高中數學人教版A版必修一學案：第一單元 1.3.1 第2課時 函數的最大值、最小值 Word版含答案

（人教版）精品數學教學資料第2課時函數的最大值、最小值學習目標1.理解函數的最大(小)值的概念及其幾何意義(難點).2.會借助單調性求最值(重點).3.掌握求二次函數在閉區(qū)間上的最值(重點)預習教材P30，完成下面問題：知識點函數的最大值與最小值最大值最小值條件一般地，設函數yf(x)的定義域為I，如果存在實數M滿足：對于任意的xI，都有f(x)Mf(x)M存在x0I，使得f(x0)M結論稱M是函數yf(x)的最大值稱M是函數yf(x)的最小值幾何意義f(x)圖象上最高點的縱坐標f(x)圖象上最低點的縱坐標【預習評價】(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)任何函數f(x)都有最大值和最小值()(2)若存在實數m，使f(x)m，則m是函數f(x)的最小值()(3)若函數f(x)在區(qū)間a，b上是增函數，則f(x)在區(qū)間a，b上的最小值是f(a)，最大值是f(b)()提示(1)反例：f(x)x既無最大值，也無最小值(2)若使m是f(x)的最小值，還需在f(x)的定義域內存在x0，使f(x0)m.(3)由于f(x)在區(qū)間a，b上是增函數，所以f(a)f(x)f(b)故f(x)的最小值是f(a)，最大值是f(b)題型一用圖象法和函數的單調性求函數的最值【例1】(1)已知函數f(x)則f(x)的最大值、最小值分別為_，_.(2)求函數f(x)在區(qū)間2,5上的最大值與最小值(1)解析作出函數f(x)的圖象(如圖)由圖象可知，當x1時，f(x)取最大值為f(1)1.當x0時，f(x)取最小值f(0)0，故f(x)的最大值為1，最小值為0.答案10(2)解任取2x1<x25，則f(x1)，f(x2)，f(x2)f(x1)，2x1<x25，x1x2<0，x21>0，x11>0，f(x2)f(x1)<0，f(x2)<f(x1)f(x)在區(qū)間2,5上是單調減函數f(x)maxf(2)2，f(x)minf(5).規(guī)律方法1.圖象法求最值的步驟2利用函數的單調性求最值的兩個易錯點(1)求函數的最值時應首先求函數的定義域，在定義域內進行(2)求函數在閉區(qū)間上的最值，易出現的失誤是不判斷函數的單調性而直接將兩端點值代入，認為是函數的最值【訓練1】已知函數f(x)x.(1)求證f(x)在1，)上是增函數；(2)求f(x)在1,4上的最大值及最小值(1)證明設1x1x2，則f(x1)f(x2)(x1)(x2)(x1x2).1x1x2，x1x20，x1x21，x1x210，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)f(x)在1，)上是增函數(2)解由(1)可知，f(x)在1,4上遞增，當x1時，f(x)minf(1)2，當x4時，f(x)maxf(4).綜上所述，f(x)在1,4上的最大值是，最小值是2.題型二函數最值的實際應用【例2】某公司生產一種電子儀器的固定成本為20 000元，每生產一臺儀器需增加投入100元，已知總收益滿足函數：R(x)其中x是儀器的月產量(1)將利潤表示為月產量的函數f(x)；(2)當月產量為何值時，公司所獲利潤最大？最大利潤為多少元？(總收益總成本利潤)解(1)設月產量為x臺，則總成本為20 000100x，從而f(x)(2)當0x400時，f(x)(x300)225 000；當x300時，f(x)max25 000，當x400時，f(x)60 000100x是減函數，f(x)60 00010040025 000.當x300時 ，f(x)max25 000.即每月生產300臺儀器時利潤最大，最大利潤為25 000元規(guī)律方法求解實際問題的四個步驟(1)讀題：分為讀懂和深刻理解兩個層次，把“問題情景”譯為數學語言，找出問題的主要關系(目標與條件的關系)(2)建模：把問題中的關系轉化成函數關系，建立函數解析式，把實際問題轉化成函數問題(3)求解：選擇合適的數學方法求解函數(4)評價：對結果進行驗證或評估，對錯誤加以改正，最后將結果應用于現實，作出解釋或預測特別提醒：求解實際問題的步驟也可認為分成“設元列式求解作答”四個步驟【訓練2】某水廠蓄水池有水450噸，水廠每小時向蓄水池注水80噸，同時蓄水池又向居民小區(qū)供水，t小時內供水量為80噸現在開始向池中注水并同時向居民供水，多少小時后蓄水池中水量最少？