人教初中數(shù)學(xué)人教版第22章 二次函數(shù)測試卷(3)
-
資源ID:42211701
資源大?。?span id="jxqmxp5" class="font-tahoma">281.50KB
全文頁數(shù):27頁
- 資源格式: DOC
下載積分:8積分
快捷下載

會員登錄下載
微信登錄下載
微信掃一掃登錄
友情提示
2、PDF文件下載后,可能會被瀏覽器默認(rèn)打開,此種情況可以點擊瀏覽器菜單,保存網(wǎng)頁到桌面,就可以正常下載了。
3、本站不支持迅雷下載,請使用電腦自帶的IE瀏覽器,或者360瀏覽器、谷歌瀏覽器下載即可。
4、本站資源下載后的文檔和圖紙-無水印,預(yù)覽文檔經(jīng)過壓縮,下載后原文更清晰。
5、試題試卷類文檔,如果標(biāo)題沒有明確說明有答案則都視為沒有答案,請知曉。
|
人教初中數(shù)學(xué)人教版第22章 二次函數(shù)測試卷(3)
111
第22章 二次函數(shù)測試卷(3)
一、選擇題(共10小題,每小題3分,共30分)
1.(3分)在下列y關(guān)于x的函數(shù)中,一定是二次函數(shù)的是( )
A.y=x2 B.y= C.y=kx2 D.y=k2x
2.(3分)是二次函數(shù),則m的值為( ?。?
A.0,﹣2 B.0,2 C.0 D.﹣2
3.(3分)在同一平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y=ax+b和二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象可能為( ?。?
A. B. C. D.
4.(3分)某同學(xué)在用描點法畫二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象時,列出下面的表格:
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
…
y
…
﹣7.5
﹣2.5
0.5
1.5
0.5
…
根據(jù)表格提供的信息,下列說法錯誤的是( ?。?
A.該拋物線的對稱軸是直線x=﹣2
B.該拋物線與y軸的交點坐標(biāo)為(0,﹣2.5)
C.b2﹣4ac=0
D.若點A(0.5,y1)是該拋物線上一點.則y1<﹣2.5
5.(3分)關(guān)于拋物線y=x2﹣2x+1,下列說法錯誤的是( ?。?
A.開口向上 B.與x軸有兩個重合的交點
C.對稱軸是直線x=1 D.當(dāng)x>1時,y隨x的增大而減小
6.(3分)已知拋物線y=x2+bx+c的部分圖象如圖所示,若y<0,則x的取值范圍是( )
A.﹣1<x<4 B.﹣1<x<3 C.x<﹣1或x>4 D.x<﹣1或x>3
7.(3分)二次函數(shù)y=x2﹣2x﹣2與坐標(biāo)軸的交點個數(shù)是( ?。?
A.0個 B.1個 C.2個 D.3個
8.(3分)已知關(guān)于x的方程ax+b=0(a≠0)的解為x=﹣2,點(1,3)是拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)上的一個點,則下列四個點中一定在該拋物線上的是( )
A.(2,3) B.(0,3) C.(﹣1,3) D.(﹣3,3)
9.(3分)二次函數(shù)y=﹣x2+2x+4的最大值為( ?。?
A.3 B.4 C.5 D.6
10.(3分)已知拋物線y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,則下列結(jié)論:①abc>0;②a+b+c=2;③a<;④b>1.其中正確的結(jié)論是( )
A.①② B.②③ C.③④ D.②④
二、填空題(共6小題,每小題3分,共18分)
11.(3分)已知函數(shù)是關(guān)于x的二次函數(shù),則m的值為 ?。?
12.(3分)如圖是二次函數(shù)y1=ax2+bx+c(a≠0)和一次函數(shù)y2=mx+n(m≠0)的圖象,當(dāng)y2>y1,x的取值范圍是 ?。?
13.(3分)若二次函數(shù)的圖象開口向下,且經(jīng)過(2,﹣3)點.符合條件的一個二次函數(shù)的解析式為 ?。?
14.(3分)已知點P(m,n)在拋物線y=ax2﹣x﹣a上,當(dāng)m≥﹣1時,總有n≤1成立,則a的取值范圍是 ?。?
15.(3分)二次函數(shù)y=ax2(a>0)的圖象經(jīng)過點(1,y1)、(2,y2),則y1 y2(填“>”或“<”).
16.(3分)二次函數(shù)y=x2+2x+2的最小值為 ?。?
三、解答題(共8題,共72分)
17.(8分)已知拋物線經(jīng)過點(2,3),且頂點坐標(biāo)為(1,1),求這條拋物線的解析式.
