專題四 第2講 數(shù)列的求和及其綜合應(yīng)用 專題升級(jí)訓(xùn)練含答案解析

專題升級(jí)訓(xùn)練 　數(shù)列的求和及其綜合應(yīng)用 (時(shí)間:60分鐘　滿分:100分) 一、選擇題(本大題共6小題,每小題6分,共36分) 1.已知數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列,且a1,a2,a5成等比數(shù)列,則{an}的前5項(xiàng)和S5為(　　) A.20 B.30 C.25 D.40 2.(2013山東煙臺(tái)模擬,3)設(shè)各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列{an},Sn為前n項(xiàng)和,且S10=10,S30=70,那么S40=(　　) A.150 B.-200 C.150或-200 D.400或-50 3.已知Sn是非零數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且Sn=2an-1,則S2 014等于(　　) A.1-22 014 B.22 014-1 C.22 015-1 D.22 013 4.若數(shù)列{an}是等差數(shù)列,首項(xiàng)a1>0,a1 003+a1 004>0,a1 003a1 004<0,則使數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn>0成立的最大自然數(shù)n是(　　) A.2 005 B.2 006 C.2 007 D.2 008 5.設(shè)數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1公比為4的等比數(shù)列,把{an}中的每一項(xiàng)都減去3后,得到一個(gè)新數(shù)列{bn},{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,對(duì)任意的n∈N*,下列結(jié)論正確的是(　　) A.4bn=bn+1且Sn=(4n-1) B.4bn-6=bn+1且Sn=(4n-1) C.4bn+9=bn+1且Sn=(4n-1)-3n D.4bn-9=bn+1且Sn=(4n-1)-3n 6.(2013北京東城模擬,7)對(duì)于函數(shù)y=f(x),部分x與y的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表: x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y 7 4 5[來(lái)源:] 8 1 3 5 2 6[來(lái)源:] 數(shù)列{xn}滿足x1=2,且對(duì)任意n∈N*,點(diǎn)(xn,xn+1)都在函數(shù)y=f(x)的圖象上,則x1+x2+x3+x4+…+x2012+x2013的值為(　　) A.9 394 B.9 380 C.9 396 D.9 400 二、填空題(本大題共3小題,每小題6分,共18分) 7.在等差數(shù)列{an}中,首項(xiàng)a1=0,公差d≠0,若ak=S6,則k的值為　　　.[來(lái)源:數(shù)理化網(wǎng)] 8.已知數(shù)列{an}滿足a1=,且對(duì)任意的正整數(shù)m,n都有am+n=aman,則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=　　　. 9.對(duì)于數(shù)列{an},定義數(shù)列{an+1-an}為數(shù)列{an}的“差數(shù)列”,若a1=2,{an}的“差數(shù)列”的通項(xiàng)為2n,則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=　　　. 三、解答題(本大題共3小題,共46分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟) 10.(本小題滿分15分)在數(shù)列{an}中,a1=,若函數(shù)f(x)=x3+1在點(diǎn)(1,f(1))處切線過(guò)點(diǎn)(an+1,an). (1)求證:數(shù)列為等比數(shù)列; (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式Sn. 11.(本小題滿分15分)已知函數(shù)f(x)=,數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=f,n∈N*. