人教A版理科高考數(shù)學(xué)一輪細(xì)講精練【選修44】坐標(biāo)系與參數(shù)方程

選修4－4　坐標(biāo)系與參數(shù)方程 第1講　坐標(biāo)系 [最新考綱] 1．理解坐標(biāo)系的作用．了解在平面直角坐標(biāo)系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況． 2．會(huì)在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)刻畫點(diǎn)的位置，能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化． 3．能在極坐標(biāo)系中給出簡單圖形(如過極點(diǎn)的直線、過極點(diǎn)或圓心在極點(diǎn)的圓)表示的極坐標(biāo)方程. 知 識 梳 理 1．極坐標(biāo)系 (1)極坐標(biāo)系的建立：在平面上取一個(gè)定點(diǎn)O，叫做極點(diǎn)，從O點(diǎn)引一條射線Ox，叫做極軸，再選定一個(gè)長度單位、一個(gè)角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時(shí)針方向)，這樣就確定了一個(gè)極坐標(biāo)系． 設(shè)M是平面內(nèi)一點(diǎn)，極點(diǎn)O與點(diǎn)M的距離OM叫做點(diǎn)M的極徑，記為ρ，以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的角叫做點(diǎn)M的極角，記為θ.有序數(shù)對(ρ，θ)叫做點(diǎn)M的極坐標(biāo)，記作M(ρ，θ)． (2)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系：把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn)，x軸的正半軸作為極軸，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位，設(shè)M是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)是(x，y)，極坐標(biāo)為(ρ，θ)，則它們之間的關(guān)系為x＝ρcos θ，y＝ρsin_θ.另一種關(guān)系為ρ2＝x2＋y2，tan θ＝. 2．直線的極坐標(biāo)方程 若直線過點(diǎn)M(ρ0，θ0)，且極軸到此直線的角為α，則它的方程為：ρsin(θ－α)＝ρ0sin (θ0－α)． 幾個(gè)特殊位置的直線的極坐標(biāo)方程 (1)直線過極點(diǎn)：θ＝θ0和θ＝π－θ0； (2)直線過點(diǎn)M(a,0)且垂直于極軸：ρcos θ＝a； (3)直線過M且平行于極軸：ρsin θ＝b. 3．圓的極坐標(biāo)方程 若圓心為M(ρ0，θ0)，半徑為r的圓方程為 ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r2＝0. 幾個(gè)特殊位置的圓的極坐標(biāo)方程 (1)當(dāng)圓心位于極點(diǎn)，半徑為r：ρ＝r； (2)當(dāng)圓心位于M(a,0)，半徑為a：ρ＝2acos_θ； (3)當(dāng)圓心位于M，半徑為a：ρ＝2asin_θ. 診 斷 自 測 1．點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(－，)，那么它的極坐標(biāo)可表示為________． 解析　直接利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式． 答案　 2．若曲線的極坐標(biāo)方程為ρ＝2sin θ＋4cos θ，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，則該曲線的直角坐標(biāo)方程為________． 解析　∵ρ＝2sin θ＋4cos θ， ∴ρ2＝2ρsin θ＋4ρcos θ. ∴x2＋y2＝2y＋4x， 即x2＋y2－2y－4x＝0. 答案　x2＋y2－4x－2y＝0 3．(2014西安五校一模)在極坐標(biāo)系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，曲線ρ＝2sin θ與ρcos θ＝－1的交點(diǎn)的極坐標(biāo)為________． 解析　ρ＝2sin θ的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2y＝0，ρcos θ＝－1的直角坐標(biāo)方程為x＝－1，聯(lián)立方程，得解得即兩曲線的交點(diǎn)為(－1,1)，又0≤θ＜2π，因此這兩條曲線的交點(diǎn)的極坐標(biāo)為. 答案　 4．在極坐標(biāo)系中，直線l的方程為ρsin θ＝3，則點(diǎn)到直線l的距離為________． 解析　∵直線l的極坐標(biāo)方程可化為y＝3，點(diǎn)化為直角坐標(biāo)為(，1)， ∴點(diǎn)到直線l的距離為2. 