解設t小時后，池中水量為y噸，則y45080t804(10)250，當10，即t5時，ymin50，所以5小時后蓄水池中水量最少，最少為50噸.互動探究題型三二次函數的最值【探究1】(1)求函數yx22x2的單調區(qū)間(2)求函數yx22x2的單調區(qū)間解(1)函數yx22x2是開口向上，對稱軸為x1的拋物線，故其單減區(qū)間是(，1)，單增區(qū)間是(1，)(2)函數yx22x2的圖象是開口向下，對稱軸為x1的拋物線，故其單減區(qū)間是(1，)，單增區(qū)間是(，1)【探究2】函數f(x)x22x2在區(qū)間1,0，1,2，2,3上的最大值和最小值分別是什么？解函數f(x)x22x2的圖象開口向上，對稱軸為x1，(1)因為f(x)在區(qū)間1,0上單調遞減，所以f(x)在區(qū)間1,0上的最大值為f(1)5，最小值為f(0)2；(2)因為f(x)在區(qū)間1,1上單調遞減，在1,2上單調遞增，則f(x)在區(qū)間1,2上的最小值為f(1)1，又因為f(1)5，f(2)2，f(1)>f(2)，所以f(x)在區(qū)間1,2上的最大值為f(1)5.(3)因為f(x)在區(qū)間2,3上單調遞增，所以f(x)在區(qū)間2,3上的最小值為f(2)2，最大值為f(3)5.【探究3】已知函數f(x)x2ax1，(1)求f(x)在0,1上的最大值；(2)當a1時，求f(x)在閉區(qū)間t，t1(tR)上的最小值解(1)因為函數f(x)x2ax1的圖象開口向上，其對稱軸為x，所以區(qū)間0,1的哪一個端點離對稱軸遠，則在哪個端點取到最大值，當，即a1時，f(x)的最大值為f(1)2a；當>，即a>1時，f(x)的最大值為f(0)1.(2)當a1時，f(x)x2x1，其圖象的對稱軸為x.當t時，f(x)在t，t1上是增函數，f(x)minf(t)t2t1；當t1，即t時，f(x)在上是減函數，f(x)minf(t1)t2t1；當t<<t1，即<t<時，函數f(x)在上單調遞減，在上單調遞增，所以f(x)minf.規(guī)律方法含參數的二次函數最值問題的解法解決含參數的二次函數的最值問題，首先將二次函數化為ya(xh)2k的形式，再依a的符號確定拋物線開口的方向，依對稱軸xh得出頂點的位置，再根據x的定義區(qū)間結合大致圖象確定最大或最小值對于含參數的二次函數的最值問題，一般有如下幾種類型：(1)區(qū)間固定，對稱軸變動(含參數)，求最值；(2)對稱軸固定，區(qū)間變動(含參數)，求最值；(3)區(qū)間固定，最值也固定，對稱軸變動，求參數通常都是根據區(qū)間端點和對稱軸的相對位置進行分類討論課堂達標1函數f(x)2x1(x2,2)的最小、最大值分別為()A3,5B3,5C1,5D5，3解析因為f(x)2x1(x2,2)是單調遞減函數，所以當x2時，函數的最小值為3.當x2時，函數的最大值為5.答案B2函數yx22x，x0,3的值域為()A0,3B1,0C1，)D1,3解析函數yx22x(x1)21，x0,3，當x1時，函數y取得最小值為1，當x3時，函數取得最大值為3，故函數的值域為1,3，故選D答案D3若函數yax1在1,2上的最大值與最小值的差為2，則實數a的值是()A2B2C2或2D0解析由題意a0，當a>0時，有(2a1)(a1)2，解得a2；當a<0時，有(a1)(2a1)2，解得a2.綜上知a2.答案C4函數f(x)3x在區(qū)間2,4上的最大值為_解析在區(qū)間2,4上是減函數，3x在區(qū)間2,4上是減函數，函數f(x)3x在區(qū)間2,4上是減函數，f(x)maxf(2)324.答案45已知函數f(x)求函數f(x)的最大值、最小值解作出f(x)的圖象如圖：由圖象可知，當x2時，f(x)取最大值為2；當x時，f(x)取最小值為.所以f(x)的最大值為2，最小值為.課堂小結1函數的最值與值域、單調性之間的聯系(1)對一個函數來說，其值域是確定的，但它不一定有最值，如函數y.如果有最值，則最值一定是值域中的一個元素(2)若函數f(x)在閉區(qū)間a，b上單調，則f(x)的最值必在區(qū)間端點處取得，即最大值是f(a)或f(b)，最小值是f(b)或f(a)2二次函數在閉區(qū)間上的最值探求二次函數在給定區(qū)間上的最值問題，一般要先作出yf(x)的草圖，然后根據圖象的增減性進行研究特別要注意二次函數的對稱軸與所給區(qū)間的位置關系，它是求解二次函數在已知區(qū)間上最值問題的主要依據，并且最大(小)值不一定在頂點處取得