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)令bn=(n≥2),b1=3,Sn=b1+b2+…+bn,若Sn<對(duì)一切n∈N*成立,求最小正整數(shù)m. 12.(本小題滿分16分)(2013江蘇,19)設(shè){an}是首項(xiàng)為a,公差為d的等差數(shù)列(d≠0),Sn是其前n項(xiàng)和.記bn=,n∈N*,其中c為實(shí)數(shù). (1)若c=0,且b1,b2,b4成等比數(shù)列,證明:Snk=n2Sk(k,n∈N*);[來(lái)源:] (2)若{bn}是等差數(shù)列,證明:c=0. ## 1.C 2.A 3.B　解析:∵Sn=2an-1,∴Sn-1=2an-1-1(n≥2),兩式相減得an=2an-2an-1,即an=2an-1,∴數(shù)列{an}是公比為2的等比數(shù)列,由S1=2a1-1,得a1=1, ∴S2 014==22 014-1. 4.B　解析:由a1>0,a1 003+a1 004>0,a1 003a1 004<0,可知數(shù)列{an}是遞減的等差數(shù)列, ∴a1 003>0,a1 004<0.又a1 003+a1 004=a1+a2 006>0,a1+a2 007=2a1 004<0, ∴S2 006=>0,S2 007==2 007a1 004<0, ∴最大自然數(shù)n是2 006. 5.C　解析:由已知得bn=4n-1-3,故有4bn+9=4(4n-1-3)+9=4n-3=bn+1,Sn=(1+4+42+…+4n-1)-3n=(4n-1)-3n. 6.A　解析:由題意得,x1=2,x2=4,x3=8,x4=2,…數(shù)列的周期為3,故x1+x2+x3+x4+…+x2 012+x2 013=671(x1+x2+x3)=67114=9 394. 7.16 8.2-　解析:令m=1,則an+1=a1an,∴數(shù)列{an}是以a1=為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,Sn==2-. 9.2n+1-2　解析:∵an+1-an=2n, ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1 =2n-1+2n-2+…+22+2+2 =+2=2n. ∴Sn==2n+1-2. 10.解:(1)證明:因?yàn)閒(x)=3x2,所以切線的斜率為k=3,切點(diǎn)(1,2), 切線方程為y-2=3(x-1)?3x-y-1=0. 又因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)(an+1,an), 所以3an+1-an-1=0, 即3an+1=an+1, 所以3an+1-=an-? 3=an- ?, 即數(shù)列為一等比數(shù)列,公比q=. (2)由(1)得為一公比為q=,首項(xiàng)為a1-的等比數(shù)列, 則an-. ∴an=, Sn=. 11.解:(1)∵an+1=f=an+, ∴{an}是以1為首項(xiàng),為公差的等差數(shù)列. ∴an=1+(n-1)n+. (2)當(dāng)n≥2時(shí),bn=, 又b1=3=, ∴Sn=b1+b2+…+bn=+…+, ∵Sn<對(duì)一切n∈N*成立, 即對(duì)一切n∈N*成立, 又,∴, 即m≥2 023. ∴最小正整數(shù)m為2 023. 12.證明:由題設(shè),Sn=na+d. (1)由c=0,得bn==a+d.又因?yàn)閎1,b2,b4成等比數(shù)列,所以=b1b4, 即=a,化簡(jiǎn)得d2-2ad=0.因?yàn)閐≠0,所以d=2a. 因此,對(duì)于所有的m∈N*,有Sm=m2a. 從而對(duì)于所有的k,n∈N*,有Snk=(nk)2a=n2k2a=n2Sk. (2)設(shè)數(shù)列{bn}的公差是d1,則bn=b1+(n-1)d1,即=b1+(n-1)d1,n∈N*,代入Sn的表達(dá)式,整理得,對(duì)于所有的n∈N*,有n3+n2+cd1n=c(d1-b1). 令A(yù)=d1-d,B=b1-d1-a+d,D=c(d1-b1),則對(duì)于所有的n∈N*,有An3+Bn2+cd1n=D.(*) 在(*)式中分別取n=1,2,3,4,得A+B+cd1=8A+4B+2cd1=27A+9B+3cd1=64A+16B+4cd1, 從而有 由②,③得A=0,cd1=-5B,代入方程①,得B=0,從而cd1=0. 即d1-d=0,b1-d1-a+d=0,cd1=0. 若d1=0,則由d1-d=0,得d=0,與題設(shè)矛盾,所以d1≠0. 又因?yàn)閏d1=0,所以c=0.