答案　2 5．在極坐標(biāo)系中，圓ρ＝4sin θ的圓心到直線θ＝(ρ∈R)的距離是________． 解析　將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)系中的一般方程求解，極坐標(biāo)系中的圓ρ＝4sin θ轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)系中的一般方程為：x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4，其圓心為(0,2)，直線θ＝轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)系中的方程為y＝x，即x－3y＝0. ∴圓心(0,2)到直線x－3y＝0的距離為 ＝. 答案　 考點(diǎn)一　極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化 【例1】 (1)把點(diǎn)M的極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo)； (2)把點(diǎn)M的直角坐標(biāo)(－，－1)化成極坐標(biāo)． 解　(1)∵x＝－5cos ＝－，y＝－5sin ＝－， ∴點(diǎn)M的直角坐標(biāo)是. (2)ρ＝＝＝2， tan θ＝＝. ∵點(diǎn)M在第三象限，ρ＞0，∴最小正角θ＝. 因此，點(diǎn)M的極坐標(biāo)是. 規(guī)律方法 (1)在由點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)時(shí)，一定要注意點(diǎn)所在的象限和極角的范圍，否則點(diǎn)的極坐標(biāo)將不唯一． (2)在曲線的方程進(jìn)行互化時(shí)，一定要注意變量的范圍．要注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)性． 【訓(xùn)練1】 (1)把點(diǎn)M的極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo)； (2)把點(diǎn)P的直角坐標(biāo)(，－)化成極坐標(biāo)．(ρ＞0,0≤θ＜2π) 解　(1)x＝8cos ＝－4，y＝8sin ＝4， 因此，點(diǎn)M的直角坐標(biāo)是(－4,4)． (2)ρ＝＝2，tan θ＝＝－， 又因?yàn)辄c(diǎn)在第四象限，得θ＝. 因此，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為. 考點(diǎn)二　直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化 【例2】 在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcos＝1，M，N分別為曲線C與x軸，y軸的交點(diǎn)． (1)寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程，并求M，N的極坐標(biāo)； (2)設(shè)M，N的中點(diǎn)為P，求直線OP的極坐標(biāo)方程． 解　(1)∵ρcos＝1， ∴ρcos θcos ＋ρsin θsin ＝1. 又，∴x＋y＝1. 即曲線C的直角坐標(biāo)方程為x＋y－2＝0. 令y＝0，則x＝2；令x＝0，則y＝. ∴M(2,0)，N. ∴M的極坐標(biāo)為(2,0)，N的極坐標(biāo)為. (2)M，N連線的中點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為， P的極角為θ＝. ∴直線OP的極坐標(biāo)方程為θ＝(ρ∈R)． 規(guī)律方法 直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化，關(guān)鍵要掌握好互化公式，研究極坐標(biāo)系下圖形的性質(zhì)，可轉(zhuǎn)化為我們熟悉的直角坐標(biāo)系的情境． 【訓(xùn)練2】 ⊙O1和⊙O2的極坐標(biāo)方程分別為ρ＝4cos θ，ρ＝－4sin θ. (1)把⊙O1和⊙O2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程； (2)求經(jīng)過⊙O1，⊙O2交點(diǎn)的直線的直角坐標(biāo)方程． 解　以極點(diǎn)的原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，兩坐標(biāo)系中取相同的長度單位． (1)ρ＝4cos θ，兩邊同乘以ρ，得ρ2＝4ρcos θ； ρ＝－4sin θ，兩邊同乘以ρ，得ρ2＝－4ρsin θ. 由ρcos θ＝x，ρsin θ＝y(tǒng)，ρ2＝x2＋y2， 得⊙O1，⊙O2的直角坐標(biāo)方程分別為 x2＋y2－4x＝0和x2＋y2＋4y＝0. (2)由 ①－②得－4x－4y＝0，即x＋y＝0為所求直線方程． 