人教A版理科高考數(shù)學(xué)一輪細(xì)講精練【選修44】坐標(biāo)系與參數(shù)方程

選修44坐標(biāo)系與參數(shù)方程第1講坐標(biāo)系最新考綱1理解坐標(biāo)系的作用了解在平面直角坐標(biāo)系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況2會(huì)在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)刻畫(huà)點(diǎn)的位置，能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化3能在極坐標(biāo)系中給出簡(jiǎn)單圖形(如過(guò)極點(diǎn)的直線(xiàn)、過(guò)極點(diǎn)或圓心在極點(diǎn)的圓)表示的極坐標(biāo)方程.知 識(shí) 梳 理1極坐標(biāo)系(1)極坐標(biāo)系的建立：在平面上取一個(gè)定點(diǎn)O，叫做極點(diǎn)，從O點(diǎn)引一條射線(xiàn)Ox，叫做極軸，再選定一個(gè)長(zhǎng)度單位、一個(gè)角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時(shí)針?lè)较?，這樣就確定了一個(gè)極坐標(biāo)系設(shè)M是平面內(nèi)一點(diǎn)，極點(diǎn)O與點(diǎn)M的距離OM叫做點(diǎn)M的極徑，記為，以極軸Ox為始邊，射線(xiàn)OM為終邊的角叫做點(diǎn)M的極角，記為.有序數(shù)對(duì)(，)叫做點(diǎn)M的極坐標(biāo)，記作M(，)(2)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系：把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn)，x軸的正半軸作為極軸，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位，設(shè)M是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)是(x，y)，極坐標(biāo)為(，)，則它們之間的關(guān)系為xcos ，ysin_.另一種關(guān)系為2x2y2，tan .2直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程若直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)M(0，0)，且極軸到此直線(xiàn)的角為，則它的方程為：sin()0sin (0)幾個(gè)特殊位置的直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程(1)直線(xiàn)過(guò)極點(diǎn)：0和0；(2)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)M(a,0)且垂直于極軸：cos a；(3)直線(xiàn)過(guò)M且平行于極軸：sin b.3圓的極坐標(biāo)方程若圓心為M(0，0)，半徑為r的圓方程為220cos(0)r20.幾個(gè)特殊位置的圓的極坐標(biāo)方程(1)當(dāng)圓心位于極點(diǎn)，半徑為r：r；(2)當(dāng)圓心位于M(a,0)，半徑為a：2acos_；(3)當(dāng)圓心位于M，半徑為a：2asin_.診 斷 自 測(cè)1點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(，)，那么它的極坐標(biāo)可表示為_(kāi)解析直接利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式答案2若曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為2sin 4cos ，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，則該曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為_(kāi)解析2sin 4cos ，22sin 4cos .x2y22y4x，即x2y22y4x0.答案x2y24x2y03(2014西安五校一模)在極坐標(biāo)系(，)(02)中，曲線(xiàn)2sin 與cos 1的交點(diǎn)的極坐標(biāo)為_(kāi) 解析2sin 的直角坐標(biāo)方程為x2y22y0，cos 1的直角坐標(biāo)方程為x1，聯(lián)立方程，得解得即兩曲線(xiàn)的交點(diǎn)為(1,1)，又02，因此這兩條曲線(xiàn)的交點(diǎn)的極坐標(biāo)為.答案4在極坐標(biāo)系中，直線(xiàn)l的方程為sin 3，則點(diǎn)到直線(xiàn)l的距離為_(kāi)解析直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程可化為y3，點(diǎn)化為直角坐標(biāo)為(，1)，點(diǎn)到直線(xiàn)l的距離為2.答案25在極坐標(biāo)系中，圓4sin 的圓心到直線(xiàn)(R)的距離是_解析將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)系中的一般方程求解，極坐標(biāo)系中的圓4sin 轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)系中的一般方程為：x2y24y，即x2(y2)24，其圓心為(0,2)，直線(xiàn)轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)系中的方程為yx，即x3y0.