高考數(shù)學(xué) 文二輪復(fù)習(xí) 專題能力提升練一 Word版含解析

專題能力提升練(一)　函數(shù) 一、選擇題(每小題5分) 1．下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是(　　) A．y＝2 015ex　　　　B．y＝sin2 015x C．y＝－x2 015 D．y＝logx 解析：令f(x)＝－x2 015，由f(－x)＝－(－x)2 015＝x2 015＝－f(x)，得y＝－x2 015為奇函數(shù)，又冪函數(shù)y＝x2 015為增函數(shù)，故y＝－x2 015是減函數(shù)，故選C. 答案：C 2．設(shè)a＝1.10.9，b＝0.91.1，c＝log1.10.9，則a，b，c的大小關(guān)系是(　　) A．a(chǎn)<b<c B．c<b<a C．b<a<c D．a(chǎn)<c<b 解析：a＝1.10.9>1，b＝0.91.1∈(0,1)，c＝log1.10.9<0，故c<b<a，故選B. 答案：B 3．已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝x2－x，則當(dāng)x<0時(shí)，函數(shù)f(x)的最大值為(　　) A．－ B. C. D．－ 解析：通解：設(shè)x<0，則－x>0，所以f(－x)＝x2＋x，又函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，所以f(x)＝－f(－x)＝－x2－x＝－2＋，所以當(dāng)x<0時(shí)，函數(shù)f(x)的最大值為.故選B. 優(yōu)解：當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝x2－x＝2－，最小值為－，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為奇函數(shù)，所以當(dāng)x<0時(shí)，函數(shù)f(x)的最大值為.故選B. 答案：B 4．函數(shù)f(x)＝lnx－x2的大致圖象是(　　) 解析：易知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f ′(x)＝－x＝.當(dāng)0<x<1時(shí)，f ′(x)>0；當(dāng)x>1時(shí)，f ′(x)<0.所以f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，所以f(x)max＝f(1)＝－，故結(jié)合圖象可知選B. 答案：B 5．已知偶函數(shù)f(x)滿足f(x－1)＝f(x＋1)，且在x∈[0,1]時(shí)，f(x)＝x，則關(guān)于x的方程f(x)＝x在x∈[0,4]上的解的個(gè)數(shù)是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：由f(x－1)＝f(x＋1)，知f(x＋2)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)的一個(gè)周期為2，又函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，所以f(x－1)＝f(x＋1)＝f(1－x)，即函數(shù)f(x)關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y＝f(x)，y＝x的圖象，由圖象知在[0,4]內(nèi)交點(diǎn)個(gè)數(shù)為4.選D. 答案：D 6．設(shè)函數(shù)f(x)＝1－xsinx在x＝x0處取得極值，則(1＋x)(1＋cos2x0)－1的值為(　　) A．－1 B．0 C．2 D．1 解析：f ′(x0)＝－sinx0－x0cosx0＝0?x0cosx0＝－sinx0，代入化簡(jiǎn)得(1＋x)(1＋cos2x0)－1＝(1＋x)2cos2x0－1＝2cos2x0＋2sin2x0－1＝2－1＝1. 答案：D 7．已知l1，l2是曲線C：y＝的兩條互相平行的切線，則l1與l2的距離的最大值為(　　) A. B．2 C．2 D．4 解析：設(shè)第一象限的切點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)曲線的對(duì)稱性，曲線在第三象限的切點(diǎn)坐標(biāo)為.此時(shí)兩條切線方程分別為y＝－x＋，y＝－x－，兩直線之間的距離d＝＝≤＝2，當(dāng)且僅當(dāng)t＝1時(shí)等號(hào)成立． 答案：C 8．定義在R上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f ′(x)，已知f(x＋1)是偶函數(shù)，且(x－1)f ′(x)<0.若x1<x2，且x1＋x2>2，則f(x1)與f(x2)的大小關(guān)系是(　　) A．f(x1)<f(x2) B．f(x1)＝f(x2) C．f(x1)>f(x2) D．不確定 解析：由(x－1)f ′(x)<0可知，當(dāng)x>1時(shí)，f ′(x)<0，函數(shù)單調(diào)遞減．當(dāng)x<1時(shí)，f ′(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增．因?yàn)楹瘮?shù)f(x＋1)是偶函數(shù)，所以f(x＋1)＝f(1－x)，f(x)＝f(2－x)，即函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱軸為x＝1.所以，若1≤x1<x2，則f(x1)>f(x2)；若x1<1，則x2>2－x1>1，此時(shí)有f(x2)<f(2－x1)，又f(2－x1)＝f(x1)，所以f(x1)>f(x2)．