2020高中數(shù)學(xué)北師大版選修22教案：第1章 教材解讀：綜合法與分析法

北師大版2019-2020學(xué)年數(shù)學(xué)精品資料 《綜合法與分析法》教材解讀 一、重點(diǎn)知識(shí)梳理 1、綜合法是把整個(gè)不等式看成一個(gè)整體，從某一個(gè)或幾個(gè)不等式出發(fā)經(jīng)過(guò)變形、運(yùn)算推導(dǎo)出欲證的不等式。綜合法是證明不等式時(shí)一種較為簡(jiǎn)捷的方法，其簡(jiǎn)捷之處就再于直接運(yùn)用了不等式的有關(guān)定理、性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題。當(dāng)然，要想運(yùn)用定理、不等式，必須具備相應(yīng)的條件，另外，在證題的過(guò)程中，要能夠通過(guò)對(duì)條件與結(jié)論及不等式兩端的差距與聯(lián)系的比較、分析，制定出合理的解題策略，并加以實(shí)施。常用的關(guān)系有：①若ab＞0，則＋≥2(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“＝”號(hào))；②若t＞0，則t＋≥2(當(dāng)且僅當(dāng)t＝1時(shí)取“＝”號(hào))；若t＜0，則t＋≤－2(當(dāng)且僅當(dāng)t＝－1時(shí)取“＝”號(hào))；③若a，b∈R，則ab≤()2≤ 2、分析法實(shí)質(zhì)上是從欲證的不等式出發(fā)，去尋找使之成立的充分條件。在證明的過(guò)程中，要保證變形的每一步都是可逆的，即分析得到的每一步都是上一步成立的充分條件。分析法是證明不等式的一種常用的方法，通常情況下，當(dāng)一個(gè)不等式無(wú)法利用比較法和綜合法加以證明時(shí)，可以采用這一方法。這一方法對(duì)于一些條件較為簡(jiǎn)單而結(jié)論復(fù)雜的問(wèn)題往往特別有效。 分析法與綜合法是兩種思路截然相反的證明方法。綜合法與分析法是對(duì)應(yīng)統(tǒng)一的，證題時(shí)常將兩種方法交替使用。在證明不等式時(shí)，對(duì)于復(fù)雜的不等式，直接運(yùn)用綜合法證明往往難以確定解決問(wèn)題的策略，通常要分析、探索證題途徑，然后再運(yùn)用綜合法加以證明，即用分析法探路，用綜合法敘述。 綜合法和分析法的推證過(guò)程如下： 結(jié)論 綜合法——已知條件 結(jié)論 分析法—— 已知條件 二、疑、難點(diǎn)解析 這部分的難點(diǎn)是分析法證明過(guò)程的書(shū)寫(xiě)以及兩種方法在證題中選擇和使用。 例1、設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且a＋b＋c≤3，求證：＋＋≥. 證明：注意到上述不等式當(dāng)a＝b＝c＝1時(shí)取等號(hào)，由二元均值不等式可得： ＋≥2＝1，同理＋≥1，＋≥1， 三式累加，得＋＋＋≥3， ∴＋＋≥3－， ∵a＋b＋c≤3，－(a＋b＋c)≥－3， ∴＋＋≥. 點(diǎn)評(píng)：由于本題所證不等式為輪換對(duì)稱式(交換任意兩個(gè)字母不等式不發(fā)生改變)，具有這種規(guī)律的不等式常常采用綜合法證明.本題證明中涉及到了三個(gè)不等式相加，這種方法稱為累加法，是證明不等式的一種基本而又重要的方法，在使用這一方法時(shí)，如能根據(jù)所證不等式取等號(hào)的條件，靈活應(yīng)用平均值不等式，往往能直接推得所需結(jié)論. 注意：（1）綜合法是“由因?qū)Ч?，即從“已知”看“可知”，逐步推向“未知”? （2）①幾個(gè)同向不等式相加或相乘；②條件不等式的證明，要適當(dāng)運(yùn)用條件；③積累和熟練運(yùn)用常用不等式，并特別注意不等式成立的條件信取得等號(hào)的條件。 例2、已知a>b>0，求證： 。 證明：要證原不等式，只要證 ， 即證 ， 只要證 ， 只要證 ， 即要證 ，即。 因?yàn)閍>b>0，所以成立，故原不等式成立。 點(diǎn)評(píng)：以上證明過(guò)程是典型的分析法。分析法解題方向較為明確，利于尋找解題思路；而綜合法條理清晰、宜于表述。因此，在實(shí)際解題時(shí)，通常以分析法為主尋求解題思路，再用綜合法有條理地表述解題過(guò)程。本題用綜合法證明略。 注意: (1)分析法是“執(zhí)果索因”，即從“未知”看“需知”再逐步靠近“已知”，其證題的方向是“逆求”(而不是逆推),步步尋求上一步成立的充分條件而非充要條件。 (2)分析法論證“若A則B”這個(gè)命題的書(shū)寫(xiě)格式如下：“要證……成立，只需證……成立，即證……成立，也就是證……成立，而……顯然成立，故原不等式……成立”。同時(shí)要注意在用分析法證題時(shí)一定要使用必要的關(guān)聯(lián)詞。 （3）對(duì)于無(wú)理式、對(duì)數(shù)式、分式不等式的證明常用分析法證明。在證明過(guò)程中，常用到兩過(guò)平方、配方，對(duì)數(shù)運(yùn)算，兩邊同乘以或除以某一式子的技巧，但在這種變形過(guò)程中必須注意恒等變形。