圓心(0,2)到直線(xiàn)x3y0的距離為.答案考點(diǎn)一極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化【例1】 (1)把點(diǎn)M的極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo)；(2)把點(diǎn)M的直角坐標(biāo)(，1)化成極坐標(biāo)解(1)x5cos ，y5sin ，點(diǎn)M的直角坐標(biāo)是.(2)2，tan .點(diǎn)M在第三象限，0，最小正角.因此，點(diǎn)M的極坐標(biāo)是.規(guī)律方法 (1)在由點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)時(shí)，一定要注意點(diǎn)所在的象限和極角的范圍，否則點(diǎn)的極坐標(biāo)將不唯一(2)在曲線(xiàn)的方程進(jìn)行互化時(shí)，一定要注意變量的范圍要注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)性【訓(xùn)練1】 (1)把點(diǎn)M的極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo)；(2)把點(diǎn)P的直角坐標(biāo)(，)化成極坐標(biāo)(0,02)解(1)x8cos 4，y8sin 4，因此，點(diǎn)M的直角坐標(biāo)是(4,4)(2)2，tan ，又因?yàn)辄c(diǎn)在第四象限，得.因此，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為.考點(diǎn)二直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化【例2】 在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為cos1，M，N分別為曲線(xiàn)C與x軸，y軸的交點(diǎn)(1)寫(xiě)出曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程，并求M，N的極坐標(biāo)；(2)設(shè)M，N的中點(diǎn)為P，求直線(xiàn)OP的極坐標(biāo)方程解(1)cos1，cos cos sin sin 1.又，xy1.即曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程為xy20.令y0，則x2；令x0，則y.M(2,0)，N.M的極坐標(biāo)為(2,0)，N的極坐標(biāo)為.(2)M，N連線(xiàn)的中點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為，P的極角為.直線(xiàn)OP的極坐標(biāo)方程為(R)規(guī)律方法 直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化，關(guān)鍵要掌握好互化公式，研究極坐標(biāo)系下圖形的性質(zhì)，可轉(zhuǎn)化為我們熟悉的直角坐標(biāo)系的情境【訓(xùn)練2】 O1和O2的極坐標(biāo)方程分別為4cos ，4sin .(1)把O1和O2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；(2)求經(jīng)過(guò)O1，O2交點(diǎn)的直線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程解以極點(diǎn)的原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，兩坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位(1)4cos ，兩邊同乘以，得24cos ；4sin ，兩邊同乘以，得24sin .由cos x，sin y，2x2y2，得O1，O2的直角坐標(biāo)方程分別為x2y24x0和x2y24y0.(2)由得4x4y0，即xy0為所求直線(xiàn)方程考點(diǎn)三曲線(xiàn)極坐標(biāo)方程的應(yīng)用【例3】 (2014廣州調(diào)研)在極坐標(biāo)系中，求直線(xiàn)sin2被圓4截得的弦長(zhǎng)解由sin2，得(sin cos )2可化為xy20.圓4可化為x2y216，由圓中的弦長(zhǎng)公式得：224.故所求弦長(zhǎng)為4.規(guī)律方法 在已知極坐標(biāo)方程求曲線(xiàn)交點(diǎn)、距離、線(xiàn)段長(zhǎng)等幾何問(wèn)題時(shí)，如果不能直接用極坐標(biāo)解決，或用極坐標(biāo)解決較麻煩，可將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程解決【訓(xùn)練3】 (2012江蘇卷)在極坐標(biāo)系中，已知圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(，)，圓心為直線(xiàn)sin與極軸的交點(diǎn)，求圓C的極坐標(biāo)方程解在sin中令0，得1，所以圓C的圓心坐標(biāo)為(1,0)因?yàn)閳AC經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，所以圓C的半徑PC 1，于是圓C過(guò)極點(diǎn)，所以圓C的極坐標(biāo)方程為2cos .