新編高中數(shù)學(xué) 3.4導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則練習(xí) 北師大版選修11

新編數(shù)學(xué)北師大版精品資料 【成才之路】高中數(shù)學(xué) 3.4導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則練習(xí) 北師大版選修1-1 一、選擇題 1．y＝ax2＋1的圖像與直線y＝x相切，則a＝(　　) A. 　　　 B. 　　　 C. 　　　 D．1 [答案]　B [解析]　y′＝2ax，設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，則2ax0＝1， ∴x0＝，∴y0＝，代入y＝ax2＋1得，＝＋1， ∴a＝，故選B. 2．(2014·山師附中高二期中)設(shè)f(x)＝sinx－cosx，則f(x)在x＝處的導(dǎo)數(shù)f ′()＝(　　) A. B．－ C．0 D. [答案]　A [解析]　∵f ′(x)＝cosx＋sinx， ∴f ′()＝cos＋sin＝，故選A. 3．函數(shù)y＝的導(dǎo)數(shù)是(　　) A．－ B．－sinx C．－ D．－ [答案]　C [解析]　y′＝′＝ ＝. 4．(2014·遼寧六校聯(lián)考)設(shè)a∈R，函數(shù)f(x)＝ex＋a·e－x的導(dǎo)函數(shù)y＝f ′(x)是奇函數(shù)，若曲線y＝f(x)的一條切線斜率為，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為(　　) A. B．－ C．ln2 D．－ln2 [答案]　C [解析]　f ′(x)＝ex－ae－x，由f ′(x)為奇函數(shù)，得f ′(x)＝－f ′(－x)，即(a－1)(ex＋e－x)＝0恒成立，∴a＝1，∴f(x)＝ex＋e－x，設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義有ex0－e－x0＝，解得x0＝ln2，故選C. 5．(2014·山西六校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且滿足f(x)＝2xf′(e)＋lnx，則f′(e)(　　) A．e－1 B．－1 C．－e－1 D．－e [答案]　C [解析]　∵f(x)＝2xf′(e)＋lnx，∴f′(x)＝2f′(e)＋， ∴f′(e)＝2f′(e)＋，解得f′(e)＝－，故選C. 6．(2014·瀘州市一診)若曲線f(x)＝x－在點(diǎn)(a，f(a))處的切線與兩條坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為18，則a＝(　　) A．64 B．32 C．16 D．8 [答案]　A [解析]　∵f ′(x)＝－x－，∴f ′(a)＝－a－， ∴切線方程為y－a－＝－a－(x－a)．令x＝0得y＝a－，令y＝0得x＝3a，由條件知·a－·3a＝18， ∴a＝64. 二、填空題 7．已知函數(shù)y＝f(x)的圖像在點(diǎn)M(1，f(1))處的切線方程是y＝x＋2，則f(1)＋f′(1)＝________. [答案]　3 [解析]　∵已知切點(diǎn)在切線上，∴f(1)＝＋2＝，又函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為切線斜率，∴f′(1)＝， ∴f(1)＋f′(1)＝3. 8．(2014·福建省閩侯二中、永泰二中、連江僑中、長(zhǎng)樂(lè)二中聯(lián)考)曲線y＝x3－x＋3在點(diǎn)(1,3)處的切線方程為_(kāi)_______． [答案]　2x－y＋1＝0 [解析]　∵點(diǎn)(1,3)在曲線y＝x3－x＋3上，y′＝3x2－1，∴曲線y＝x3－x＋3在點(diǎn)(1,3)處的切線的斜率為y′|x＝1＝(3x2－1)|x＝1＝2，∴切線方程為y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0. 三、解答題 9．函數(shù)f(x)＝x3－x2－x＋1的圖像上有兩點(diǎn)A(0,1)和B(1,0)，在區(qū)間(0,1)內(nèi)求實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f(x)的圖像在x＝a處的切線平行于直線AB. [答案]　 [解析]　直線AB的斜率kAB＝－1，f ′(x)＝3x2－2x－1， 令f ′(a)＝－1　(0<a<1)， 即3a2－2a－1＝－1， 解得a＝. 10．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)． (1)y＝(1－)(1＋)． (2)y＝cott(t為常數(shù))． (3)y＝. [答案]　(1)y′＝－x－－x－　(2)y′＝cost·x　(3)y′＝x－x－ [解析]　(1)y＝(1－)(1＋)＝1－＋－1＝x－－x， y′＝(x－－x)′＝(x－)′－(x)′＝－x－－x－. (2)y＝cott＝x－·cott＝x·cost， y′＝(x·cott)′＝cott·x＝cost·x. (3)y＝＝x2－＋x－＝x＋x－， y′＝(x＋x－)′＝x－x－. 