考點(diǎn)三　曲線極坐標(biāo)方程的應(yīng)用 【例3】 (2014廣州調(diào)研)在極坐標(biāo)系中，求直線ρsin＝2被圓ρ＝4截得的弦長． 解　由ρsin＝2，得(ρsin θ＋ρcos θ)＝2可化為x＋y－2＝0.圓ρ＝4可化為x2＋y2＝16，由圓中的弦長公式得：2＝2＝4.故所求弦長為4. 規(guī)律方法 在已知極坐標(biāo)方程求曲線交點(diǎn)、距離、線段長等幾何問題時(shí)，如果不能直接用極坐標(biāo)解決，或用極坐標(biāo)解決較麻煩，可將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程解決． 【訓(xùn)練3】 (2012江蘇卷)在極坐標(biāo)系中，已知圓C經(jīng)過點(diǎn)P(，)，圓心為直線ρsin＝－與極軸的交點(diǎn)，求圓C的極坐標(biāo)方程． 解　在ρsin＝－中令θ＝0，得ρ＝1， 所以圓C的圓心坐標(biāo)為(1,0)． 因?yàn)閳AC經(jīng)過點(diǎn)P， 所以圓C的半徑 PC＝ ＝1， 于是圓C過極點(diǎn)，所以圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cos θ. 因忽視極坐標(biāo)系下點(diǎn)的極坐標(biāo)不唯一性致誤 【典例】 (10分)在極坐標(biāo)系下，若點(diǎn)P(ρ，θ)的一個(gè)極坐標(biāo)為，求以為坐標(biāo)的不同的點(diǎn)的極坐標(biāo)． [錯(cuò)解展示] 甲：解　化為直角坐標(biāo)為(－2,2)，故該點(diǎn)與原點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，)，化為極坐標(biāo)為. 乙：解　∵ρ＝4，θ＝，故＝2，＝， 因此所求極坐標(biāo)為. [規(guī)范解答]　∵為點(diǎn)P(ρ，θ)的一個(gè)極坐標(biāo)． ∴ρ＝4或ρ＝－4. (2分) 當(dāng)ρ＝4時(shí)，θ＝2kπ＋(k∈Z)， ∴＝2，＝kπ＋(k∈Z)． (4分) 當(dāng)ρ＝－4時(shí)，θ＝2kπ＋(k∈Z)， ∴＝－2，＝kπ＋(k∈Z)． (6分) ∴有四個(gè)不同的點(diǎn)： P1，P2(k∈Z)， P3，P4(k∈Z) (10分) [反思感悟]　甲生解法中將直角坐標(biāo)系的中點(diǎn)坐標(biāo)公式應(yīng)用于極坐標(biāo)系中的中點(diǎn)，事實(shí)上(ρ，θ)與的關(guān)系并不是點(diǎn)(ρ，θ)與極點(diǎn)的中點(diǎn)為，從幾何意義上講點(diǎn)應(yīng)滿足該點(diǎn)的極角為θ的，極徑為ρ的.乙生解法中滿足的幾何意義，但由于極坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的極坐標(biāo)的不唯一性，還應(yīng)就點(diǎn)(ρ，θ)的其他形式的極坐標(biāo)進(jìn)行討論． 【自主體驗(yàn)】 下列各點(diǎn)中與極坐標(biāo)不表示同一個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo)是________． ①?、凇、邸、? 解析　因?yàn)榕c表示同一點(diǎn)的坐標(biāo)有或，其中k∈Z，所以易得只有②不同． 答案?、? 一、填空題 1．在極坐標(biāo)系中，圓ρ＝－2sin θ的圓心的極坐標(biāo)是________(填序號)． ①；②；③(1,0)；④(1，π) 解析　圓的方程可化為ρ2＝－2ρsin θ，由 得x2＋y2＝－2y，即x2＋(y＋1)2＝1，圓心為(0，－1)， 化為極坐標(biāo)為. 答案?、? 2．極坐標(biāo)方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的圖形是______(填序號)． ①兩個(gè)圓；②兩條直線；③一個(gè)圓和一條射線；④一條直線和一條射線． 解析　由(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)得，ρ＝1或θ＝π.其中ρ＝1表示以極點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓，θ＝π表示以極點(diǎn)為起點(diǎn)與Ox反向的射線． 答案?、? 3．在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)到圓ρ＝2cos θ的圓心的距離為________． 解析　點(diǎn)化為直角坐標(biāo)為(1，)，方程ρ＝2cos θ化為普通方程為x2＋y2－2x＝0，故圓心為(1,0)，則點(diǎn)(1，)到圓心(1,0)的距離為. 答案　 4．在極坐標(biāo)系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，曲線ρ(cos θ＋sin θ)＝1與ρ(sin θ－cos θ)＝1的交點(diǎn)的極坐標(biāo)為________． 解析　曲線ρ(cos θ＋sin θ)＝1化為直角坐標(biāo)方程為x＋y＝1，ρ(sin θ－cos θ)＝1化為直角坐標(biāo)方程為y－x＝1.