浙江高考數(shù)學(xué)理二輪專題復(fù)習(xí)檢測(cè)：第一部分 專題整合高頻突破 專題五　立體幾何與空間向量 專題能力訓(xùn)練13 Word版含答案

專題能力訓(xùn)練13空間向量與立體幾何(時(shí)間:60分鐘滿分:100分)一、選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分)1.直三棱柱ABC-A1B1C1中,ACB=90°,BAC=30°,BC=1,AA1=,M是CC1的中點(diǎn),則異面直線AB1與A1M所成的角為() A.60°B.45°C.30°D.90°2.已知平面內(nèi)有一點(diǎn)M(1,-1,2),平面的一個(gè)法向量為n=(6,-3,6),則下列點(diǎn)P中,在平面內(nèi)的是()A.P(2,3,3)B.P(-2,0,1)C.P(-4,4,0)D.P(3,-3,4)3.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為BB1的中點(diǎn),則平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為()ABCD4.(2017浙江金華聯(lián)盟聯(lián)考)已知斜四棱柱ABCD-A1B1C1D1的各棱長(zhǎng)均為2,A1AD=60°,BAD=90°,平面A1ADD1平面ABCD,則直線BD1與平面ABCD所成的角的正切值為()ABCD5.在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是BC的中點(diǎn),P,Q是正方體內(nèi)部或面上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),則的最大值是()AB.1CD6.在直三棱柱A1B1C1-ABC中,BAC=,AB=AC=AA1=1,已知G和E分別為A1B1和CC1的中點(diǎn),D與F分別為線段AC和AB上的動(dòng)點(diǎn)(不包括端點(diǎn)),若GDEF,則線段DF的長(zhǎng)度的取值范圍為()ABCD7.如圖,在四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAD為正三角形,底面ABCD為正方形,側(cè)面PAD底面ABCD,M為底面ABCD內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且滿足MP=MC,則點(diǎn)M在正方形ABCD內(nèi)的軌跡為()8.如圖,在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,P,Q分別是線段CC1,BD上的點(diǎn),R是直線AD上的點(diǎn),滿足PQ平面ABC1D1,PQRQ,且P,Q不是正方體的頂點(diǎn),則|PR|的最小值是()ABCD二、填空題(本大題共6小題,每小題5分,共30分)9.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,棱長(zhǎng)為a,M,N分別為A1B和AC上的點(diǎn),A1M=AN=,則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是. 10.(2017浙江杭州模擬)在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=AA1=1,則D1C1與平面A1BC1所成角的正弦值為. 11.過正方形ABCD的頂點(diǎn)A作線段PA平面ABCD,若AB=PA,則平面ABP與平面CDP所成的二面角為. 12.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為3,在面對(duì)角線A1D上取點(diǎn)M,在面對(duì)角線CD1上取點(diǎn)N,使得MN平面AA1C1C,當(dāng)線段MN長(zhǎng)度取到最小值時(shí),三棱錐A1-MND1的體積為.13.已知點(diǎn)E,F分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AB,AA1的中點(diǎn),點(diǎn)M,N分別是線段D1E與C1F上的點(diǎn),則與平面ABCD垂直的直線MN有條. A.0B.1C.2D.無數(shù)個(gè)14.如圖所示,在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M和N分別是A1B1和BB1的中點(diǎn),那么直線AM與CN所成角的余弦值為. 三、解答題(本大題共2小題,共30分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)15.(本小題滿分15分)在邊長(zhǎng)為3的正三角形ABC中,E,F,P分別是AB,AC,BC邊上的點(diǎn),滿足AEEB=CFFA=CPPB=12(如圖(1),將AEF沿EF折起到A1EF的位置,使二面角A1-EF-B成直二面角,連接A1B, A1P(如圖(2).(1)求證:A1E平面BEP;(2)求二面角B-A1P-E的余弦值.16.(本小題滿分15分)如圖,在四棱錐A-EFCB中,AEF為等邊三角形,平面AEF平面EFCB,EFBC,BC=4,EF=2a,EBC=FCB=60°,O為EF的中點(diǎn).(1)求證:AOBE;(2)求二面角F-AE-B的余弦值;(3)若BE平面AOC,求a的值.參考答案專題能力訓(xùn)練13空間向量與立體幾何1.D2.A解析 逐一驗(yàn)證法,對(duì)于選項(xiàng)A,=(1, 4,1),·n=6-12+6=0,n,點(diǎn)P在平面內(nèi),同理可驗(yàn)證其他三個(gè)點(diǎn)不在平面內(nèi).3.B解析 以A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,設(shè)棱長(zhǎng)為1,則A1(0,0,1),E,D(0,1,0),=(0,1,-1),.設(shè)平面A1ED的一個(gè)法向量為n1=(1,y,z),有解得n1=(1,2,2).平面ABCD的一個(gè)法向量為n2=(0,0,1),cos<n1,n2>=,即所成的銳二面角的余弦值為.4.C解析 取AD的中點(diǎn)O,連接OA1,易證A1O平面ABCD.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,得B(2,-1,0),D1(0,2,),=(-2,3,),平面ABCD的一個(gè)法向量為n=(0,0,1),設(shè)BD1與平面ABCD所成的角為,sin =,tan =.5.C解析 以A為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以AD,AB,AA1所在直線為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),M,所以.