)，可證它們對(duì)此線段張角相等，也可以證明它們與某一定點(diǎn)距離相等；如兩點(diǎn)在一條線段異側(cè)，則證明它們與線段兩端點(diǎn)連成的凸四邊形對(duì)角互補(bǔ)5.與圓有關(guān)的比例線段 (1)應(yīng)用相交弦定理、切割線定理要抓住幾個(gè)關(guān)鍵內(nèi)容：如線段成比例與相似三角形、圓的切線及其性質(zhì)、與圓有關(guān)的相似三角形等(2)相交弦定理、切割線定理主要是用于與圓有關(guān)的比例線段的計(jì)算與證明解決問題時(shí)要注意相似三角形知識(shí)及圓周角、弦切角、圓的切線等相關(guān)知識(shí)的綜合應(yīng)用【考場經(jīng)驗(yàn)分享】1應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)時(shí)，對(duì)應(yīng)量必須找準(zhǔn)(對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角，對(duì)應(yīng)邊上的高、中線，對(duì)應(yīng)的角平分線等等)，牢牢把握對(duì)應(yīng)角對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)邊對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角2判定兩三角形相似時(shí)，可以用三邊對(duì)應(yīng)成比例，也可以用兩角對(duì)應(yīng)相等(只要兩角對(duì)應(yīng)相等，第三個(gè)角也對(duì)應(yīng)相等)但兩邊對(duì)應(yīng)成比例時(shí)，必須有夾角相等的條件3等弧對(duì)等弦、對(duì)等圓心角、對(duì)等圓周角、對(duì)等弦切角的前提是同圓或等圓4相交弦定理、切割線定理、割線定理、切線長定理統(tǒng)稱為圓冪定理：圓的兩條弦或其延長線若相交，各弦被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等.當(dāng)兩交點(diǎn)在圓內(nèi)時(shí)為相交弦定理，當(dāng)兩交點(diǎn)在圓外時(shí)為割線定理，兩交點(diǎn)重合時(shí)為切線，一條上兩點(diǎn)重合時(shí)為切割線定理，兩條都重合時(shí)為切線長定理，應(yīng)用此定理一定要分清兩條線段是指哪兩條【名題精選練兵篇】1.【20xx河北唐山二?！咳鐖D，四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，AC與BD相交于點(diǎn)F，AE與圓O相切于點(diǎn)A，與CD的延長線相交于點(diǎn)E，ADEBDC（）證明：A、E、D、F四點(diǎn)共圓；（）證明：ABEFEBOFDCA2.【20xx廣西桂林市、北海市、崇左市3月聯(lián)合調(diào)研】如圖,四邊形是圓O的內(nèi)接四邊形,延長和相交于點(diǎn),（1）求的值；（2）若為圓O的直徑,且,求的長【解析】（1）由,得與相似 設(shè),則有, （2）由題意知,， , 3.【20xx吉林長春質(zhì)量監(jiān)測（二）】如圖，過圓外一點(diǎn)的作圓的切線，為切點(diǎn)，過的中點(diǎn)的直線交圓于、兩點(diǎn)，連接并延長交圓于點(diǎn)，連接交圓于點(diǎn)，若.（1）求證：；(2) 求證：四邊形是平行四邊形.4.【20xx安徽“江南十?！甭?lián)考】如圖，過圓O外一點(diǎn)作圓O的兩條切線，其中為切點(diǎn)，為的一條直徑，連并延長交的延長線于點(diǎn).（）證明：；（）若,求的值.解：（）連接、，因?yàn)?、為圓的切線，所以垂直平分又為圓的直徑，所以，所以又為的中點(diǎn)，故為的中點(diǎn)，所以 （）設(shè)，則，在中，由射影定理可得：，在中，. = 5.【20xx河南新鄉(xiāng)許昌平頂山二調(diào)】如圖，圓O1與圓O2相交于A、B兩點(diǎn)，AB是圓O2的直徑，過A點(diǎn)作圓O1的切線交圓O2于點(diǎn)E，并與BO1的延長線交于點(diǎn)P，PB分別與圓O1、圓O2交于C，D兩點(diǎn) （）求證：PA·PDPE·PC； （）求證：ADAE6.【20xx甘肅蘭州實(shí)戰(zhàn)考試】 7.【20xx福建4月質(zhì)檢】如圖，的兩條中線AD和BE相交于點(diǎn)G，且D,C,E,G四點(diǎn)共圓.()求證：；()若GC=1，求AB.