聯(lián)立方程組得則交點(diǎn)為(0,1)，對應(yīng)的極坐標(biāo)為. 答案　 5．(2014汕頭調(diào)研)在極坐標(biāo)系中，ρ＝4sin θ是圓的極坐標(biāo)方程，則點(diǎn)A到圓心C的距離是________． 解析　將圓的極坐標(biāo)方程ρ＝4sin θ化為直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－4y＝0，圓心坐標(biāo)為(0,2)．又易知點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為(2，2)，故點(diǎn)A到圓心的距離為＝2. 答案　2 6．在極坐標(biāo)系中，過圓ρ＝6cos θ－2sin θ的圓心且與極軸垂直的直線的極坐標(biāo)方程為________． 解析　由ρ＝6cos θ－2sin θ?ρ2＝6ρcos θ－2ρsin θ，所以圓的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－6x＋2y＝0，將其化為標(biāo)準(zhǔn)形式為(x－3)2＋(y＋)2＝11，故圓心的坐標(biāo)為(3，－)，所以過圓心且與x軸垂直的直線的方程為x＝3，將其化為極坐標(biāo)方程為ρcos θ＝3. 答案　ρcos θ＝3 7．(2014華南師大模擬)在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)M到曲線ρcos＝2上的點(diǎn)的距離的最小值為________． 解析　依題意知，點(diǎn)M的直角坐標(biāo)是(2,2)，曲線的直角坐標(biāo)方程是x＋y－4＝0，因此所求的距離的最小值等于點(diǎn)M到該直線的距離，即為＝2. 答案　2 8．在極坐標(biāo)系中，曲線C1：ρ＝2cos θ，曲線C2：θ＝，若曲線C1與C2交于A、B兩點(diǎn)，則線段AB＝________. 解析　曲線C1與C2均經(jīng)過極點(diǎn)，因此極點(diǎn)是它們的一個(gè)公共點(diǎn)．由得即曲線C1與C2的另一個(gè)交點(diǎn)與極點(diǎn)的距離為，因此AB＝. 答案　 9．在極坐標(biāo)系中，由三條直線θ＝0，θ＝，ρcos θ＋ρsin θ＝1圍成圖形的面積是________． 解析　θ＝0，θ＝，ρcos θ＋ρsin θ＝1三直線對應(yīng)的直角坐標(biāo)方程分別為：y＝0，y＝x，x＋y＝1，作出圖形得圍成圖形為如圖△OAB，S＝. 答案　 二、解答題 10．設(shè)過原點(diǎn)O的直線與圓(x－1)2＋y2＝1的一個(gè)交點(diǎn)為P，點(diǎn)M為線段OP的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在圓上移動(dòng)一周時(shí)，求點(diǎn)M軌跡的極坐標(biāo)方程，并說明它是什么曲線． 解　圓(x－1)2＋y2＝1的極坐標(biāo)方程為 ρ＝2cos θ，設(shè)點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(ρ1，θ1)，點(diǎn)M的極坐標(biāo)為(ρ，θ)， ∵點(diǎn)M為線段OP的中點(diǎn)，∴ρ1＝2ρ，θ1＝θ，將ρ1＝2ρ，θ1＝θ代入圓的極坐標(biāo)方程，得ρ＝cos θ.∴點(diǎn)M軌跡的極坐標(biāo)方程為ρ＝cos θ，它表示圓心在點(diǎn)，半徑為的圓． 11．(2012遼寧卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C1：x2＋y2＝4，圓C2：(x－2)2＋y2＝4. (1)在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，分別寫出圓C1，C2的極坐標(biāo)方程，并求出圓C1，C2的交點(diǎn)坐標(biāo)(用極坐標(biāo)表示)； (2)求圓C1與C2的公共弦的參數(shù)方程． 解　(1)圓C1的極坐標(biāo)方程為ρ＝2， 圓C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cos θ. 解得ρ＝2，θ＝， 故圓C1與圓C2交點(diǎn)的坐標(biāo)為，. 注：極坐標(biāo)系下點(diǎn)的表示不唯一． (2)法一　由得圓C1與C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為(1，)，(1，－)． 故圓C1與C2的公共弦的參數(shù)方程為 －≤t≤. 法二　將x＝1代入 得ρcos θ＝1，從而ρ＝. 于是圓C1與C2的公共弦的參數(shù)方程為 －≤θ≤. 12．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù))．