【導與練】新課標高三數(shù)學一輪復習 第9篇 第3節(jié) 變量間的相關關系與統(tǒng)計案例課時訓練 理

【導與練】（新課標）2016屆高三數(shù)學一輪復習 第9篇 第3節(jié) 變量間的相關關系與統(tǒng)計案例課時訓練 理 【選題明細表】 知識點、方法 題號 相關關系 1、4、8、10 線性回歸方程及其應用 2、5、6、9、13、14 獨立性檢驗 3、11、12 綜合應用 7、15、16 基礎過關 一、選擇題 1.下列關系屬于線性負相關的是(　C　) (A)父母的身高與子女身高的關系 (B)某農(nóng)作物產(chǎn)量與施肥量的關系 (C)汽車的質(zhì)量與汽車每消耗1 L汽油所行駛的平均路程 (D)一個家庭的收入與支出 解析:上述四項中,只有C項,汽車的重量越大,汽車每消耗1 L汽油所行駛的平均路程越短是負相關關系. 2.(2014黑龍江省哈爾濱市第三中學三模)已知x與y之間的一組數(shù)據(jù): x 0 1 2 3 y m 3 5.5 7 已求得關于y與x的線性回歸方程為y＾=2.1x+0.85,則m的值為(　D　) (A)1 (B)0.85 (C)0.7 (D)0.5 解析:x=14(0+1+2+3)=1.5; y=14(m+3+5.5+7)=15.5+m4, 故樣本中心點為（1.5,15.5+m4）. 由樣本中心必在回歸直線上可知, 15.5+m4=2.1×1.5+0.85,解得m=0.5. 3.(2014株洲模擬)通過隨機詢問110名大學生是否愛好某項運動,得到列聯(lián)表: 男 女 總計 愛好 40 20 60 不愛好 20 30 50 總計 60 50 110 由K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d), 得K2=110×(40×30-20×20)260×50×60×50≈7.8. 附表: P(K2≥k0) 0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828 參照附表,得到的正確結(jié)論是(　A　) (A)有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關” (B)有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別無關” (C)在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下,認為“愛好該項運動與性別有關” (D)在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下,認為“愛好該項運動與性別無關” 解析:因為7.8>6.635,所以有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關”. 4.在一組樣本數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)(n≥2,x1,x2,…,xn不全相等)的散點圖中,若所有樣本點(xi,yi)(i=1,2,…,n)都在直線y=12x+1上,則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關系數(shù)為(　D　) (A)-1 (B)0 (C)12 (D)1 解析:樣本點都在直線上時,其數(shù)據(jù)的估計值與真實值是相等的,故其相關系數(shù)為1. 5.(2014合肥一中質(zhì)量檢測)某研究機構(gòu)對高三學生的記憶力x和判斷力y進行統(tǒng)計分析,所得數(shù)據(jù)如表: x 6 8 10 12 y 2 3 5 6 則y對x的線性回歸方程為(　C　) (A)y＾=2.3x-0.7 (B)y＾=2.3x+0.7 (C)y＾=0.7x-2.3 (D)y＾=0.7x+2.3 解析:由題中表格,x=9,y=4,∑i=14xiyi=158,∑i=14xi2=344, ∴b＾=158-4×9×4344-4×92=0.7,a＾=4-0.7×9=-2.3, ∴回歸直線方程為y＾=0.7x-2.3. 6.某產(chǎn)品的廣告費用x與銷售額y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表: 廣告費用x(萬元) 4 2 3 5 銷售額y(萬元) 49 26 39 54 根據(jù)表可得回歸方程y＾=b＾x+a＾中的b＾為9.4,據(jù)此模型預報廣告費用為6萬元時銷售額為(　B　) (A)63.6萬元 (B)65.5萬元 (C)67.7萬元 (D)72.0萬元 解析:x=4+2+3+54=3.5(萬元), y=49+26+39+544=42(萬元), ∴a＾=y-b＾x=42-9.4×3.5=9.1, ∴回歸方程為y＾=9.4x+9.1, ∴當x=6(萬元)時,y＾=9.4×6+9.1=65.5(萬元). 7.(2014晉江模擬)下列說法: ①將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個常數(shù)后,方差恒不變; ②設有一個回歸方程y＾=3-5x,變量x增加一個單位時,y平均增加5個單位; ③線性回歸方程y＾=b＾x+a＾必過(x,y); ④在一個2×2列聯(lián)表中,由計算得K2=13.079,則有99%的把握確認這兩個變量間有關系.