因忽視極坐標(biāo)系下點(diǎn)的極坐標(biāo)不唯一性致誤【典例】 (10分)在極坐標(biāo)系下，若點(diǎn)P(，)的一個(gè)極坐標(biāo)為，求以為坐標(biāo)的不同的點(diǎn)的極坐標(biāo)錯(cuò)解展示甲：解化為直角坐標(biāo)為(2,2)，故該點(diǎn)與原點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，)，化為極坐標(biāo)為.乙：解4，故2，因此所求極坐標(biāo)為.規(guī)范解答為點(diǎn)P(，)的一個(gè)極坐標(biāo)4或4. (2分)當(dāng)4時(shí)，2k(kZ)，2，k(kZ)(4分)當(dāng)4時(shí)，2k(kZ)，2，k(kZ)(6分)有四個(gè)不同的點(diǎn)：P1，P2(kZ)，P3，P4(kZ) (10分)反思感悟甲生解法中將直角坐標(biāo)系的中點(diǎn)坐標(biāo)公式應(yīng)用于極坐標(biāo)系中的中點(diǎn)，事實(shí)上(，)與的關(guān)系并不是點(diǎn)(，)與極點(diǎn)的中點(diǎn)為，從幾何意義上講點(diǎn)應(yīng)滿(mǎn)足該點(diǎn)的極角為的，極徑為的.乙生解法中滿(mǎn)足的幾何意義，但由于極坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的極坐標(biāo)的不唯一性，還應(yīng)就點(diǎn)(，)的其他形式的極坐標(biāo)進(jìn)行討論【自主體驗(yàn)】下列各點(diǎn)中與極坐標(biāo)不表示同一個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo)是_解析因?yàn)榕c表示同一點(diǎn)的坐標(biāo)有或，其中kZ，所以易得只有不同答案一、填空題1在極坐標(biāo)系中，圓2sin 的圓心的極坐標(biāo)是_(填序號(hào))；(1,0)；(1，)解析圓的方程可化為22sin ，由得x2y22y，即x2(y1)21，圓心為(0，1)，化為極坐標(biāo)為.答案2極坐標(biāo)方程(1)()0(0)表示的圖形是_(填序號(hào))兩個(gè)圓；兩條直線(xiàn)；一個(gè)圓和一條射線(xiàn)；一條直線(xiàn)和一條射線(xiàn)解析由(1)()0(0)得，1或.其中1表示以極點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓，表示以極點(diǎn)為起點(diǎn)與Ox反向的射線(xiàn)答案3在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)到圓2cos 的圓心的距離為_(kāi)解析點(diǎn)化為直角坐標(biāo)為(1，)，方程2cos 化為普通方程為x2y22x0，故圓心為(1,0)，則點(diǎn)(1，)到圓心(1,0)的距離為.答案4在極坐標(biāo)系(，)(02)中，曲線(xiàn)(cos sin )1與(sin cos )1的交點(diǎn)的極坐標(biāo)為_(kāi)解析曲線(xiàn)(cos sin )1化為直角坐標(biāo)方程為xy1，(sin cos )1化為直角坐標(biāo)方程為yx1.聯(lián)立方程組得則交點(diǎn)為(0,1)，對(duì)應(yīng)的極坐標(biāo)為.答案5(2014汕頭調(diào)研)在極坐標(biāo)系中，4sin 是圓的極坐標(biāo)方程，則點(diǎn)A到圓心C的距離是_解析將圓的極坐標(biāo)方程4sin 化為直角坐標(biāo)方程為x2y24y0，圓心坐標(biāo)為(0,2)又易知點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為(2，2)，故點(diǎn)A到圓心的距離為2.答案26在極坐標(biāo)系中，過(guò)圓6cos 2sin 的圓心且與極軸垂直的直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為_(kāi)解析由6cos 2sin 26cos 2sin ，所以圓的直角坐標(biāo)方程為x2y26x2y0，將其化為標(biāo)準(zhǔn)形式為(x3)2(y)211，故圓心的坐標(biāo)為(3，)，所以過(guò)圓心且與x軸垂直的直線(xiàn)的方程為x3，將其化為極坐標(biāo)方程為cos 3.答案cos 37(2014華南師大模擬)在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)M到曲線(xiàn)cos2上的點(diǎn)的距離的最小值為_(kāi)解析依題意知，點(diǎn)M的直角坐標(biāo)是(2,2)，曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程是xy40，因此所求的距離的最小值等于點(diǎn)M到該直線(xiàn)的距離，即為2.答案28在極坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)C1：2cos ，曲線(xiàn)C2：，若曲線(xiàn)C1與C2交于A、B兩點(diǎn)，則線(xiàn)段AB_.解析曲線(xiàn)C1與C2均經(jīng)過(guò)極點(diǎn)，因此極點(diǎn)是它們的一個(gè)公共點(diǎn)由得即曲線(xiàn)C1與C2的另一個(gè)交點(diǎn)與極點(diǎn)的距離為，因此AB.