M是C1上的動(dòng)點(diǎn)，P點(diǎn)滿足＝2 ，P點(diǎn)的軌跡為曲線C2. (1)求C2的方程； (2)在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線θ＝與C1的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為A，與C2的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為B，求AB. 解　(1)設(shè)P(x，y)，則由條件知M. 由于M點(diǎn)在C1上，所以 即 從而C2的參數(shù)方程為(α為參數(shù)) (2)曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ＝4sin θ，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝8sin θ.射線θ＝與C1的交點(diǎn)A的極徑為ρ1＝4sin ， 射線θ＝與C2的交點(diǎn)B的極徑為ρ2＝8sin . 所以AB＝|ρ2－ρ1|＝2. 第2講　參數(shù)方程 [最新考綱] 1．了解參數(shù)方程，了解參數(shù)的意義． 2．能選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫出直線、圓和橢圓的參數(shù)方程． 3．掌握直線的參數(shù)方程及參數(shù)的幾何意義，能用直線的參數(shù)方程解決簡單的相關(guān)問題. 知 識 梳 理 1．曲線的參數(shù)方程 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x，y都是某個(gè)變量t的函數(shù) 并且對于t的每一個(gè)允許值上式所確定的點(diǎn)M(x，y)都在這條曲線上，則稱上式為該曲線的參數(shù)方程，其中變量t稱為參數(shù)． 2．一些常見曲線的參數(shù)方程 (1)過點(diǎn)P0(x0，y0)，且傾斜角為α的直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． (2)圓的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． (3)橢圓方程＋＝1(a＞b＞0)的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． (4)拋物線方程y2＝2px(p＞0)的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． 診 斷 自 測 1．極坐標(biāo)方程ρ＝cos θ和參數(shù)方程(t為參數(shù))所表示的圖形分別是________． ①直線、直線；②直線、圓；③圓、圓；④圓、直線． 解析　∵ρcos θ＝x，∴cos θ＝代入到ρ＝cos θ，得ρ＝，∴ρ2＝x，∴x2＋y2＝x表示圓．又∵相加得x＋y＝1，表示直線． 答案　④ 2．若直線(t為實(shí)數(shù))與直線4x＋ky＝1垂直，則常數(shù)k＝________. 解析　參數(shù)方程所表示的直線方程為3x＋2y＝7，由此直線與直線4x＋ky＝1垂直可得－＝－1，解得k＝－6. 答案?。? 3．(2012北京卷)直線(t為參數(shù))與曲線(α為參數(shù))的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為________． 解析　直線方程可化為x＋y－1＝0，曲線方程可化為x2＋y2＝9，圓心(0,0)到直線x＋y－1＝0的距離d＝＝＜3.∴直線與圓相交有兩個(gè)交點(diǎn)． 答案　2 4．已知直線l：(t為參數(shù))上到點(diǎn)A(1,2)的距離為4的點(diǎn)的坐標(biāo)為________． 解析　設(shè)點(diǎn)Q(x，y)為直線上的點(diǎn)， 則|QA|＝ ＝＝4， 解之得，t＝2，所以Q(－3,6)或Q(5，－2)． 答案　(－3,6)和(5，－2) 5．(2013廣東卷)已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cos θ，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系，則曲線C的參數(shù)方程為________． 解析　由ρ＝2cos θ知，ρ2＝2ρcos θ 所以x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1， 故其參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． 答案　(θ為參數(shù)) 考點(diǎn)一　參數(shù)方程與普通方程的互化 【例1】 把下列參數(shù)方程化為普通方程，并說明它們各表示什么曲線； (1)(t為參數(shù))； (2)(t為參數(shù))； (3)(t為參數(shù))． 解　(1)由x＝1＋t得t＝2x－2. ∴y＝2＋(2x－2)． ∴x－y＋2－＝0，此方程表示直線． (2)由y＝2＋t得t＝y(tǒng)－2，∴x＝1＋(y－2)2. 即(y－2)2＝x－1，此方程表示拋物線． (3) ∴①2－②2得x2－y2＝4，此方程表示雙曲線． 