18.(8分)已知函數(shù)y=u+v,其中u與x的平方成正比,v是x的一次函數(shù),
(1)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù),確定v的函數(shù)式;
(2)如果x=﹣1時,函數(shù)y取最小值,求y關(guān)于x的函數(shù)式;
(3)在(2)的條件下,寫出y的最小值.
19.(8分)如圖,已知拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A(﹣1,0)、B(3,0)兩點.
(1)求拋物線的解析式和頂點坐標(biāo);
(2)當(dāng)0<x<3時,求y的取值范圍;
(3)點P為拋物線上一點,若S△PAB=10,求出此時點P的坐標(biāo).
20.(8分)如圖,拋物線y=ax2+2ax+1與x軸僅有一個公共點A,經(jīng)過點A的直線交該拋物線于點B,交y軸于點C,且點C是線段AB的中點.
(1)求這條拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式;
(2)求直線AB對應(yīng)的函數(shù)解析式.
21.(8分)如圖,用一段長為30米的籬笆圍成一個一邊靠墻(墻的長度不限)的矩形菜園ABCD,設(shè)AB邊長為x米,則菜園的面積y(單位:米2)與x(單位:米)的函數(shù)關(guān)系式為多少?
22.(10分)某商店原來平均每天可銷售某種水果200千克,每千克可盈利6元,為減少庫存,經(jīng)市場調(diào)查,如果這種水果每千克降價1元,則每天可所多售出20千克.
(1)設(shè)每千克水果降價x元,平均每天盈利y元,試寫出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式;
(2)若要平均每天盈利960元,則每千克應(yīng)降價多少元?
23.(10分)如圖,頂點為M的拋物線y=a(x+1)2﹣4分別與x軸相交于點A,B(點A在點B的右側(cè)),與y軸相交于點C(0,﹣3).
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)判斷△BCM是否為直角三角形,并說明理由.
24.(12分)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=ax2+1經(jīng)過點A(4,﹣3),頂點為點B,點P為拋物線上的一個動點,l是過點(0,2)且垂直于y軸的直線,過P作PH⊥l,垂足為H,連接PO.
(1)求拋物線的解析式,并寫出其頂點B的坐標(biāo);
(2)①當(dāng)P點運動到A點處時,計算:PO= ,PH= ,由此發(fā)現(xiàn),PO PH(填“>”、“<”或“=”);
②當(dāng)P點在拋物線上運動時,猜想PO與PH有什么數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想;
(3)如圖2,設(shè)點C(1,﹣2),問是否存在點P,使得以P,O,H為頂點的三角形與△ABC相似?若存在,求出P點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
參考答案與試題解析
一、選擇題(共10小題,每小題3分,共30分)
1.(3分)在下列y關(guān)于x的函數(shù)中,一定是二次函數(shù)的是( ?。?
A.y=x2 B.y= C.y=kx2 D.y=k2x
【考點】二次函數(shù)的定義.
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義形如y=ax2+bx+c (a≠0)是二次函數(shù).
【解答】解:A、是二次函數(shù),故A符合題意;
B、是分式方程,故B錯誤;
C、k=0時,不是函數(shù),故C錯誤;
D、k=0是常數(shù)函數(shù),故D錯誤;
故選:A.
【點評】本題考查二次函數(shù)的定義,形如y=ax2+bx+c (a≠0)是二次函數(shù).
2.(3分)是二次函數(shù),則m的值為( ?。?
A.0,﹣2 B.0,2 C.0 D.﹣2
【考點】二次函數(shù)的定義.
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義知道其系數(shù)不為零且指數(shù)為2,從而求得m的值.
【解答】解:∵是二次函數(shù),
∴
解得:m=﹣2,
故選D.
【點評】本題考查了二次函數(shù)的定義,特別是遇到二次函數(shù)的解析式中二次項含有字母系數(shù)時,要注意字母系數(shù)的取值不能使得二次項系數(shù)為0.
3.(3分)在同一平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y=ax+b和二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象可能為( ?。?
A. B. C. D.
【考點】二次函數(shù)的圖象;一次函數(shù)的圖象.
【分析】本題可先由二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象得到字母系數(shù)的正負(fù),再與一次函數(shù)y=ax+b的圖象相比較看是否一致.
【解答】解:A、由拋物線可知,a<0,x=﹣<0,得b<0,由直線可知,a<0,b<0,故本選項正確;
B、由拋物線可知,a>0,由直線可知,a<0,故本選項錯誤;
C、由拋物線可知,a>0,x=﹣>0,得b<0,由直線可知,a>0,b>0,故本選項錯誤;
D、由拋物線可知,a>0,由直線可知,a<0,故本選項錯誤.