答案9在極坐標(biāo)系中，由三條直線(xiàn)0，cos sin 1圍成圖形的面積是_解析0，cos sin 1三直線(xiàn)對(duì)應(yīng)的直角坐標(biāo)方程分別為：y0，yx，xy1，作出圖形得圍成圖形為如圖OAB，S.答案二、解答題10設(shè)過(guò)原點(diǎn)O的直線(xiàn)與圓(x1)2y21的一個(gè)交點(diǎn)為P，點(diǎn)M為線(xiàn)段OP的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在圓上移動(dòng)一周時(shí)，求點(diǎn)M軌跡的極坐標(biāo)方程，并說(shuō)明它是什么曲線(xiàn)解圓(x1)2y21的極坐標(biāo)方程為2cos ，設(shè)點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(1，1)，點(diǎn)M的極坐標(biāo)為(，)，點(diǎn)M為線(xiàn)段OP的中點(diǎn)，12，1，將12，1代入圓的極坐標(biāo)方程，得cos .點(diǎn)M軌跡的極坐標(biāo)方程為cos ，它表示圓心在點(diǎn)，半徑為的圓11(2012遼寧卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C1：x2y24，圓C2：(x2)2y24.(1)在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，分別寫(xiě)出圓C1，C2的極坐標(biāo)方程，并求出圓C1，C2的交點(diǎn)坐標(biāo)(用極坐標(biāo)表示)；(2)求圓C1與C2的公共弦的參數(shù)方程解(1)圓C1的極坐標(biāo)方程為2，圓C2的極坐標(biāo)方程為4cos .解得2，故圓C1與圓C2交點(diǎn)的坐標(biāo)為，.注：極坐標(biāo)系下點(diǎn)的表示不唯一(2)法一由得圓C1與C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為(1，)，(1，)故圓C1與C2的公共弦的參數(shù)方程為t.法二將x1代入得cos 1，從而.于是圓C1與C2的公共弦的參數(shù)方程為.12在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)C1的參數(shù)方程為(為參數(shù))M是C1上的動(dòng)點(diǎn)，P點(diǎn)滿(mǎn)足2 ，P點(diǎn)的軌跡為曲線(xiàn)C2.(1)求C2的方程；(2)在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線(xiàn)與C1的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為A，與C2的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為B，求AB.解(1)設(shè)P(x，y)，則由條件知M.由于M點(diǎn)在C1上，所以即從而C2的參數(shù)方程為(為參數(shù))(2)曲線(xiàn)C1的極坐標(biāo)方程為4sin ，曲線(xiàn)C2的極坐標(biāo)方程為8sin .射線(xiàn)與C1的交點(diǎn)A的極徑為14sin ，射線(xiàn)與C2的交點(diǎn)B的極徑為28sin .所以AB|21|2.第2講參數(shù)方程最新考綱1了解參數(shù)方程，了解參數(shù)的意義2能選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫(xiě)出直線(xiàn)、圓和橢圓的參數(shù)方程3掌握直線(xiàn)的參數(shù)方程及參數(shù)的幾何意義，能用直線(xiàn)的參數(shù)方程解決簡(jiǎn)單的相關(guān)問(wèn)題.知 識(shí) 梳 理1曲線(xiàn)的參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系xOy中，如果曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x，y都是某個(gè)變量t的函數(shù)并且對(duì)于t的每一個(gè)允許值上式所確定的點(diǎn)M(x，y)都在這條曲線(xiàn)上，則稱(chēng)上式為該曲線(xiàn)的參數(shù)方程，其中變量t稱(chēng)為參數(shù)2一些常見(jiàn)曲線(xiàn)的參數(shù)方程(1)過(guò)點(diǎn)P0(x0，y0)，且傾斜角為的直線(xiàn)的參數(shù)方程為(t為參數(shù))(2)圓的方程(xa)2(yb)2r2的參數(shù)方程為(為參數(shù))(3)橢圓方程1(ab0)的參數(shù)方程為(為參數(shù))(4)拋物線(xiàn)方程y22px(p0)的參數(shù)方程為(t為參數(shù))診 斷 自 測(cè)1極坐標(biāo)方程cos 和參數(shù)方程(t為參數(shù))所表示的圖形分別是_直線(xiàn)、直線(xiàn)；直線(xiàn)、圓；圓、圓；圓、直線(xiàn)解析cos x，cos 代入到cos ，得，2x，x2y2x表示圓又相加得xy1，表示直線(xiàn)答案2若直線(xiàn)(t為實(shí)數(shù))與直線(xiàn)4xky1垂直，則常數(shù)k_.解析參數(shù)方程所表示的直線(xiàn)方程為3x2y7，由此直線(xiàn)與直線(xiàn)4xky1垂直可得1，解得k6.