規(guī)律方法 參數(shù)方程化為普通方程：化參數(shù)方程為普通方程的基本思路是消去參數(shù)，常用的消參方法有代入消去法、加減消去法、恒等式(三角的或代數(shù)的)消去法，不要忘了參數(shù)的范圍． 【訓(xùn)練1】 將下列參數(shù)方程化為普通方程． (1)(θ為參數(shù))； (2)(t為參數(shù))． 解　(1)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ)， 得y2＝2－x.又x＝1－sin 2θ∈[0,2]， 得所求的普通方程為y2＝2－x，x∈[0,2]． (2)由參數(shù)方程得et＝x＋y，e－t＝x－y， ∴(x＋y)(x－y)＝1，即x2－y2＝1. 考點(diǎn)二　直線與圓參數(shù)方程的應(yīng)用 【例2】 在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸)中，圓C的方程為ρ＝2sin θ. (1)求圓C的直角坐標(biāo)方程； (2)設(shè)圓C與直線l交于點(diǎn)A，B，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，)，求|PA|＋|PB|. 解　(1)由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ. ∴x2＋y2＝2y，即x2＋(y－)2＝5. (2)將l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程． 得2＋2＝5，即t2－3t＋4＝0. 由于Δ＝(3)2－44＝2＞0，故可設(shè)t1，t2是上述方程的兩實(shí)根， 所以 又直線l過點(diǎn)P(3，)， 故由上式及t的幾何意義得|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3. 規(guī)律方法 (1)過定點(diǎn)P0(x0，y0)，傾斜角為α的直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為(t為參數(shù))，t的幾何意義是直線上的點(diǎn)P到點(diǎn)P0(x0，y0)的數(shù)量，即t＝|PP0|時(shí)為距離．使用該式時(shí)直線上任意兩點(diǎn)P1、P2對應(yīng)的參數(shù)分別為t1、t2，則|P1P2|＝|t1－t2|，P1P2的中點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)為(t1＋t2)． (2)對于形如(t為參數(shù))，當(dāng)a2＋b2≠1時(shí)，應(yīng)先化為標(biāo)準(zhǔn)形式后才能利用t的幾何意義解題． 【訓(xùn)練2】 已知直線l的參數(shù)方程為(參數(shù)t∈R)，圓 C的參數(shù)方程為(參數(shù)θ∈[0,2π])，求直線l被 圓C所截得的弦長． 解　由消參數(shù)后得普通方程為2x＋y－6＝0， 由消參數(shù)后得普通方程為(x－2)2＋y2＝4，顯然圓心坐標(biāo)為(2,0)，半徑為2.由于圓心到直線2x＋y－6＝0的距離為d＝＝， 所以所求弦長為2 ＝. 考點(diǎn)三　極坐標(biāo)、參數(shù)方程的綜合應(yīng)用 【例3】 已知P為半圓C：(θ為參數(shù)，0≤θ≤π)上的點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M在射線OP上，線段OM與C的弧的長度均為. (1)以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求點(diǎn)M的極坐標(biāo)； (2)求直線AM的參數(shù)方程． 解　(1)由已知，點(diǎn)M的極角為，且點(diǎn)M的極徑等于，故點(diǎn)M的極坐標(biāo)為. (2)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為，A(1,0)． 故直線AM的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． 規(guī)律方法 涉及參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程的綜合題，求解的一般方法是分別化為普通方程和直角坐標(biāo)方程后求解．當(dāng)然，還要結(jié)合題目本身特點(diǎn)，確定選擇何種方程． 【訓(xùn)練3】 (2013福建卷)在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知點(diǎn)A的極坐標(biāo)為(，)，直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ－)＝a，且點(diǎn)A在直線l上． (1)求a的值及直線l的直角坐標(biāo)方程； (2)圓C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，試判斷直線l與圓C的位置關(guān)系． 