故選:A.
【點評】本題考查拋物線和直線的性質(zhì),用假設(shè)法來搞定這種數(shù)形結(jié)合題是一種很好的方法.
4.(3分)某同學(xué)在用描點法畫二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象時,列出下面的表格:
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
…
y
…
﹣7.5
﹣2.5
0.5
1.5
0.5
…
根據(jù)表格提供的信息,下列說法錯誤的是( )
A.該拋物線的對稱軸是直線x=﹣2
B.該拋物線與y軸的交點坐標(biāo)為(0,﹣2.5)
C.b2﹣4ac=0
D.若點A(0.5,y1)是該拋物線上一點.則y1<﹣2.5
【考點】二次函數(shù)的圖象.
【分析】根據(jù)表格提供的信息以及拋物線的性質(zhì)一一判斷即可.
【解答】解:A、正確.因為x=﹣1或﹣3時,y的值都是0.5,所以對稱軸是x=﹣2.
B、正確.根據(jù)對稱性,x=0時的值和x=﹣4的值相等.
C、錯誤.因為拋物線與x軸有交點,所以b2﹣4ac>0.
D、正確.因為在對稱軸的右側(cè)y隨x增大而減?。?
故選C.
【點評】本題考查二次函數(shù)的圖象以及性質(zhì),需要靈活應(yīng)用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題,讀懂信息是解題的關(guān)鍵,屬于中考常考題型.
5.(3分)關(guān)于拋物線y=x2﹣2x+1,下列說法錯誤的是( ?。?
A.開口向上 B.與x軸有兩個重合的交點
C.對稱軸是直線x=1 D.當(dāng)x>1時,y隨x的增大而減小
【考點】二次函數(shù)的性質(zhì);二次函數(shù)的圖象.
【分析】根據(jù)拋物線的解析式畫出拋物線的圖象,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合二次函數(shù)的圖象,逐項分析四個選項,即可得出結(jié)論.
【解答】解:畫出拋物線y=x2﹣2x+1的圖象,如圖所示.
A、∵a=1,
∴拋物線開口向上,A正確;
B、∵令x2﹣2x+1=0,△=(﹣2)2﹣411=0,
∴該拋物線與x軸有兩個重合的交點,B正確;
C、∵﹣=﹣=1,
∴該拋物線對稱軸是直線x=1,C正確;
D、∵拋物線開口向上,且拋物線的對稱軸為x=1,
∴當(dāng)x>1時,y隨x的增大而增大,D不正確.
故選D.
【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)的圖象,解題的關(guān)鍵是結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)及其圖象分析四個選項.本題屬于基礎(chǔ)題,難度不大,解決該題型題目時,根據(jù)二次函數(shù)的解析式畫出函數(shù)圖象,利用數(shù)形結(jié)合來解決問題是關(guān)鍵.
6.(3分)已知拋物線y=x2+bx+c的部分圖象如圖所示,若y<0,則x的取值范圍是( )
A.﹣1<x<4 B.﹣1<x<3 C.x<﹣1或x>4 D.x<﹣1或x>3
【考點】拋物線與x軸的交點.
【專題】計算題.
【分析】根據(jù)拋物線與x軸的交點坐標(biāo)及對稱軸求出它與x軸的另一交點坐標(biāo),求當(dāng)y<0,x的取值范圍就是求函數(shù)圖象位于x軸的下方的圖象相對應(yīng)的自變量x的取值范圍.
【解答】解:由圖象知,拋物線與x軸交于(﹣1,0),對稱軸為x=1,
∴拋物線與x軸的另一交點坐標(biāo)為(3,0),
∵y<0時,函數(shù)的圖象位于x軸的下方,
且當(dāng)﹣1<x<3時函數(shù)圖象位于x軸的下方,
∴當(dāng)﹣1<x<3時,y<0.
故選B.
【點評】本題考查了二次函數(shù)的圖象的性質(zhì)及學(xué)生的識圖能力,是一道不錯的考查二次函數(shù)圖象的題目.
7.(3分)二次函數(shù)y=x2﹣2x﹣2與坐標(biāo)軸的交點個數(shù)是( ?。?
A.0個 B.1個 C.2個 D.3個
【考點】拋物線與x軸的交點.
【分析】先計算根的判別式的值,然后根據(jù)b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù)進(jìn)行判斷.
【解答】解:∵△=(﹣2)2﹣41(﹣2)=12>0,
∴二次函數(shù)y=x2﹣2x﹣2與x軸有2個交點,與y軸有一個交點.
∴二次函數(shù)y=x2﹣2x﹣2與坐標(biāo)軸的交點個數(shù)是3個.