答案63(2012北京卷)直線(xiàn)(t為參數(shù))與曲線(xiàn)(為參數(shù))的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)解析直線(xiàn)方程可化為xy10，曲線(xiàn)方程可化為x2y29，圓心(0,0)到直線(xiàn)xy10的距離d3.直線(xiàn)與圓相交有兩個(gè)交點(diǎn)答案24已知直線(xiàn)l：(t為參數(shù))上到點(diǎn)A(1,2)的距離為4的點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)解析設(shè)點(diǎn)Q(x，y)為直線(xiàn)上的點(diǎn)，則|QA|4，解之得，t2，所以Q(3,6)或Q(5，2)答案(3,6)和(5，2)5(2013廣東卷)已知曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為2cos ，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系，則曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為_(kāi)解析由2cos 知，22cos 所以x2y22x，即(x1)2y21，故其參數(shù)方程為(為參數(shù))答案(為參數(shù))考點(diǎn)一參數(shù)方程與普通方程的互化【例1】 把下列參數(shù)方程化為普通方程，并說(shuō)明它們各表示什么曲線(xiàn)；(1)(t為參數(shù))；(2)(t為參數(shù))；(3)(t為參數(shù))解(1)由x1t得t2x2.y2(2x2)xy20，此方程表示直線(xiàn)(2)由y2t得ty2，x1(y2)2.即(y2)2x1，此方程表示拋物線(xiàn)(3)22得x2y24，此方程表示雙曲線(xiàn)規(guī)律方法 參數(shù)方程化為普通方程：化參數(shù)方程為普通方程的基本思路是消去參數(shù)，常用的消參方法有代入消去法、加減消去法、恒等式(三角的或代數(shù)的)消去法，不要忘了參數(shù)的范圍【訓(xùn)練1】 將下列參數(shù)方程化為普通方程(1)(為參數(shù))；(2)(t為參數(shù))解(1)由(sin cos )21sin 22(1sin 2)，得y22x.又x1sin 20,2，得所求的普通方程為y22x，x0,2(2)由參數(shù)方程得etxy，etxy，(xy)(xy)1，即x2y21.考點(diǎn)二直線(xiàn)與圓參數(shù)方程的應(yīng)用【例2】 在直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸)中，圓C的方程為2sin .(1)求圓C的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)圓C與直線(xiàn)l交于點(diǎn)A，B，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，)，求|PA|PB|.解(1)由2sin ，得22sin .x2y22y，即x2(y)25.(2)將l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程得225，即t23t40.由于(3)24420，故可設(shè)t1，t2是上述方程的兩實(shí)根，所以又直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)P(3，)，故由上式及t的幾何意義得|PA|PB|t1|t2|t1t23.規(guī)律方法 (1)過(guò)定點(diǎn)P0(x0，y0)，傾斜角為的直線(xiàn)參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為(t為參數(shù))，t的幾何意義是直線(xiàn)上的點(diǎn)P到點(diǎn)P0(x0，y0)的數(shù)量，即t|PP0|時(shí)為距離使用該式時(shí)直線(xiàn)上任意兩點(diǎn)P1、P2對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1、t2，則|P1P2|t1t2|，P1P2的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為(t1t2)(2)對(duì)于形如(t為參數(shù))，當(dāng)a2b21時(shí)，應(yīng)先化為標(biāo)準(zhǔn)形式后才能利用t的幾何意義解題【訓(xùn)練2】 已知直線(xiàn)l的參數(shù)方程為(參數(shù)tR)，圓 C的參數(shù)方程為(參數(shù)0,2)，求直線(xiàn)l被 圓C所截得的弦長(zhǎng)解由消參數(shù)后得普通方程為2xy60，由消參數(shù)后得普通方程為(x2)2y24，顯然圓心坐標(biāo)為(2,0)，半徑為2.由于圓心到直線(xiàn)2xy60的距離為d，所以所求弦長(zhǎng)為2 .考點(diǎn)三極坐標(biāo)、參數(shù)方程的綜合應(yīng)用【例3】 已知P為半圓C：(為參數(shù)，0)上的點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M在射線(xiàn)OP上，線(xiàn)段OM與C的弧的長(zhǎng)度均為.(1)以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求點(diǎn)M的極坐標(biāo)；(2)求直線(xiàn)AM的參數(shù)方程解(1)由已知，點(diǎn)M的極角為，且點(diǎn)M的極徑等于，故點(diǎn)M的極坐標(biāo)為.