解　(1)由點(diǎn)A(，)在直線ρcos(θ－)＝a上，可得a＝. 所以直線l的方程可化為ρcos θ＋ρsin θ＝2， 從而直線l的直角坐標(biāo)方程為x＋y－2＝0. (2)由已知得圓C的直角坐標(biāo)方程為(x－1)2＋y2＝1， 所以圓C的圓心為(1,0)，半徑r＝1， 因?yàn)閳A心C到直線l的距離d＝＝<1， 所以直線l與圓C相交. 轉(zhuǎn)化思想在解題中的應(yīng)用 【典例】 已知圓錐曲線(θ是參數(shù))和定點(diǎn)A(0, )，F(xiàn)1、F2是圓錐曲線的左、右焦點(diǎn)． (1)求經(jīng)過點(diǎn)F1且垂直于直線AF2的直線l的參數(shù)方程； (2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求直線AF2的極坐標(biāo)方程． [審題視點(diǎn)]　(1)先將圓錐曲線參數(shù)方程化為普通方程，求出F1的坐標(biāo)，然后求出直線的傾斜角度數(shù)，再利用公式就能寫出直線l的參數(shù)方程．(2)直線AF2是已知確定的直線，利用求極坐標(biāo)方程的一般方法求解． 解　(1)圓錐曲線化為普通方程＋＝1，所以F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，則直線AF2的斜率k＝－，于是經(jīng)過點(diǎn)F1且垂直于直線AF2的直線l的斜率k′＝，直線l的傾斜角是30， 所以直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))， 即(t為參數(shù))． (2)直線AF2的斜率k＝－，傾斜角是120， 設(shè)P(ρ，θ)是直線AF2上任一點(diǎn)， 則＝，ρsin(120－θ)＝sin 60， 則ρsin θ＋ρcos θ＝. [反思感悟]　(1)本題考查了極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程的求法及應(yīng)用．重點(diǎn)考查了轉(zhuǎn)化與化歸能力．(2)當(dāng)用極坐標(biāo)或參數(shù)方程研究問題不很熟練時(shí)，可以轉(zhuǎn)化成我們比較熟悉的普通方程求解．(3)本題易錯(cuò)點(diǎn)是計(jì)算不準(zhǔn)確，極坐標(biāo)方程求解錯(cuò)誤． 【自主體驗(yàn)】 已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，P是橢圓＋y2＝1上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線l的距離的最大值． 解　將直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù))轉(zhuǎn)化為普通方程為x＋2y＝0，因?yàn)镻為橢圓＋y2＝1上任意一點(diǎn)， 故可設(shè)P(2cos θ，sin θ)，其中θ∈R. 因此點(diǎn)P到直線l的距離 d＝＝. 所以當(dāng)θ＝kπ＋，k∈Z時(shí)， d取得最大值. 一、填空題 1．(2014蕪湖模擬)直線(t為參數(shù))上與點(diǎn)A(－2,3)的距離等于的點(diǎn)的坐標(biāo)是________． 解析　由題意知(－t)2＋(t)2＝()2，所以t2＝，t＝，代入(t為參數(shù))，得所求點(diǎn)的坐標(biāo)為(－3,4)或(－1,2)． 答案　(－3,4)或(－1,2) 2．(2014海淀模擬)若直線l：y＝kx與曲線C：(參數(shù)θ∈R)有唯一的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k＝________. 解析　曲線C化為普通方程為(x－2)2＋y2＝1，圓心坐標(biāo)為(2,0)，半徑r＝1.由已知l與圓相切，則r＝＝1?k＝. 答案　 3．已知橢圓的參數(shù)方程(t為參數(shù))，點(diǎn)M在橢圓上，對應(yīng)參數(shù)t＝，點(diǎn)O為原點(diǎn)，則直線OM的斜率為________． 解析　當(dāng)t＝時(shí)，x＝1，y＝2，則M(1,2)，∴直線OM的斜率k＝2. 答案　2 4．(2013湖南卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若l：(t為參數(shù))過橢圓C：(φ為參數(shù))的右頂點(diǎn)，則常數(shù)a的值為________． 解析　∵x＝t，且y＝t－a， 消去t，得直線l的方程y＝x－a， 又x＝3cos φ且y＝2sin φ，消去φ， 得橢圓方程＋＝1，右頂點(diǎn)為(3,0)， 依題意0＝3－a， ∴a＝3. 答案　3 5．直線3x＋4y－7＝0截曲線(α為參數(shù))的弦長為________． 解析　曲線可化為x2＋(y－1)2＝1，圓心(0,1)到直線的距離d＝＝，則弦長l＝2＝. 答案　 6．已知直線l1：(t為參數(shù))，l2：(s為參數(shù))，若l1∥l2，則k＝________；若l1⊥l2，則k＝________. 