高中數(shù)學(xué) 第2章 5離散型隨機(jī)變量的均值與方差課時(shí)作業(yè) 北師大版選修23

2019年北師大版精品數(shù)學(xué)資料 【成才之路】高中數(shù)學(xué) 第2章 5離散型隨機(jī)變量的均值與方差課時(shí)作業(yè) 北師大版選修2-3 一、選擇題 1．已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為(　　) X 1 2 3 P 則X的均值E(X)＝(　　) A. B．2 C. D．3 [答案]　A [解析]　E(X)＝1＋2＋3＝. 2．已知X～B(n，p)，E(X)＝8，D(X)＝1.6，則n，p的值分別為(　　) A．100和0.8 B．20和0.4 C．10和0.2 D．10和0.8 [答案]　D [解析]　由條件知解之得 3．下列說法中，正確的是(　　) A．離散型隨機(jī)變量的均值E(X)反映了X取值的概率平均值 B．離散型隨機(jī)變量的方差D(X)反映了X取值的平均水平 C．離散型隨機(jī)變量的均值E(X)反映了X取值的平均水平 D．離散型隨機(jī)變量的方差D(X)反映了X取值的概率平均值 [答案]　C [解析]　離散型隨機(jī)變量X的均值反映了離散隨機(jī)變量取值的平均水平，隨機(jī)變量的方差反映了隨機(jī)變量取值離于均值的平均程度． 4．已知隨機(jī)變量X的概率分布列是 X 1 2 3 P 0.4 0.2 0.4 則D(X)等于(　　) A．0 B．0.8 C．2 D．1 [答案]　B [解析]　根據(jù)方差的計(jì)算公式，易求DX＝0.8. 5．甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員射擊命中環(huán)數(shù)ξ、η的分布列如下： 環(huán)數(shù)k 8 9 10 P(ξ＝k) 0.3 0.2 0.5 P(η＝k) 0.2 0.4 0.4 其中射擊比較穩(wěn)定的運(yùn)動(dòng)員是(　　) A．甲 B．乙 C．一樣 D．無法比較 [答案]　B [解析]　E(ξ)＝9.2，E(η)＝9.2＝E(ξ)，D(ξ)＝0.76，D(η)＝0.56<D(ξ)，乙穩(wěn)定． 二、填空題 6.(2015上海理，12)賭博有陷阱，某種賭博每局的規(guī)則是：賭客先在標(biāo)記有1、2、3、4、5的卡片中隨機(jī)摸取一張，將卡片上的數(shù)字作為其賭金(元)；隨后放回該卡片，再隨機(jī)摸取兩張，將兩張卡片上數(shù)字之差的絕對(duì)值的1.4倍作為其獎(jiǎng)金，若隨機(jī)變量ξ1和ξ2分別表示賭客在一局賭博中的賭金和獎(jiǎng)金，則E(ξ1)－E(ξ2)＝________(元)． [答案]　0.2 [解析]　ξ1的分布列 ξ1 1 2 3 4 5 P ∴E(ξ1)＝(1＋2＋…＋5)＝3 ξ2的分布列 ξ2 1.4 2.8 4.2 5.6 P E(ξ2)＝1.4＋2.8＋4.2＋5.6＝2.8 ∴E(ξ1)－E(ξ2)＝0.2. [反思總結(jié)]　均值E(X)是一個(gè)實(shí)數(shù)，由X的分布列唯一確定，即X作為隨機(jī)變量是可變的，而E(X)是不變的，它描述X值的取值平均狀態(tài)． 7．已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表： X＝xi －1 0 1 2 P(X＝xi) a b c 若E(X)＝0，D(X)＝1，則a＝________，b＝________. [答案]　　 [解析]　由分布列中概率滿足的條件可知a＋b＋c＋＝1?、伲删岛头讲畹挠?jì)算公式可得－a＋c＋＝0　②，12a＋12c＋22＝1　③，聯(lián)立①②③解得a＝，b＝. 8．設(shè)l為平面上過點(diǎn)(0,1)的直線，l的斜率等可能地取－2、－、－、0、、、2，用X表示坐標(biāo)原點(diǎn)到l的距離，則隨機(jī)變量X的均值E(X)＝________. [答案]　 [解析]　設(shè)l的方程為y＝kx＋1，則點(diǎn)(0,0)到直線的距離X＝，將k＝－2、－、－、0、、、2分別代入，求得X分別為、、、1、、、，由于k取值是等可能的，故X的概率分布列為 X 1 P 由上表可求得E(X)＝. 