高中數(shù)學(xué)北師大版選修22教案：第1章 類比方法分類解析

2019年北師大版精品數(shù)學(xué)資料 類比方法分類解析 類比思維是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要發(fā)現(xiàn)式思維，它是通過(guò)兩個(gè)已知事物在某些方面所具有的共同屬性去推測(cè)這兩個(gè)事物在其他方面也有相同或類似的屬性，從而大膽猜想得到結(jié)論，類比題型還可培養(yǎng)創(chuàng)新精神和創(chuàng)造力，它象一朵耀眼的奇葩，頻頻出現(xiàn)在高考中，現(xiàn)舉幾例供大家欣賞。 一、不等式中的類比 例1先閱讀下面結(jié)論的證明，再解決后面的問(wèn)題：已知求證 證明：構(gòu)造函數(shù) 因?yàn)閷?duì)一切x恒有，所以，從而 （1）若試寫出上述結(jié)論的推廣式： （2）參考上述證法，對(duì)你推廣的結(jié)論加以證明。 解：（1）若求證： （2）證明：構(gòu)造函數(shù) ＝ ＝ 因?yàn)閷?duì)一切x恒有，所以，從而證得 點(diǎn)評(píng)：本題命制巧妙，先通過(guò)對(duì)已知結(jié)論類比得到結(jié)論的推廣，再通過(guò)觀察已知結(jié)論的證明方法來(lái)對(duì)推廣的結(jié)論的證明，本題即有結(jié)論的推廣類比還包含證明方法的類比，但是由于類比結(jié)論產(chǎn)生錯(cuò)誤，使得下面的證明也產(chǎn)生錯(cuò)誤。 二、平面幾何與空間幾何的類比 例2、如下圖，點(diǎn)P為斜三棱柱ABC－的側(cè)棱上一點(diǎn)，PM交于 點(diǎn)M，PN交于點(diǎn)N. （1） 求證：MN； （2） 在任意▲DEF中有余弦定理 擴(kuò)展到空間，類比三角形和余弦定理，寫出斜三棱柱的三個(gè)側(cè)面面積與其中兩個(gè)側(cè)面所成的二面角之間的關(guān)系，并予以證明。 （1） 證明：因?yàn)?/，所以PM，PN，所以平面PMN，所以MN. （2）解：在斜三棱柱ABC－中有 其中x為平面與平面所組成的二面角. 因?yàn)槠矫鍼MN，所以，上述的二面角為 在▲PMN中， 所以 因?yàn)椋? 所以 點(diǎn)評(píng)：本題首先通過(guò)平面中的余弦定理進(jìn)行類比，得出空間中的余弦定理再通過(guò)證明驗(yàn)證結(jié)論的正確性。 三、圓錐曲線之間的類比 例3、設(shè)分別為橢圓c：的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)。 已知橢圓具有性質(zhì)：若M、N是橢圓c上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為時(shí)，那么之積是與點(diǎn)P位置無(wú)關(guān)的定值，試寫出雙曲線具有類似特性的性質(zhì)并加以證明。 解：類似的性質(zhì)為：若M、N是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為時(shí)，那么之積是與點(diǎn)P位置無(wú)關(guān)的定值。 設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，n），則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（－m，－n），其中. 又設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），由得 將，代入 得 點(diǎn)評(píng)：類比定義和性質(zhì)是中學(xué)數(shù)學(xué)中最常考查的一類問(wèn)題，它能很好地培養(yǎng)學(xué)生探索問(wèn)題的能力，應(yīng)該給以足夠的重視。 四、數(shù)列之間的類比 例4、電子計(jì)算機(jī)中使用二進(jìn)制，它與十進(jìn)制的換算關(guān)系如下表： 十進(jìn)制 1 2 3 4 5 6 …… 二進(jìn)制 1 10 11 100 101 110 …… 觀察二進(jìn)制1位數(shù)，2位數(shù)，3位數(shù)時(shí)，對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制的數(shù)，當(dāng)二進(jìn)制為6位數(shù)能表示十進(jìn)制中最大的數(shù)是__________. 解：通過(guò)閱讀，不難發(fā)現(xiàn)： ，，， ，，進(jìn)而知寫成二進(jìn)制為：111. 于是知二進(jìn)制為6位數(shù)能表示十進(jìn)制中最大的數(shù)是111111化成十進(jìn)制為： 點(diǎn)評(píng)：通過(guò)閱讀，將乍看陌生的問(wèn)題熟悉化，然后找到解決的方法，即轉(zhuǎn)化成等比數(shù)列求解。