一、選擇題 1．已知f(x)＝x－5＋3sinx，則f′(x)等于(　　) A．－5x－6－3cosx B．x－6＋3cosx C．－5x－6＋3cosx D．x－6－3cosx [答案]　C [解析]　y′＝－5x－6＋3cosx. 2．函數(shù)f(x)＝的導(dǎo)數(shù)是(　　) A.(x>0) B. C. D. [答案]　C 3．若函數(shù)f(x)＝exsinx，則此函數(shù)圖像在點(diǎn)(4，f(4))處的切線的傾斜角為(　　) A. B．0 C．鈍角 D．銳角 [答案]　C [解析]　y′|x＝4＝(exsinx＋excosx)|x＝4＝e4(sin4＋cos4)＝e4sin(4＋)<0，故傾斜角為鈍角，選C. 4．曲線y＝x3＋x在點(diǎn)(1，)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為(　　) A. B． C． D． [答案]　A [解析]　對(duì)函數(shù)y＝x3＋x求導(dǎo)得y′＝x2＋1，將x＝1代入得曲線y＝x3＋x在點(diǎn)(1，)處的切線斜率為k＝2，故切線方程是y－＝2(x－1)，該切線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)是(，0)，(0，－)，故圍成的三角形面積為，故選A. 二、填空題 5．在火車開(kāi)出車站一段時(shí)間內(nèi)，速度v(m/s)與行駛時(shí)間t(s)之間的關(guān)系是v(t)＝0.4t＋0.6t2，則在t＝________s時(shí)，加速度為2.8m/s2. [答案]　2 [解析]　v′(t)＝0.4＋1.2t，即加速度a(t)＝0.4＋1.2t.令a(t)＝2.8，則0.4＋1.2t＝2.8，解得t＝2，即在t＝2s時(shí)加速度為2.8m/s2. 6．(2014·昆明一中檢測(cè))若曲線f(x)＝acosx與曲線g(x)＝x2＋bx＋1在交點(diǎn)(0，m)處有公切線，則a＋b＝________. [答案]　1 [解析]　f′(x)＝－asinx，g′(x)＝2x＋b，∵曲線f(x)＝acosx與曲線g(x)＝x2＋bx＋1在交點(diǎn)(0，m)處有公切線，∴f(0)＝a＝g(0)＝1，且f′(0)＝0＝g′(0)＝b，∴a＋b＝1. 三、解答題 7．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)． (1)y＝＋； (2)y＝－sin(1－2sin2)． [答案]　(1)y′＝　(2)y′＝－cosx [解析]　(1)y＝＋＝ ＝－2， 所以y′＝(－2)′＝. (2)y＝－sin·cos＝－sinx， ∴y′＝(－sinx)′＝－cosx. 8．已知函數(shù)f(x)＝x3＋x－16. (1)求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，－6)處的切線的方程； (2)直線l為曲線y＝f(x)的切線，且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，求直線l的方程及切點(diǎn)坐標(biāo)； (3)如果曲線y＝f(x)的某一切線與直線y＝－x＋3垂直，求切點(diǎn)坐標(biāo)與切線的方程． [答案]　(1)13x－y－32＝0　(2)l：y＝13x；切點(diǎn)(－2，－26)　(3)切點(diǎn)為(1，－14)時(shí)，切線方程4x－y－18＝0；切點(diǎn)為(－1，－18)時(shí)，切線方程4x－y－14＝0 [解析]　(1)∵f ′(x)＝3x2＋1， ∴f(x)在點(diǎn)(2，－6)處的切線的斜率為k＝f ′(2)＝13. ∴切線的方程為13x－y－32＝0. (2)解法一：設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)， 則直線l的斜率為f ′(x0)＝3x＋1， ∴直線l的方程為y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16， 又∵直線l過(guò)原點(diǎn)(0,0)， ∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16， 整理得，x＝－8，∴x0＝－2，∴y0＝－26，k＝13. ∴直線l的方程為y＝13x，切點(diǎn)坐標(biāo)為(－2，－26)． 解法二：設(shè)直線l的方程為y＝kx，切點(diǎn)為(x0，y0)， 則k＝＝， 又∵k＝f ′(x0)＝3x＋1，∴＝3x＋1， 解之得，x0＝－2，∴y0＝－26，k＝13. ∴直線l的方程為y＝13x，切點(diǎn)坐標(biāo)為(－2，－26)． (3)∵切線與直線y＝－＋3垂直， ∴切線的斜率k＝4. 設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，則f ′(x0)＝3x＋1＝4， ∴x0＝±1，∴，或. ∴切點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－14)或(－1，－18)，切線方程為y＝4x－18或y＝4x－14. 即4x－y－18＝0或4x－y－14＝0.