故選D.
【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點:求二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a≠0)與x軸的交點坐標(biāo),令y=0,即ax2+bx+c=0,解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點橫坐標(biāo).二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a≠0)的交點與一元二次方程ax2+bx+c=0根之間的關(guān)系:△=b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù);△=b2﹣4ac>0時,拋物線與x軸有2個交點;△=b2﹣4ac=0時,拋物線與x軸有1個交點;△=b2﹣4ac<0時,拋物線與x軸沒有交點.
8.(3分)已知關(guān)于x的方程ax+b=0(a≠0)的解為x=﹣2,點(1,3)是拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)上的一個點,則下列四個點中一定在該拋物線上的是( ?。?
A.(2,3) B.(0,3) C.(﹣1,3) D.(﹣3,3)
【考點】二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征.
【分析】根據(jù)一次方程ax+b=0(a≠0)的解為x=﹣2得出b=2a,由此即可得出拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為x=﹣1,找出點(1,3)關(guān)于對稱軸對稱的點,即可得出結(jié)論.
【解答】解:∵關(guān)于x的方程ax+b=0(a≠0)的解為x=﹣2,
∴有﹣2a+b=0,即b=2a.
∴拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸x=﹣=﹣1.
∵點(1,3)是拋物線上的一點,
∴點(﹣3,3)是拋物線上的一點.
故選D.
【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征,解題的關(guān)鍵是找出拋物線的對稱軸為x=﹣1.本題屬于基礎(chǔ)題,難度不大,解決該題型題目時,找出拋物線的對稱軸,找出已知點關(guān)于對稱軸對稱的點即可.
9.(3分)二次函數(shù)y=﹣x2+2x+4的最大值為( ?。?
A.3 B.4 C.5 D.6
【考點】二次函數(shù)的最值.
【專題】計算題.
【分析】先利用配方法得到y(tǒng)=﹣(x﹣1)2+5,然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問題求解.
【解答】解:y=﹣(x﹣1)2+5,
∵a=﹣1<0,
∴當(dāng)x=1時,y有最大值,最大值為5.
故選:C.
【點評】本題考查了二次函數(shù)的最值:當(dāng)a>0時,拋物線在對稱軸左側(cè),y隨x的增大而減少;在對稱軸右側(cè),y隨x的增大而增大,因為圖象有最低點,所以函數(shù)有最小值,當(dāng)x=﹣時,y=;當(dāng)a<0時,拋物線在對稱軸左側(cè),y隨x的增大而增大;在對稱軸右側(cè),y隨x的增大而減少,因為圖象有最高點,所以函數(shù)有最大值,當(dāng)x=﹣時,y=;確定一個二次函數(shù)的最值,首先看自變量的取值范圍,當(dāng)自變量取全體實數(shù)時,其最值為拋物線頂點坐標(biāo)的縱坐標(biāo);當(dāng)自變量取某個范圍時,要分別求出頂點和函數(shù)端點處的函數(shù)值,比較這些函數(shù)值,從而獲得最值.
10.(3分)已知拋物線y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,則下列結(jié)論:①abc>0;②a+b+c=2;③a<;④b>1.其中正確的結(jié)論是( ?。?
A.①② B.②③ C.③④ D.②④
【考點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.
【專題】壓軸題.
【分析】由拋物線的開口方向判斷a與0的關(guān)系,由拋物線與y軸的交點判斷c與0的關(guān)系,然后根據(jù)對稱軸及拋物線與x軸交點情況進(jìn)行推理,進(jìn)而對所得結(jié)論進(jìn)行判斷.
【解答】解:①∵拋物線的開口向上,∴a>0,
∵與y軸的交點為在y軸的負(fù)半軸上,∴c<0,
∵對稱軸為x=<0,∴a、b同號,即b>0,
∴abc<0,
故本選項錯誤;
②當(dāng)x=1時,函數(shù)值為2,
∴a+b+c=2;
故本選項正確;
③∵對稱軸x=>﹣1,
解得:<a,
∵b>1,
∴a>,
故本選項錯誤;
④當(dāng)x=﹣1時,函數(shù)值<0,
即a﹣b+c<0,(1)
又a+b+c=2,
將a+c=2﹣b代入(1),
2﹣2b<0,
∴b>1
故本選項正確;
綜上所述,其中正確的結(jié)論是②④;
故選D.
【點評】二次函數(shù)y=ax2+bx+c系數(shù)符號的確定:
(1)a由拋物線開口方向確定:開口方向向上,則a>0;否則a<0.
(2)b由對稱軸和a的符號確定:由對稱軸公式x=判斷符號.