(2)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為，A(1,0)故直線(xiàn)AM的參數(shù)方程為(t為參數(shù))規(guī)律方法 涉及參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程的綜合題，求解的一般方法是分別化為普通方程和直角坐標(biāo)方程后求解當(dāng)然，還要結(jié)合題目本身特點(diǎn)，確定選擇何種方程【訓(xùn)練3】 (2013福建卷)在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知點(diǎn)A的極坐標(biāo)為(，)，直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程為cos()a，且點(diǎn)A在直線(xiàn)l上(1)求a的值及直線(xiàn)l的直角坐標(biāo)方程；(2)圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，試判斷直線(xiàn)l與圓C的位置關(guān)系解(1)由點(diǎn)A(，)在直線(xiàn)cos()a上，可得a.所以直線(xiàn)l的方程可化為cos sin 2，從而直線(xiàn)l的直角坐標(biāo)方程為xy20.(2)由已知得圓C的直角坐標(biāo)方程為(x1)2y21，所以圓C的圓心為(1,0)，半徑r1，因?yàn)閳A心C到直線(xiàn)l的距離d<1，所以直線(xiàn)l與圓C相交.轉(zhuǎn)化思想在解題中的應(yīng)用【典例】 已知圓錐曲線(xiàn)(是參數(shù))和定點(diǎn)A(0, )，F(xiàn)1、F2是圓錐曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)(1)求經(jīng)過(guò)點(diǎn)F1且垂直于直線(xiàn)AF2的直線(xiàn)l的參數(shù)方程；(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求直線(xiàn)AF2的極坐標(biāo)方程審題視點(diǎn)(1)先將圓錐曲線(xiàn)參數(shù)方程化為普通方程，求出F1的坐標(biāo)，然后求出直線(xiàn)的傾斜角度數(shù)，再利用公式就能寫(xiě)出直線(xiàn)l的參數(shù)方程(2)直線(xiàn)AF2是已知確定的直線(xiàn)，利用求極坐標(biāo)方程的一般方法求解解(1)圓錐曲線(xiàn)化為普通方程1，所以F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)，則直線(xiàn)AF2的斜率k，于是經(jīng)過(guò)點(diǎn)F1且垂直于直線(xiàn)AF2的直線(xiàn)l的斜率k，直線(xiàn)l的傾斜角是30，所以直線(xiàn)l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))，即(t為參數(shù))(2)直線(xiàn)AF2的斜率k，傾斜角是120，設(shè)P(，)是直線(xiàn)AF2上任一點(diǎn)，則，sin(120)sin 60，則sin cos .反思感悟(1)本題考查了極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程的求法及應(yīng)用重點(diǎn)考查了轉(zhuǎn)化與化歸能力(2)當(dāng)用極坐標(biāo)或參數(shù)方程研究問(wèn)題不很熟練時(shí)，可以轉(zhuǎn)化成我們比較熟悉的普通方程求解(3)本題易錯(cuò)點(diǎn)是計(jì)算不準(zhǔn)確，極坐標(biāo)方程求解錯(cuò)誤【自主體驗(yàn)】已知直線(xiàn)l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，P是橢圓y21上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離的最大值解將直線(xiàn)l的參數(shù)方程(t為參數(shù))轉(zhuǎn)化為普通方程為x2y0，因?yàn)镻為橢圓y21上任意一點(diǎn)，故可設(shè)P(2cos ，sin )，其中R.因此點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離d.所以當(dāng)k，kZ時(shí)，d取得最大值.一、填空題1(2014蕪湖模擬)直線(xiàn)(t為參數(shù))上與點(diǎn)A(2,3)的距離等于的點(diǎn)的坐標(biāo)是_解析由題意知(t)2(t)2()2，所以t2，t，代入(t為參數(shù))，得所求點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,4)或(1,2)答案(3,4)或(1,2)2(2014海淀模擬)若直線(xiàn)l：ykx與曲線(xiàn)C：(參數(shù)R)有唯一的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k_.解析曲線(xiàn)C化為普通方程為(x2)2y21，圓心坐標(biāo)為(2,0)，半徑r1.由已知l與圓相切，則r1k.答案3已知橢圓的參數(shù)方程(t為參數(shù))，點(diǎn)M在橢圓上，對(duì)應(yīng)參數(shù)t，點(diǎn)O為原點(diǎn)，則直線(xiàn)OM的斜率為_(kāi)解析當(dāng)t時(shí)，x1，y2，則M(1,2)，直線(xiàn)OM的斜率k2.