其中錯誤的個數(shù)是(　B　) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 本題可以參考獨立性檢驗臨界值表: P(K2≥k0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 解析:一組數(shù)據(jù)都加上或減去同一個常數(shù),數(shù)據(jù)的平均數(shù)有變化,方差不變(方差是反映數(shù)據(jù)的波動程度的量),①正確;回歸方程中x的系數(shù)具備直線斜率的功能,對于回歸方程y＾=3-5x,當x增加一個單位時,y平均減少5個單位,②錯誤;由線性回歸方程的定義知,線性回歸方程y＾=b＾x+a＾必過點(x,y),③正確;因為K2=13.079>6.635,故有99%的把握確認這兩個變量間有關系,④正確.故選B. 二、填空題 8.已知施化肥量x與水稻產(chǎn)量y的試驗數(shù)據(jù)如表,則變量x與變量y是　　　　相關(填“正”或“負”).  施化肥量x 15 20 25 30 35 40 45 水稻產(chǎn)量y 330 345 365 405 445 450 455 解析:因為散點圖能直觀地反映兩個變量是否具有相關關系,所以畫出散點圖如圖所示: 通過觀察圖象可知變量x與變量y是正相關. 答案:正 9.考古學家通過始祖鳥化石標本發(fā)現(xiàn):其股骨長度x(cm)與肱骨長度y(cm)的線性回歸方程為y＾=1.197x-3.660,由此估計,當股骨長度為50 cm時,肱骨長度的估計值為　　　　cm.  解析:根據(jù)線性回歸方程y＾=1.197x-3.660,將x=50代入得y=56.19,則肱骨長度的估計值為56.19 cm. 答案:56.19 10.(2014南開模擬)如圖所示,有A,B,C,D,E5組數(shù)據(jù),去掉　　　　組數(shù)據(jù)后,剩下的4組數(shù)據(jù)具有較強的線性相關關系.  解析:由散點圖知呈帶狀區(qū)域時有較強的線性相關關系,故去掉D. 答案:D 11.為了判斷高中三年級學生選修文科是否與性別有關,現(xiàn)隨機抽取50名學生,得到2×2列聯(lián)表: 理科 文科 合計 男 13 10 23 女 7 20 27 合計 20 30 50 已知P(K2≥3.841)≈0.05,P(K2≥5.024)≈0.025. 根據(jù)表中數(shù)據(jù),得到K2=50×(13×20-10×7)223×27×20×30≈4.844, 則認為選修文科與性別有關系出錯的可能性約為　　　　.  解析:由K2≈4.844>3.841. 故認為選修文科與性別有關系出錯的可能性約為5%. 答案:5% 三、解答題 12.(2014高考遼寧卷)某大學餐飲中心為了解新生的飲食習慣,在全校一年級學生中進行了抽樣調(diào)查,調(diào)查結(jié)果如表所示: 喜歡甜品 不喜歡甜品 合計 南方學生 60 20 80 北方學生 10 10 20 合計 70 30 100 (1)根據(jù)表中數(shù)據(jù),問是否有95%的把握認為“南方學生和北方學生在選用甜品的飲食習慣方面有差異”; (2)已知在被調(diào)查的北方學生中有5名數(shù)學系的學生,其中2名喜歡甜品.現(xiàn)在從這5名學生中隨機抽取3人,求至多有1人喜歡甜品的概率. 附:χ2=n(n11n22-n12n21)2n1+n2+n+1n+2, P(χ2≥k) 0.100 0.050 0.010 k 2.706 3.841 6.635 解:(1)將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計算, 得χ2=n(n11n22-n12n21)2n1+n2+n+1n+2=100×(60×10-20×10)270×30×80×20=10021≈4.762. 由于4.762>3.841,所以有95%的把握認為“南方學生和北方學生在選用甜品的飲食習慣方面有差異”. (2)從5名數(shù)學系學生中任取3人的一切可能結(jié)果所組成的基本事件空間Ω={(a1,a2,b1),(a1,a2,b2),(a1,a2,b3),(a1,b1,b2),(a1,b1,b3), (a1,b2,b3),(a2,b1,b2),(a2,b1,b3),(a2,b2,b3),(b1,b2,b3)}. 其中ai表示喜歡甜品的學生,i=1,2.bj表示不喜歡甜品的學生,j=1,2,3. Ω由10個基本事件組成,且這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的. 用A表示“3人中至多有1人喜歡甜品”這一事件,則 A={(a1,b1,b2),(a1,b1,b3),(a1,b2,b3),(a2,b1,b2),(a2,b1,b3), (a2,b2,b3),(b1,b2,b3)}. 事件A由7個基本事件組成,因而P(A)=710. 能力提升 13.(2014沈陽五模)經(jīng)統(tǒng)計,用于數(shù)學學習的時間(單位:小時)與成績(單位:分)近似于線性相關關系.對某小組學生每周用于數(shù)學的學習時間x與數(shù)學成績y進行數(shù)據(jù)收集如表: x 15 16 18 19 22 y 102 98 115 115 120 由表中樣本數(shù)據(jù)求得回歸方程為y＾=b＾x+a＾,則點(a＾,b＾)與直線x+18y=100的位置關系是(　B　) (A)a＾+18b＾<100 (B)a＾+18b＾>100 (C)a＾+18b＾=100 (D)a＾+18b＾與100的大小無法確定 解析:x=15(15+16+18+19+22)=18, y=15(102+98+115+115+120)=110. 