(3)c由拋物線與y軸的交點確定:交點在y軸正半軸,則c>0;否則c<0.
(4)b2﹣4ac的符號由拋物線與x軸交點的個數(shù)確定:2個交點,b2﹣4ac>0;1個交點,b2﹣4ac=0;沒有交點,b2﹣4ac<0.
(5)當(dāng)x=1時,可確定a+b+c的符號,當(dāng)x=﹣1時,可確定a﹣b+c的符號.
(6)由對稱軸公式x=,可確定2a+b的符號.
二、填空題(共6小題,每小題3分,共18分)
11.(3分)已知函數(shù)是關(guān)于x的二次函數(shù),則m的值為 ﹣1?。?
【考點】二次函數(shù)的定義.
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義列出不等式求解即可.
【解答】解:根據(jù)題意得:,
解得:m=﹣1.
故答案是:﹣1.
【點評】本題考查二次函數(shù)的定義,注意到m﹣1≠0是關(guān)鍵.
12.(3分)如圖是二次函數(shù)y1=ax2+bx+c(a≠0)和一次函數(shù)y2=mx+n(m≠0)的圖象,當(dāng)y2>y1,x的取值范圍是 ﹣2<x<1?。?
【考點】二次函數(shù)的圖象;一次函數(shù)的圖象.
【分析】關(guān)鍵是從圖象上找出兩函數(shù)圖象交點坐標(biāo),再根據(jù)兩函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系,判斷y2>y1時,x的取值范圍.
【解答】解:從圖象上看出,兩個交點坐標(biāo)分別為(﹣2,0),(1,3),
∴當(dāng)有y2>y1時,有﹣2<x<1,
故答案為:﹣2<x<1.
【點評】此題考查了學(xué)生從圖象中讀取信息的數(shù)形結(jié)合能力.解決此類識圖題,同學(xué)們要注意分析其中的“關(guān)鍵點”,還要善于分析各圖象的變化趨勢.
13.(3分)若二次函數(shù)的圖象開口向下,且經(jīng)過(2,﹣3)點.符合條件的一個二次函數(shù)的解析式為 y=﹣x2﹣2x+5 .
【考點】二次函數(shù)的性質(zhì).
【專題】開放型.
【分析】由于二次函數(shù)的圖象開口向下,所以二次項系數(shù)是負(fù)數(shù),而圖象還經(jīng)過(2,﹣3)點,由此即可確定這樣的函數(shù)解析式不唯一.
【解答】解:∵若二次函數(shù)的圖象開口向下,且經(jīng)過(2,﹣3)點,
∴y=﹣x2﹣2x+5符合要求.
答案不唯一.
例如:y=﹣x2﹣2x+5.
【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì),解題的關(guān)鍵根據(jù)圖象的性質(zhì)確定解析式的各項系數(shù).
14.(3分)已知點P(m,n)在拋物線y=ax2﹣x﹣a上,當(dāng)m≥﹣1時,總有n≤1成立,則a的取值范圍是 ﹣≤a<0?。?
【考點】二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征.
【分析】依照題意畫出圖形,結(jié)合函數(shù)圖形以及已知條件可得出關(guān)于a的一元一次不等式組,解不等式組即可得出a的取值范圍.
【解答】解:根據(jù)已知條件,畫出函數(shù)圖象,如圖所示.
由已知得:,
解得:﹣≤a<0.
故答案為:﹣≤a<0
【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征以及二次函數(shù)的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是畫出函數(shù)圖象,依照數(shù)形結(jié)合得出關(guān)于a的不等式組.本題屬于基礎(chǔ)題,難度不大,解決該題型題目時,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)畫出函數(shù)圖象,利用數(shù)形結(jié)合解決問題是關(guān)鍵.
15.(3分)二次函數(shù)y=ax2(a>0)的圖象經(jīng)過點(1,y1)、(2,y2),則y1?。肌2(填“>”或“<”).
【考點】二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征;二次函數(shù)的性質(zhì).
【分析】根據(jù)a>0,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出“當(dāng)x>0時,二次函數(shù)y值隨著x值的增大而增大”,再由0<1<2即可得出結(jié)論.
【解答】解:∵a>0,且二次函數(shù)的對稱軸為x=0,
∴當(dāng)x>0時,二次函數(shù)y值隨著x值的增大而增大,
∵0<1<2,
∴y1<y2.
故答案為:<.
【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征以及二次函數(shù)的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是找出當(dāng)x>0時,函數(shù)為增函數(shù).本題屬于基礎(chǔ)題,難度不大,解決該題型題目時,根據(jù)二次函數(shù)的系數(shù)結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)找出其單調(diào)區(qū)間是關(guān)鍵.