解法一：（）連結(jié)，因?yàn)樗狞c(diǎn)共圓，則又因?yàn)闉榈膬蓷l中線，所以分別是的中點(diǎn)，故所以，從而（）因?yàn)闉榕c的交點(diǎn)，故為的重心，延長交于，則為的中點(diǎn)，且在與中，因?yàn)?，所以，所以，即來?Z+xx+k.Com因?yàn)椋?，即，又，所以解法二：（）同解法?【20xx屆陜西省寶雞市九校高三聯(lián)合檢測】已知圓內(nèi)接ABC中，D為BC上一點(diǎn)，且ADC為正三角形，點(diǎn)E為BC的延長線上一點(diǎn)，AE為圓O的切線（）求BAE 的度數(shù)；（）求證: 【解析】證明:（）在EAB與ECA中，因?yàn)锳E為圓O的切線，所以EBA =EAC，又E公用，所以EAB =ECA，因?yàn)锳CD為等邊三角形，所以 （）因?yàn)锳E為圓O的切線,所以ABD=CAE ，因?yàn)锳CD為等邊三角形,所以ADC =ACD,所以ADB=ECA,所以ABDEAC ，所以,即 ，因?yàn)锳CD為等邊三角形,所以AD=AC=CD, ，所以.9. 【20xx屆河北省唐山市高三第一次模擬】如圖，圓周角的平分線與圓交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D的切線與弦AC的延長線交于點(diǎn)E，AD交BC于點(diǎn)F.（）求證：；（）若D，E，C，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，且弧長AC等于弧長BC，求.10. 【20xx屆甘肅省部分普通高中高三第一次聯(lián)考】如圖所示，為圓的切線，為切點(diǎn)，的角平分線與和圓分別交于點(diǎn)和.（1）求證 （2）求的值.11. 如圖所示，已知為圓的直徑，是圓上的兩個(gè)點(diǎn)，于，交于，交于，（1）求證：是劣弧的中點(diǎn)；（2）求證：【解析】（1） ，圓的直徑，為劣弧的中點(diǎn)； （2），12如圖，已知是的直徑，是的切線，為切點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接、，延長交于.（1）證明：；（2）證明：.【解析】（1）為的切線，為切點(diǎn)，為的直徑，又，又， ， ；（2）由弦切角定理可知，四邊形為圓的內(nèi)接四邊形， 又，. 13 如圖，是的一條切線，切點(diǎn)為，直線，都是的割線，已知（1）求證：；（2）若，求的值14如圖，已知AB是O的直徑，CD是O的切線，C為切點(diǎn)，連接AC，過點(diǎn)A作ADCD于點(diǎn)D，交O于點(diǎn)E（）證明：AOC=2ACD；（）證明：ABCD=ACCE15. 如圖，為上的三個(gè)點(diǎn)，是的平分線，交于點(diǎn)，過作的切線交的延長線于點(diǎn)（1）證明：平分；（2）證明：【解析】 (1)因?yàn)槭堑那芯€，所以，又因?yàn)樗?即平分. (2)由可知，且，,所以,又因?yàn)?所以， ，所以， 所以 16. 如圖,內(nèi)接于, 是的直徑, 是過點(diǎn)的直線, 且.ABCOEDP()求證: 是的切線;()如果弦交于點(diǎn), , , , 求.【名師原創(chuàng)測試篇】1如圖所示，是圓的切線，為切點(diǎn)，是圓的割線，的平分線與，分別交于點(diǎn)，且()求證：；()求的大小【解析】()證明：由題意可知，由弦切角定理得，則，則，由三角形角平分線定理得,，則.()，而，.又在中，可知.又，.2. 如圖，是的外接圓，D是的中點(diǎn)，BD交AC于E（）求證：；（）若，O到AC的距離為1，求O的半徑ACBOED3. 如圖所示, 為圓的切線, 為切點(diǎn),，的角平分線與和圓分別交于點(diǎn)和. （）求證； （）求的值.4. 如圖，在ABC中，CM是ACB的平分線，AMC的外接圓O交BC于點(diǎn)N. 若AB=2AC，求證：BN=2AM.MCNBO·A 【解析】連結(jié)MN，則由BM·BA=BN·BC得： ，又 ,所以， 于是. 因?yàn)镃M是ACB的平分線，所以MN=AM，故BN=2AM. 5. 已知P是圓O外一點(diǎn)，PE切圓O于點(diǎn)E，A是圓O上一點(diǎn)，PA交圓O于B點(diǎn)，C為AE一點(diǎn)，PC交BE與D，CEDE（）求證：PC是的平分線（）【解析】（）于點(diǎn)，ECD=EDC，CPA=CPE，PC是APE的平分線（）， ， ，PE是圓O的切線，PBA是圓O的割線，=，=.6. 如圖，內(nèi)接于直徑為的圓，過點(diǎn)作圓的切線交的延長線于點(diǎn)，的平分線分別交和圓于點(diǎn)，若.（）求證：；（）求的值.