新版數(shù)學(xué)北師大版精品資料【成才之路】高中數(shù)學(xué) 1.2.1充分條件與必要條件練習(xí) 北師大版選修1-1一、選擇題1．(2015四川文，4)設(shè)a，b為正實數(shù)，則“a＞b＞1”是“l(fā)og2a＞log2b＞0”的( )A．充要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件[答案] A[解析] a＞b＞1時，有l(wèi)og2a＞log2b＞0成立，反之也正確．選A.2．“a＝1”是“直線x＋y＝0和直線x－ay＝0互相垂直”的( )A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件[答案] C[解析] 本題考查兩條直線垂直的充要條件．當(dāng)a＝1時，直線x－ay＝0化為直線x－y＝0，∴直線x＋y＝0與直線x－y＝0垂直；當(dāng)直線x＋y＝0和直線x－ay＝0互相垂直時，有1－a＝0，∴a＝1，故選C.3．設(shè)x∈R，則“x>”是“2x2＋x－1>0”的( )A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件[答案] A[解析] 本題考查充要條件，解一元二次不等式．由2x2＋x－1>0得(x＋1)(2x－1)>0，即x<－1或x>，所以x>?2x2＋x－1>0，而2x2＋x－1>0x>，選A.4．(2014鄭州市質(zhì)檢)設(shè)向量a＝(x,1)，b＝(4，x)，則“a∥b”是“x＝2”的( )A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件[答案] B[解析] a∥b?x2－4＝0?x＝2，故a∥b是x＝2的必要不充分條件．5．(2014甘肅省三診)設(shè)a，b∈R，則(a－b)a2<0是a0”的充分條件？如果存在，求出p的取值范圍．[答案] p≥4[解析] x2－x－2>0的解是x>2或x<－1，由4x＋p<0得x<－.要想使x<－時，x>2或x<－1成立，必須有－≤－1，即p≥4，所以當(dāng)p≥4時，x<－?x<－1?x2－x－2>0.所以p≥4時，“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的充分條件．10．求關(guān)于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一個負(fù)的實根的充要條件．[答案] a≤1[解析]?、賏＝0時適合．②當(dāng)a≠0時，顯然方程沒有零根，若方程有兩異號的實根，則a<0；若方程有兩個負(fù)的實根，則必須滿足解得05是x>4的充分不必要條件；③xy＝0是x＝0且y＝0的充要條件；④x2<4是x<2的充分不必要條件．[答案] ②④[解析] “若x2≠1，則x≠1”的逆否命題為“若x＝1，則x2＝1”，易知x＝1是x2＝1的充分不必要條件，故①不正確．③中，由xy＝0不能推出x＝0且y＝0，則③不正確．②④正確．三、解答題7．求證：關(guān)于x的方程x2＋mx＋1＝0有兩個負(fù)實根的充要條件是m≥2.[證明] (1)充分性：∵m≥2，∴Δ＝m2－4≥0，方程x2＋mx＋1＝0有實根，設(shè)x2＋mx＋1＝0的兩根為x1、x2，由韋達(dá)定理知：x1x2＝1>0，∴x1、x2同號，又∵x1＋x2＝－m≤－2，∴x1、x2同為負(fù)根．(2)必要性：∵x2＋mx＋1＝0的兩個實根x1，x2均為負(fù)，且x1x2＝1，需Δ＝m2－4≥0且x1＋x2＝－m<0，即m≥2.綜上可知，命題成立．8．求證：關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一個根為1的充要條件是a＋b＋c＝0.[證明] 必要性：∵關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一個根為1，∴x＝1滿足方程ax2＋bx＋c＝0.∴a12＋b1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.充分性：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中可得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0.因此，方程有一個根為x＝1. 故關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一個根為1的充要條件是a＋b＋c＝0.。