16.(3分)二次函數(shù)y=x2+2x+2的最小值為 1?。?
【考點】二次函數(shù)的最值.
【分析】把二次函數(shù)解析式整理成頂點式形式,然后寫出最小值即可.
【解答】解:配方得:y=x2+2x+2=y=x2+2x+12+1=(x+1)2+1,
當(dāng)x=﹣1時,二次函數(shù)y=x2+2x+2取得最小值為1.
故答案是:1.
【點評】本題考查了二次函數(shù)的最值.求二次函數(shù)的最大(?。┲涤腥N方法,第一種可由圖象直接得出,第二種是配方法,第三種是公式法.
三、解答題(共8題,共72分)
17.(8分)已知拋物線經(jīng)過點(2,3),且頂點坐標(biāo)為(1,1),求這條拋物線的解析式.
【考點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式.
【分析】由于已知拋物線的頂點坐標(biāo),則可設(shè)頂點式y(tǒng)=a(x+1)2+2,然后把(0,4)代入求出a的值即可.
【解答】解:∵頂點坐標(biāo)為(1,1),
設(shè)拋物線為y=a(x﹣1)2+1,
∵拋物線經(jīng)過點(2,3),
∴3=a(2﹣1)2+1,
解得:a=2.
∴y=2(x﹣1)2+1=2x2﹣4x+3.
【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式:在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時,要根據(jù)題目給定的條件,選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式,從而代入數(shù)值求解.一般地,當(dāng)已知拋物線上三點時,常選擇一般式,用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解;當(dāng)已知拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸時,常設(shè)其解析式為頂點式來求解;當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個交點時,可選擇設(shè)其解析式為交點式來求解.
18.(8分)已知函數(shù)y=u+v,其中u與x的平方成正比,v是x的一次函數(shù),
(1)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù),確定v的函數(shù)式;
(2)如果x=﹣1時,函數(shù)y取最小值,求y關(guān)于x的函數(shù)式;
(3)在(2)的條件下,寫出y的最小值.
【考點】二次函數(shù)的最值;待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式.
【專題】計算題.
【分析】(1)v是x的一次函數(shù),可設(shè)v=kx+b,然后把表中兩組數(shù)據(jù)代入得到關(guān)于k、b的方程組,解方程組求出k、b即可;
(2)由于u與x的平方成正比,則設(shè)u=ax2,所以y=ax2+2x﹣1,根據(jù)二次函數(shù)的最值問題得到﹣=﹣1,解得a=1,由此得到y(tǒng)關(guān)于x的函數(shù)式;
(3)把x=﹣1代入y關(guān)于x的函數(shù)式中計算出對應(yīng)的函數(shù)值即可.
【解答】解:(1)設(shè)v=kx+b,把(0,﹣1)、(1,1)代入得,解得,
∴v=2x﹣1;
(2)設(shè)u=ax2,則y=ax2+2x﹣1,
∵當(dāng)x=﹣1時,y=ax2+2x﹣1取最小值,
∴拋物線的對稱軸為直線x=﹣1,即,
∴a=1,
∴y=x2+2x﹣1,
(3)把x=﹣1代入y=x2+2x﹣1得y=1﹣2﹣1=﹣2,
即y的最小值為﹣2.
【點評】本題考查了二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的最值:當(dāng)a>0時,拋物線在對稱軸左側(cè),y隨x的增大而減少;在對稱軸右側(cè),y隨x的增大而增大,因為圖象有最低點,所以函數(shù)有最小值,當(dāng)x=時,y=;當(dāng)a<0時,拋物線在對稱軸左側(cè),y隨x的增大而增大;在對稱軸右側(cè),y隨x的增大而減少,因為圖象有最高點,所以函數(shù)有最大值,當(dāng)x=時,y=.
19.(8分)如圖,已知拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A(﹣1,0)、B(3,0)兩點.
(1)求拋物線的解析式和頂點坐標(biāo);
(2)當(dāng)0<x<3時,求y的取值范圍;
(3)點P為拋物線上一點,若S△PAB=10,求出此時點P的坐標(biāo).
【考點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式;二次函數(shù)的性質(zhì).
【分析】(1)由點A、B的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式,再利用配方法即可求出拋物線頂點坐標(biāo);
(2)結(jié)合函數(shù)圖象以及A、B點的坐標(biāo)即可得出結(jié)論;
(3)設(shè)P(x,y),根據(jù)三角形的面積公式以及S△PAB=10,即可算出y的值,代入拋物線解析式即可得出點P的坐標(biāo).