設(shè)=(x,y,z),由題意可知因?yàn)?amp;#183;x+1·y+0·z=x+y,又-1x1,-1y1,所以-x.所以-x+y.故的最大值為.6.A解析建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),E,G,F(x,0,0),D(0,y,0).由于GDEF,所以x+2y-1=0,DF=.當(dāng)y=時(shí),線段DF長(zhǎng)度的最小值是.當(dāng)y=1時(shí),線段DF長(zhǎng)度的最大值是1.因不包括端點(diǎn),故y=1不能取,應(yīng)選A.7.A解析 以D為原點(diǎn),DA,DC分別為x軸、y軸建立坐標(biāo)系如圖:設(shè)M(x,y,0),正方形邊長(zhǎng)為a,則P,C(0,a,0),則|MC|=,|MP|=.由|MP|=|MC|得x=2y,所以點(diǎn)M在正方形ABCD內(nèi)的軌跡為一條直線y=x.故選A.8.B解析 如圖,分別以AB,AD,AA1所在直線為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則B(1,0,0),D(0,1,0),B1(1,0,1),C(1,1,0).設(shè)P(1,1,m)(0m1),=(01),Q(x0,y0,0),則(x0-1,y0,0)=(-1,1,0),Q(1-,0),=(-,-1,-m).連接B1C,正方體ABCD-A1B1C1D1中,BCC1B1是正方形,AB平面BCC1B1,B1CAB,B1CBC1.又ABBC1=B,B1C平面ABC1D1,PQ平面ABC1D1,B1CPQ.又=(0,1,-1),=-1+m=0,=1-m,Q(m,1-m,0),=(m-1,-m,-m).設(shè)R(0,n,0),則=(m,1-m-n,0),PQRQ,=m(m-1)-m(1-m-n)=0,即n=2-2m,R(0,2-2m,0),=(-1,1-2m,-m),|=,當(dāng)m=時(shí),|PR|的最小值是.9.MN平面BB1C1C解析 以C1為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的坐標(biāo)系.A1M=AN=,則M,N,.又C1(0,0,0),D1(0,a,0),=(0,a,0),=0,.又是平面BB1C1C的法向量,且MN平面BB1C1C,MN平面BB1C1C.10.解析 以D為原點(diǎn),DA為x軸,DC為y軸,DD1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)n=(x,y,z)為平面A1BC1的法向量,則n·=0,n·=0,即令z=2,則y=1,x=2,于是n=(2,1,2),=(0,2,0).設(shè)所求線面角為,則sin =|cos<n,>|=.11.45°解析 如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AB=PA=1,則A(0,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),由題意,AD平面PAB,設(shè)E為PD的中點(diǎn),連接AE,則AEPD,又CD平面PAD,CDAE,從而AE平面PCD.=(0,1,0),分別是平面PAB,平面PCD的法向量,且<>=45°.故平面PAB與平面PCD所成的二面角為45°.12.1解析 如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,則可設(shè)M(t,0,t),N(0,s,3-s),=(t,-s,t+s-3),易知平面AA1C1C的法向量n=(1,1,0),由MN平面AA1C1C可知,·n=0,(t,-s,t+s-3)·(1,1,0)=0,得t=s.|2=2t2+(2t-3)2=6t2-12t+9,故當(dāng)t=1時(shí),MN長(zhǎng)度取到最小值,此時(shí)M(1,0,1), N(0,1,2),·yN=·3·2·1=1.13.1解析 不妨設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則D1(2,0,2),E(1,2,0),=(-1,2,-2),C1(0,0,2),F(2,2,1),=(2,2,-1).設(shè)=t,則M(2-,2,2-2),N(2t,2t,2-t),=(2t-2+,2t-2,2-t).由于MN與平面ABCD垂直,所以=t=,由于此解唯一,故滿足條件的MN只有一條.14.解析 以D為坐標(biāo)原點(diǎn),為x軸,為y軸,為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.則A(1,0,0),M,C(0,1,0),N,.設(shè)直線AM與CN所成的角為,則cos =|cos<>|=.15.(1)證明 在圖(1)中,取BE的中點(diǎn)D,連接DF,AEEB=CFFA=12,AF=AD=2,而A=60°,ADF為正三角形.又AE=DE=1,EFAD.在圖(2)中,A1EEF,BEEF,A1EB為二面角A1-EF-B的一個(gè)平面角.由題設(shè)條件知此二面角為直二面角,A1E平面BEP.(2)解 分別以EB,EF,EA1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則E(0,0,0),B(2,0,0),P(1,0),A1(0,0,1),=(0,0,1),=(1,0),=(-2,0,1),=(-1,0).設(shè)面EA1P的法向量為m=(x,y,z),則取y=-1,得m=(,-1,0);設(shè)面BA1P的法向量為n=(x,y,z),則取y=1,得n=(,1,2).cos<m,n>=.二面角B-A1P-E的余弦值為.16.解 (1)因?yàn)锳EF是等邊三角形,O為EF的中點(diǎn),所以AOEF.又因?yàn)槠矫鍭EF平面EFCB,AO平面AEF,所以AO平面EFCB,所以AOBE.(2)取BC中點(diǎn)G,連接OG.由題設(shè)知EFCB是等腰梯形,所以O(shè)GEF.由(1)知AO平面EFCB,又OG平面EFCB,所以O(shè)AOG.如圖建立空間直角坐標(biāo)系O -xyz,則E(a,0,0),A(0,0,a),B(2,(2-a),0),=(-a,0,a),=(a-2,(a-2),0).設(shè)平面AEB的法向量為n=(x,y,z),則令z=1,則x=,y=-1.于是n=(,-1,1).平面AEF的法向量為p=(0,1,0).所以cos <n,p>=-.由題知二面角F-AE-B為鈍角,所以它的余弦值為-.(3)因?yàn)锽E平面AOC,所以BEOC,即=0.因?yàn)?(a-2,(a-2),0),=(-2,(2-a),0),所以=-2(a-2)-3(a-2)2.由=0及0<a<2,解得a=.