2020高中數(shù)學(xué)北師大版選修22教案：第1章 教材解讀：反證法

北師大版2019-2020學(xué)年數(shù)學(xué)精品資料 《反證法》教材解讀 一、重點(diǎn)知識(shí)梳理 反證法（間接證明）是不同于綜合法與分析法（直接證明）的又一種證明方法，它不是從原命題的條件逐步推得命題成立。反證法就是一種常用的間接證明方法。反證法的證明過程可以概括為“否定—推理—否定”，即從否定結(jié)論開始，經(jīng)過正確的推理，導(dǎo)致邏輯矛盾，從而達(dá)到新的否定（即肯定原命題）的過程。用反證法證明“若p則q”的過程可以用以下框圖表示： 肯定條件p 否定結(jié)論q 導(dǎo) 致 邏輯矛盾 “若p則q” 為 真 “p且┐q” 為 假 這個(gè)過程包括下面三個(gè)步驟： （1）反設(shè)——假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假定原結(jié)論的反面為真； （2）歸謬——從反設(shè)和已知條件出發(fā)，經(jīng)過一系列正確的邏輯推理，得出矛盾結(jié)果； （3）存真——由矛盾結(jié)果，斷定反設(shè)不真，從而肯定原結(jié)論成立。 說明：1、反證法的原理：否定之否定等于肯定 2、反證法的實(shí)質(zhì)：原命題和它的逆否命題是等價(jià)命題 二、疑、難點(diǎn)解析 利用反證法證明不等式，如何依據(jù)題設(shè)條件和不等式的結(jié)論制造矛盾是本節(jié)內(nèi)容的一個(gè)難點(diǎn)。 例1、若、，且，求證：與至少有一個(gè)小于 證明：假設(shè)與均不小于，即，且 ∵ 、，∴且 ∴ ，∴ 這與已知相矛盾 ∴假設(shè)不成立，故原命題正確 點(diǎn)評(píng)：證明的結(jié)論中若有“至多”“至少”等字詞時(shí)，?？梢钥紤]用反證法解決。 注意：（1）利用反證法證明時(shí)，第一步“假設(shè)”不要寫成“設(shè)”。 （2）應(yīng)用反證法證題要充分理解兩個(gè)否定：第一個(gè)否定是指“否定結(jié)論”；第二個(gè)否定是指“邏輯推理結(jié)果否定了假設(shè)”。 例2、已知函數(shù) 試用反證法證明方程f(x)=0沒有負(fù)數(shù)根。 證法1 假設(shè)存在滿足，則 ∵ ∴，即與假設(shè)矛盾， 故方程f(x)=0沒有負(fù)數(shù)根。 證法2 假設(shè)存在滿足， ①若，則， ∴，這與矛盾； ②若，則， ∴，這與矛盾。 故方程f(x)=0沒有負(fù)數(shù)根。 點(diǎn)評(píng)： 命題中含有否定詞時(shí)，常用反證法。 注意：（1）由以上證明過程可以看出，用反證法證明問題時(shí)，推出矛盾的途徑多種多樣。一定要明確矛盾的所在，不可稀里糊涂。 總之無(wú)論是在日常生活中還是在數(shù)學(xué)中，都經(jīng)常應(yīng)用反證法.而且對(duì)于處理正面復(fù)雜性問題、至多至少性問題、否定性問題、唯一性問題、存在性問題以及無(wú)理性問題等，反證法都具有特殊的優(yōu)越性。 反證法的證題過程其實(shí)是證明原命題“若p則q”的否定“若p則¬ q”是錯(cuò)誤的 我們?cè)趯W(xué)習(xí)反證法時(shí)會(huì)出現(xiàn)兩方面的困難： １ “否定結(jié)論”部分，把握不清結(jié)論的“反”是什么。 使用反證法證明問題時(shí)，準(zhǔn)確地做出反設(shè)（即否定結(jié)論）是正確運(yùn)用反證法的前提，常用的“結(jié)論詞”與“反設(shè)詞”列表如下： 詞 語(yǔ) 等于 大于 小于 都是 一定是 至少有一個(gè) 至 少 n 個(gè) 至多一個(gè) 至 多 n 個(gè) 只有一個(gè) P或q P且q 對(duì)所 有x 成立 詞 語(yǔ)的否定 不等于 小于等于 大于等于 不都是 一定不是 一個(gè)也沒有 至 多n-1個(gè) 至少兩個(gè) 至 少n+1個(gè) 沒有或至少有兩個(gè) ¬P且¬ q ¬P或¬q 存在 某個(gè)x不 成立 2、“導(dǎo)出矛盾”部分，有時(shí)與已知條件相矛盾；有時(shí)與假設(shè)相矛盾；而有時(shí)又是與某個(gè)定義、公理、定理或事實(shí)相矛盾，還有的是自相矛盾．因此我們有時(shí)弄不明白究竟是與什么矛盾．