【解答】解:(1)把A(﹣1,0)、B(3,0)分別代入y=x2+bx+c中,
得:,解得:,
∴拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3.
∵y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,
∴頂點坐標(biāo)為(1,﹣4).
(2)由圖可得當(dāng)0<x<3時,﹣4≤y<0.
(3)∵A(﹣1,0)、B(3,0),
∴AB=4.
設(shè)P(x,y),則S△PAB=AB?|y|=2|y|=10,
∴|y|=5,
∴y=5.
①當(dāng)y=5時,x2﹣2x﹣3=5,解得:x1=﹣2,x2=4,
此時P點坐標(biāo)為(﹣2,5)或(4,5);
②當(dāng)y=﹣5時,x2﹣2x﹣3=﹣5,方程無解;
綜上所述,P點坐標(biāo)為(﹣2,5)或(4,5).
【點評】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、三角形的面積公式以及二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征,解題的關(guān)鍵是:(1)利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式;(2)根據(jù)函數(shù)圖象解不等式;(3)找出關(guān)于y的方程.本題屬于基礎(chǔ)題,難度不大,解決該題型題目時,根據(jù)點的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是關(guān)鍵.
20.(8分)如圖,拋物線y=ax2+2ax+1與x軸僅有一個公共點A,經(jīng)過點A的直線交該拋物線于點B,交y軸于點C,且點C是線段AB的中點.
(1)求這條拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式;
(2)求直線AB對應(yīng)的函數(shù)解析式.
【考點】拋物線與x軸的交點;待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式;待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式.
【專題】計算題.
【分析】(1)利用△=b2﹣4ac=0時,拋物線與x軸有1個交點得到4a2﹣4a=0,然后解關(guān)于a的方程求出a,即可得到拋物線解析式;
(2)利用點C是線段AB的中點可判斷點A與點B的橫坐標(biāo)互為相反數(shù),則可以利用拋物線解析式確定B點坐標(biāo),然后利用待定系數(shù)法求直線AB的解析式.
【解答】解:(1)∵拋物線y=ax2+2ax+1與x軸僅有一個公共點A,
∴△=4a2﹣4a=0,解得a1=0(舍去),a2=1,
∴拋物線解析式為y=x2+2x+1;
(2)∵y=(x+1)2,
∴頂點A的坐標(biāo)為(﹣1,0),
∵點C是線段AB的中點,
即點A與點B關(guān)于C點對稱,
∴B點的橫坐標(biāo)為1,
當(dāng)x=1時,y=x2+2x+1=1+2+1=4,則B(1,4),
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b,
把A(﹣1,0),B(1,4)代入得,解得,
∴直線AB的解析式為y=2x+2.
【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點:對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a≠0),△=b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù):△=b2﹣4ac>0時,拋物線與x軸有2個交點;△=b2﹣4ac=0時,拋物線與x軸有1個交點;△=b2﹣4ac<0時,拋物線與x軸沒有交點.也考查了利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式.
21.(8分)如圖,用一段長為30米的籬笆圍成一個一邊靠墻(墻的長度不限)的矩形菜園ABCD,設(shè)AB邊長為x米,則菜園的面積y(單位:米2)與x(單位:米)的函數(shù)關(guān)系式為多少?
【考點】根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式.
【分析】由AB邊長為x米根據(jù)已知可以推出BC=(30﹣x),然后根據(jù)矩形的面積公式即可求出函數(shù)關(guān)系式.
【解答】解:∵AB邊長為x米,
而菜園ABCD是矩形菜園,
∴BC=(30﹣x),
菜園的面積=ABBC=(30﹣x)?x,
則菜園的面積y(單位:米2)與x(單位:米)的函數(shù)關(guān)系式為:y=﹣x2+15x.
【點評】此題主要考查了根據(jù)實際問題列二次函數(shù)解析式,利用矩形的周長公式用x表示BC,然后利用矩形的面積公式即可解決問題,本題的難點在于得到BC長.
22.(10分)某商店原來平均每天可銷售某種水果200千克,每千克可盈利6元,為減少庫存,經(jīng)市場調(diào)查,如果這種水果每千克降價1元,則每天可所多售出20千克.
(1)設(shè)每千克水果降價x元,平均每天盈利y元,試寫出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式;
(2)若要平均每天盈利960元,則每千克應(yīng)降價多少元?
【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用.
【分析】(1)根據(jù)“每天利潤=每天銷售質(zhì)量每千克的利潤”即可得出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)將y=960代入(1)中函數(shù)關(guān)系式中,得出關(guān)于x的一元二次方程,解方程即可得出結(jié)論.