所以樣本數(shù)據(jù)的中心點為(18,110). 所以110=18b＾+a＾. 即點(a＾,b＾)滿足a＾+18b＾=110>100. 14.高三某班學生每周用于物理學習的時間x(單位:小時)與物理成績y(單位:分)之間有如下關系: x 24 15 23 19 16 11 20 16 17 13 y 92 79 97 89 64 47 83 68 71 59 根據(jù)表可得回歸方程的斜率為3.53,則回歸直線在y軸上的截距為　　　　.(答案保留到0.1)  解析:由已知可得 x=24+15+23+19+16+11+20+16+17+1310=17.4, y=92+79+97+89+64+47+83+68+71+5910=74.9. 設回歸直線方程為y＾=3.53x+a＾, 則74.9=3.53×17.4+a＾, 解得a＾≈13.5. 答案:13.5 15.(2013高考重慶卷)從某居民區(qū)隨機抽取10個家庭,獲得第i個家庭的月收入xi(單位:千元)與月儲蓄yi(單位:千元)的數(shù)據(jù)資料,算得∑i=110xi=80,∑i=110yi=20,∑i=110xiyi=184,∑i=110xi2=720. (1)求家庭的月儲蓄y對月收入x的線性回歸方程y=bx+a; (2)判斷變量x與y之間是正相關還是負相關; (3)若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元,預測該家庭的月儲蓄. 附:線性回歸方程y=bx+a中, b=∑i=1nxiyi-nx-y-∑i=1nxi2-nx-2,a=y--bx-, 其中x-,y-為樣本平均值,線性回歸方程也可寫為y＾=b＾x+a＾. 解:(1)由題意知n=10,x=8,y=2, 又∑i=1nxi2-nx2=720-10×82=80, ∑i=1nxiyi-nx-y-=184-10×8×2=24, 由此得b=∑i=1nxiyi-nx-y-∑i=1nxi2-nx-2=2480=0.3, a=y-bx=2-0.3×8=-0.4, 故所求回歸方程為y=0.3x-0.4. (2)由于變量y的值隨x值的增加而增加(b=0.3>0),故x與y之間是正相關. (3)將x=7代入回歸方程可以預測該家庭的月儲蓄為y=0.3×7-0.4=1.7(千元). 探究創(chuàng)新 16.電視傳媒公司為了解某地區(qū)觀眾對某類體育節(jié)目的收視情況,隨機抽取了100名觀眾進行調(diào)查,其中女性有55名.下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時間的頻率分布表(時間單位為:分): 分組 [0,10) [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) 頻率 0.1 0.18 0.22 0.25 0.2 0.05 將日均收看該體育節(jié)目時間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”,已知“體育迷”中有10名女性. (1)根據(jù)已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表,據(jù)此資料你是否認為“體育迷”與性別有關? 非體育迷 體育迷 合計 男 女 合計 (2)將日均收看該體育節(jié)目不低于50分鐘的觀眾稱為“超級體育迷”,已知“超級體育迷”中有2名女性,若從“超級體育迷”中任意選取2人,求至少有1名女性觀眾的概率. 附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) P(K2≥k0) 0.05 0.01 k0 3.841 6.635 解:(1)由頻率分布表可知,在抽取的100人中,“體育迷”有25人,從而完成2×2列聯(lián)表如表: 非體育迷 體育迷 合計 男 30 15 45 女 45 10 55 合計 75 25 100 將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計算,得 K2=100×(30×10-45×15)275×25×45×55≈3.030. 因為3.030<3.841, 所以我們沒有充分理由認為“體育迷”與性別有關. (2)由頻率分布表可知,“超級體育迷”有5人, 從而一切可能結(jié)果所組成的基本事件空間為 Ω={(a1,a2),(a1,a3),(a2,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2), (a3,b1),(a3,b2),(b1,b2)}, 其中ai表示男性,i=1,2,3,bj表示女性,j=1,2. Ω由10個基本事件組成,而且這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的. 用A表示“任選2人中,至少有1人是女性”這一事件, 則A={(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2)},事件A由7個基本事件組成. ∴P(A)=710.