答案24(2013湖南卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若l：(t為參數(shù))過(guò)橢圓C：(為參數(shù))的右頂點(diǎn)，則常數(shù)a的值為_(kāi)解析xt，且yta，消去t，得直線(xiàn)l的方程yxa，又x3cos 且y2sin ，消去，得橢圓方程1，右頂點(diǎn)為(3,0)，依題意03a，a3.答案35直線(xiàn)3x4y70截曲線(xiàn)(為參數(shù))的弦長(zhǎng)為_(kāi)解析曲線(xiàn)可化為x2(y1)21，圓心(0,1)到直線(xiàn)的距離d，則弦長(zhǎng)l2.答案6已知直線(xiàn)l1：(t為參數(shù))，l2：(s為參數(shù))，若l1l2，則k_；若l1l2，則k_.解析將l1、l2的方程化為直角坐標(biāo)方程得l1：kx2y4k0，l2：2xy10，由l1l2，得k4，由l1l2，得2k20k1.答案417(2012廣東卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)C1和C2的參數(shù)方程分別為(t為參數(shù))和(為參數(shù))，則曲線(xiàn)C1與C2的交點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)解析曲線(xiàn)C1的普通方程為y2x(y0)，曲線(xiàn)C2的普通方程為x2y22.由解得即交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)答案(1,1)8直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)A，B分別在曲線(xiàn)C1：(為參數(shù))和曲線(xiàn)C2：1上，則|AB|的最小值為_(kāi)解析消掉參數(shù)，得到關(guān)于x、y的一般方程C1：(x3)2y21，表示以(3,0)為圓心，以1為半徑的圓；C2：x2y21，表示的是以原點(diǎn)為圓心的單位圓，|AB|的最小值為3111.答案19(2012湖南卷)在極坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)C1：(cos sin )1與曲線(xiàn)C2：a(a>0)的一個(gè)交點(diǎn)在極軸上，則a_.解析(cos sin )1，即cos sin 1對(duì)應(yīng)的普通方程為xy10，a(a>0)對(duì)應(yīng)的普通方程為x2y2a2.在xy10中，令y0，得x.將代入x2y2a2得a.答案二、解答題10(2013新課標(biāo)全國(guó)卷)已知曲線(xiàn)C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)C2的極坐標(biāo)方程為2sin .(1)把C1的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程；(2)求C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)(0,02)解(1)將消去參數(shù)t，化為普通方程(x4)2(y5)225，即C1：x2y28x10y160.將代入x2y28x10y160得28cos 10sin 160.所以C1的極坐標(biāo)方程為28cos 10sin 160.(2)C2的普通方程為x2y22y0.由解得或所以C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為，.11(2013新課標(biāo)全國(guó)卷)已知?jiǎng)狱c(diǎn)P、Q都在曲線(xiàn)C：(t為參數(shù))上，對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為t與t2(0<<2)，M為PQ的中點(diǎn)(1)求M的軌跡的參數(shù)方程；(2)將M到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d表示為的函數(shù)，并判斷M的軌跡是否過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)解(1)依題意有P(2cos ，2sin )，Q(2cos 2，2sin 2)，因此M(cos cos 2，sin sin 2)M的軌跡的參數(shù)方程為(為參數(shù)，0<<2)(2)M點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d(0<<2)當(dāng)時(shí)，d0，故M的軌跡通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)12(2012新課標(biāo)全國(guó)卷)已知曲線(xiàn)C1的參數(shù)方程是(為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)C2的極坐標(biāo)方程是2，正方形ABCD的頂點(diǎn)都在C2上，且A，B，C，D依逆時(shí)針次序排列，點(diǎn)A的極坐標(biāo)為.(1)求點(diǎn)A，B，C，D的直角坐標(biāo)；(2)設(shè)P為C1上任意一點(diǎn)，求|PA|2|PB|2|PC|2|PD|2的取值范圍解(1)由已知可得A，B，C，D，即A(1，)，B(，1)，C(1，)，D(，1)(2)設(shè)P(2cos ，3sin )，令S|PA|2|PB|2|PC|2|PD|2，則S16cos236sin2163220sin2.因?yàn)?sin21，所以S的取值范圍是32,52