三、解答題 9.一個(gè)盒子里裝有7張卡片，其中有紅色卡片4張，編號(hào)分別為1、2、3、4；白色卡片3張，編號(hào)分別為2、3、4.從盒子中任取4張卡片(假設(shè)取到任何一張卡片的可能性相同)． (1)求取出的4張卡片中，含有編號(hào)為3的卡片的概率； (2)在取出的4張卡片中，紅色卡片編號(hào)的最大值設(shè)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和均值． [解析]　(1)設(shè)“取出的4張卡片中，含有編號(hào)為3的卡片”為事件A，則 P(A)＝＝. 所以，取出的4張卡片中，含有編號(hào)為3的卡片的概率為. (2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為1,2,3,4. P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝. 所以隨機(jī)變量X的分布列是 X 1 2 3 4 P 隨機(jī)變量X的均值E(X)＝1＋2＋3＋4＝. 10.現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)靶，某射手向甲靶射擊一次，命中的概率為，命中得1分，沒有命中得0分；向乙靶射擊兩次，每次命中的概率為 ，每命中一次得2分，沒有命中得0分，該射手每次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立．假設(shè)該射手完成以上三次射擊． (1)求該射手恰好命中一次的概率； (2)求該射手的總得分X的分布列及均值E(X)． [解析]　(1)P＝()2＋C＝； (2)X＝0、1、2、3、4、5 P(X＝0)＝()2＝，P(X＝1)＝()2＝，P(X＝2)＝C＝， P(X＝3)＝C＝，P(X＝4)＝()2＝，P(X＝5)＝()2＝. ∴X的分布列為 X 0 1 2 3 4 5 P E(X)＝0＋1＋2＋3＋4＋5＝＝3. 一、選擇題 1．設(shè)離散型隨機(jī)變量ξ的可能取值為0,1，且P(ξ＝0)＝，則D(ξ)＝(　　) A. B． C. D． [答案]　D [解析]　由題意知ξ服從兩點(diǎn)分布，且P(ξ＝1)＝1－＝，故D(ξ)＝P(ξ＝1)[1－P(ξ＝1)]＝＝. 2．如圖，將一個(gè)各面都涂了油漆的正方體，切割為125個(gè)同樣大小的小正方體，經(jīng)過攪拌后，從中隨機(jī)取一個(gè)小正方體，記它的油漆面數(shù)為X，則X的均值E(X)＝(　　) A. B． C. D． [答案]　B [解析]　P(X＝0)＝，P(X＝1)＝， P(X＝2)＝，P(X＝3)＝， ∴E(X)＝0＋1＋2＋3＝＝. 3．簽盒中有編號(hào)為1、2、3、4、5、6的6支簽，從中任意取3支，設(shè)X為這3支簽的號(hào)碼之中最大的一個(gè)．則X的均值為(　　) A．5 B．5.25 C．5.8 D．4.6 [答案]　B [解析]　由題意可知，X可以取3、4、5、6， P(X＝3)＝＝；P(X＝4)＝＝； P(X＝5)＝＝；P(X＝6)＝＝， ∴EX＝3＋4＋5＋6＝5.25. 4．一個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員投籃一次得3分的概率為a，得2分的概率為b，不得分的概率為d(a，b∈(0,1))，已知他投籃一次得分的均值為1(不計(jì)其他得分情況)，則ab的最大值為(　　) A. B． C. D． [答案]　B [解析]　由已知得3a＋2b＋0c＝1，即3a＋2b＝1，所以ab＝3a2b≤()2＝()2＝，當(dāng)且僅當(dāng)3a＝2b＝，即a＝，b＝時(shí)取“等號(hào)”，故選B. 二、填空題 5.(2014浙北名校聯(lián)盟聯(lián)考)一袋中裝有分別標(biāo)記著1、2、3數(shù)字的3個(gè)小球，每次從袋中取出一個(gè)球(每只小球被取到的可能性相同)，現(xiàn)連續(xù)取3次球，若每次取出一個(gè)球后放回袋中，記3次取出的球中標(biāo)號(hào)最小的數(shù)字與最大的數(shù)字分別為X、Y，設(shè)ξ＝Y(jié)－X，則E(ξ)＝________. [答案]　 [解析]　由題意知ξ的取值為0、1、2，ξ＝0，表示X＝Y(jié)，ξ＝1表示X＝1，Y＝2；或X＝2，Y＝3；ξ＝2表示X＝1，Y＝3. ∴P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝， ∴E(ξ)＝0＋1＋2＝. 