【解答】解:(1)根據(jù)題意得:
y=(200+20x)(6﹣x)=﹣20x2﹣80x+1200.
(2)令y=﹣20x2﹣80x+1200中y=960,則有960=﹣20x2﹣80x+1200,
即x2+4x﹣12=0,
解得:x=﹣6(舍去),或x=2.
答:若要平均每天盈利960元,則每千克應(yīng)降價2元.
【點評】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是:(1)根據(jù)數(shù)量關(guān)系找出函數(shù)關(guān)系式;(2)將y=960代入函數(shù)關(guān)系式得出關(guān)于x的一元二次方程.本題屬于基礎(chǔ)題,難度不大,解決該題型題目時結(jié)合數(shù)量關(guān)系找出函數(shù)關(guān)系式是關(guān)鍵.
23.(10分)如圖,頂點為M的拋物線y=a(x+1)2﹣4分別與x軸相交于點A,B(點A在點B的右側(cè)),與y軸相交于點C(0,﹣3).
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)判斷△BCM是否為直角三角形,并說明理由.
【考點】拋物線與x軸的交點;待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式.
【分析】(1)將點C坐標(biāo)代入解析式求得a即可;
(2)先根據(jù)拋物線解析式求得點M、B、C的坐標(biāo),繼而可得線段BC、CM、BM的長,根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷.
【解答】解:(1)∵拋物線y=a(x+1)2﹣4與y軸相交于點C(0,﹣3).
∴﹣3=a﹣4,
∴a=1,
∴拋物線解析式為y=(x+1)2﹣4=x2+2x﹣3,
(2)△BCM是直角三角形
∵由(1)知拋物線解析式為y=(x+1)2﹣4,
∴M(﹣1,﹣4),
令y=0,得:x2+2x﹣3=0,
∴x1=﹣3,x2=1,
∴A(1,0),B(﹣3,0),
∴BC2=9+9=18,CM2=1+1=2,BM2=4+16=20,
∴BC2+CM2=BM2,
∴△BCM是直角三角形.
【點評】本題主要考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式及勾股定理逆定理,根據(jù)題意求得拋物線解析式是解題的根本,掌握勾股定理逆定理是解題的關(guān)鍵.
24.(12分)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=ax2+1經(jīng)過點A(4,﹣3),頂點為點B,點P為拋物線上的一個動點,l是過點(0,2)且垂直于y軸的直線,過P作PH⊥l,垂足為H,連接PO.
(1)求拋物線的解析式,并寫出其頂點B的坐標(biāo);
(2)①當(dāng)P點運動到A點處時,計算:PO= 5 ,PH= 5 ,由此發(fā)現(xiàn),PO = PH(填“>”、“<”或“=”);
②當(dāng)P點在拋物線上運動時,猜想PO與PH有什么數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想;
(3)如圖2,設(shè)點C(1,﹣2),問是否存在點P,使得以P,O,H為頂點的三角形與△ABC相似?若存在,求出P點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【考點】二次函數(shù)綜合題.
【分析】(1)利用待定系數(shù)法即可解決問題.
(2)①求出PO、PH即可解決問題.
②結(jié)論:PO=PH.設(shè)點P坐標(biāo)(m,﹣m2+1),利用兩點之間距離公式求出PH、PO即可解決問題.
(3)首先判斷PH與BC,PO與AC是對應(yīng)邊,設(shè)點P(m,﹣m2+1),由=列出方程即可解決問題.
【解答】(1)解:∵拋物線y=ax2+1經(jīng)過點A(4,﹣3),
∴﹣3=16a+1,
∴a=﹣,
∴拋物線解析式為y=﹣x2+1,頂點B(0,1).
(2)①當(dāng)P點運動到A點處時,∵PO=5,PH=5,
∴PO=PH,
故答案分別為5,5,=.
②結(jié)論:PO=PH.
理由:設(shè)點P坐標(biāo)(m,﹣m2+1),
∵PH=2﹣(﹣m2+1)=m2+1
PO==m2+1,
∴PO=PH.
(3)∵BC==,AC==,AB==4
∴BC=AC,
∵PO=PH,
又∵以P,O,H為頂點的三角形與△ABC相似,
∴PH與BC,PO與AC是對應(yīng)邊,
∴=,設(shè)點P(m,﹣m2+1),
∴=,
解得m=1,
∴點P坐標(biāo)(1,)或(﹣1,).
【點評】本題考查二次函數(shù)綜合題、待定系數(shù)法、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識,解題的關(guān)鍵是記住兩點之間的距離公式,學(xué)會轉(zhuǎn)化的思想,用方程去解決問題,屬于中考壓軸題.
111