解析　將l1、l2的方程化為直角坐標(biāo)方程得l1：kx＋2y－4－k＝0，l2：2x＋y－1＝0，由l1∥l2，得＝≠?k＝4，由l1⊥l2，得2k＋2＝0?k＝－1. 答案　4?。? 7．(2012廣東卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1和C2的參數(shù)方程分別為(t為參數(shù))和(θ為參數(shù))，則曲線C1與C2的交點(diǎn)坐標(biāo)為________． 解析　曲線C1的普通方程為y2＝x(y≥0)， 曲線C2的普通方程為x2＋y2＝2. 由 解得即交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)． 答案　(1,1) 8．直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)A，B分別在曲線C1：(θ為參數(shù))和曲線C2：ρ＝1上，則|AB|的最小值為________． 解析　消掉參數(shù)θ，得到關(guān)于x、y的一般方程C1：(x－3)2＋y2＝1，表示以(3,0)為圓心，以1為半徑的圓；C2：x2＋y2＝1，表示的是以原點(diǎn)為圓心的單位圓，|AB|的最小值為3－1－1＝1. 答案　1 9．(2012湖南卷)在極坐標(biāo)系中，曲線C1：ρ(cos θ＋sin θ)＝1與曲線C2：ρ＝a(a>0)的一個(gè)交點(diǎn)在極軸上，則a＝______. 解析　ρ(cos θ＋sin θ)＝1，即ρcos θ＋ρsin θ＝1對應(yīng)的普通方程為x＋y－1＝0，ρ＝a(a>0)對應(yīng)的普通方程為x2＋y2＝a2.在x＋y－1＝0中，令y＝0，得x＝.將代入x2＋y2＝a2得a＝. 答案　 二、解答題 10．(2013新課標(biāo)全國Ⅰ卷)已知曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝2sin θ. (1)把C1的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程； (2)求C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)(ρ≥0,0≤θ＜2π)． 解　(1)將消去參數(shù)t， 化為普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25， 即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0. 將代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. 所以C1的極坐標(biāo)方程為 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C2的普通方程為x2＋y2－2y＝0. 由 解得或 所以C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為，. 11．(2013新課標(biāo)全國Ⅱ卷)已知?jiǎng)狱c(diǎn)P、Q都在曲線C：(t為參數(shù))上，對應(yīng)參數(shù)分別為t＝α與t＝2α(0<α<2π)，M為PQ的中點(diǎn)． (1)求M的軌跡的參數(shù)方程； (2)將M到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d表示為α的函數(shù)，并判斷M的軌跡是否過坐標(biāo)原點(diǎn)． 解　(1)依題意有P(2cos α，2sin α)，Q(2cos 2α，2sin 2α)， 因此M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)． M的軌跡的參數(shù)方程為(α為參數(shù)，0<α<2π)． (2)M點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d＝＝(0<α<2π)． 當(dāng)α＝π時(shí)，d＝0，故M的軌跡通過坐標(biāo)原點(diǎn)． 12．(2012新課標(biāo)全國卷)已知曲線C1的參數(shù)方程是(φ為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程是ρ＝2，正方形ABCD的頂點(diǎn)都在C2上，且A，B，C，D依逆時(shí)針次序排列，點(diǎn)A的極坐標(biāo)為. (1)求點(diǎn)A，B，C，D的直角坐標(biāo)； (2)設(shè)P為C1上任意一點(diǎn)，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范圍． 解　(1)由已知可得A， B， C， D， 即A(1，)，B(－，1)，C(－1，－)，D(，－1)． (2)設(shè)P(2cos φ，3sin φ)， 令S＝|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2， 則S＝16cos2φ＋36sin2φ＋16＝32＋20sin2φ. 因?yàn)?≤sin2φ≤1， 所以S的取值范圍是[32,52]．