6．某射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布列如下： ξ 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 已知ξ的均值E(ξ)＝8.9，則y的值為________． [答案]　0.4 [解析]　依題意得即由此解得y＝0.4. 三、解答題 7．甲、乙兩名工人加工同一種零件，兩人每天加工的零件數(shù)相等，所得次品數(shù)分別為X、Y，X和Y的分布列如下： X 0 1 2 P Y 0 1 2 P 試對(duì)這兩名工人的技術(shù)水平進(jìn)行比較． [解析]　工人甲生產(chǎn)出次品數(shù)X的均值和方差分別為： E(X)＝0＋1＋2＝0.7， D(X)＝(0－0.7)2＋(1－0.7)2＋(2－0.7)2＝0.81； 工人乙生產(chǎn)出次品數(shù)Y的均值和方差分別為： E(Y)＝0＋1＋2＝0.7， D(Y)＝(0－0.7)2＋(1－0.7)2＋(2－0.7)2＝0.61. 由E(X)＝E(Y)知，兩人生產(chǎn)出次品的均值相同，技術(shù)水平相當(dāng)，但D(X)>D(Y)，可見乙的技術(shù)比較穩(wěn)定． 8．某超市為了解顧客的購物量及結(jié)算時(shí)間等信息，安排一名員工隨機(jī)收集了在該超市購物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示. 一次購物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件及以上 顧客數(shù)(人) x 30 25 y 10 結(jié)算時(shí)間(分鐘/人) 1 1.5 2 2.5 3 已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%. (1)確定x、y的值，并求顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間X的分布列與均值； (2)若某顧客到達(dá)收銀臺(tái)時(shí)前面恰有2位顧客需結(jié)算，且各顧客的結(jié)算相互獨(dú)立，求該 顧客結(jié) 算前的等候時(shí)間不超過2.5分鐘的概率． (注：將頻率視為概率) [解析]　(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20. 該超市所有顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間組成一個(gè)總體，所收集的100位顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間可視為總體的一個(gè)容量為100的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，將頻率視為概率得 P(X＝1)＝＝，P(X＝1.5)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝2.5)＝＝，P(X＝3)＝＝. X的分布列為 X 1 1.5 2 2.5 3 P X的均值為 E(X)＝1＋1.5＋2＋2.5＋3＝1.9. (2)記A為事件“該顧客結(jié)算前的等候時(shí)間不超過2.5分鐘”，Xi(i＝1,2)為該顧客前面第i位顧客的結(jié)算時(shí)間，則 P(A)＝P(X1＝1且X2＝1)＋P(X1＝1且X2＝1.5)＋P(X1＝1.5且X2＝1)． 由于各顧客的結(jié)算相互獨(dú)立，且X1，X2的分布列都與X的分布列相同，所以 P(A)＝P(X1＝1)P(X2＝1)＋P(X1＝1)P(X2＝1.5)＋P(X1＝1.5)P(X2＝1)＝＋＋＝. 故該顧客結(jié)算前的等候時(shí)間不超過2.5分鐘的概率為.