綜上，必有f(x1)>f(x2)，選C. 答案：C 9．已知函數(shù)f(x)＝x2＋2cosx，若f ′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則函數(shù)f ′(x)在原點(diǎn)附近的圖象大致是(　　) 解析：因?yàn)閒 ′(x)＝2x－2sinx，[f ′(x)]′＝2－2cosx≥0，所以函數(shù)f ′(x)在R上單調(diào)遞增，故選A. 答案：A 10．已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，且函數(shù)f(x－3)的圖象關(guān)于直線x＝3對(duì)稱，f(3)＝2 015，f(3)>f(0)，且在區(qū)間(0，＋∞)上，f ′(x)同號(hào)，則不等式f(x2－2x)<2 015的解集是(　　) A．(－∞，－1)∪(3，＋∞) B．(－1,0) C．(0,3) D．(－1,3) 解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x－3)的圖象關(guān)于直線x＝3對(duì)稱，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝0對(duì)稱，所以函數(shù)f(x)是偶函數(shù)．因?yàn)樵趨^(qū)間(0，＋∞)上，f ′(x)同號(hào)，故函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上是單調(diào)的，又f(3)>f(0)，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上是單調(diào)遞增的．所以不等式f(x2－2x)<2 015可化為f(|x2－2x|)<f(3)，得|x2－2x|<3，解得－1<x<3. 答案：D 二、填空題(每小題5分) 11．已知函數(shù)f(x)＝則f(f(－2))＝__________. 解析：因?yàn)閒(－2)＝2－2>0，所以f(f(－2))＝f(2－2)＝log22－2＝－2. 答案：－2 12．已知函數(shù)f(x)＝|log2x|，正實(shí)數(shù)m，n滿足m<n，且f(m)＝f(n)，若f(x)在區(qū)間[m2，n]上的最大值為2，則n＋m＝__________. 解析：根據(jù)已知，結(jié)合函數(shù)f(x)＝|log2x|的圖象知，0<m<1<n，所以0<m2<m<1.根據(jù)函數(shù)圖象易知函數(shù)在x＝m2時(shí)取得最大值，所以f(m2)＝|log2m2|＝2，又0<m<1，所以m＝.再結(jié)合f(m)＝f(n)求得n＝2，所以m＋n＝. 答案： 13．函數(shù)f(x)＝lnx－x2在上的極大值是__________． 解析：f ′(x)＝－x＝，x∈， 令f ′(x)＝0，解得x＝1(x＝－1舍去)，令f ′(x)>0解得≤x<1， 令f ′(x)<0，解得1<x≤2. 所以函數(shù)f(x)在上是增函數(shù)，在[1,2]上是減函數(shù)， 所以f(x)＝lnx－x2在上的極大值是f(1)＝ln1－＝－. 答案：－ 14．已知函數(shù)f(x)＝lnx，則函數(shù)g(x)＝f(x)－f ′(x)在區(qū)間[2，e]上的最大值為__________． 解析：因?yàn)閒(x)＝lnx，所以f ′(x)＝，則g(x)＝f(x)－f ′(x)＝lnx－，函數(shù)g(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)， g′(x)＝＋>0在x∈(0，＋∞)上恒成立， 所以函數(shù)g(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)， 所以g(x)在區(qū)間[2，e]上的最大值g(x)max＝g(e)＝lne－＝1－. 答案：1－ 15．已知函數(shù)f(x)＝ax－cosx，x∈，若?x1∈，?x2∈，x1≠x2，<0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為__________． 解析：已知條件等價(jià)于f(x)在上單調(diào)遞減，等價(jià)于f ′(x)＝a＋sinx≤0在上恒成立，即a≤－sinx在上恒成立，a≤(－sinx)min＝－，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是. 答案： 三、解答題(第16,17,18,19題每題12分，第20題13分，第21題14分) 16．已知函數(shù)f(x)＝，a∈R. (1)若函數(shù)y＝f(x)在x＝1處取得極值，求a的值； (2)若函數(shù)y＝f(x)的圖象上存在兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求a的取值范圍． 解：(1)當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝2ex－(x－a)2＋3， f ′(x)＝2(ex－x＋a)． 因?yàn)閥＝f(x)在x＝1處取得極值， 所以f ′(1)＝0，即2(e－1＋a)＝0， 解得a＝1－e， 經(jīng)驗(yàn)證滿足題意，所以a＝1－e. (2)由題意知y＝f(x)的圖象上存在兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱， 即y＝2ex－(x－a)2＋3(x>0)圖象上存在一點(diǎn)(x0，y0)(x0>0)， 使得(－x0，－y0)在y＝x2＋3ax＋a2－3(x<0)的圖象上， 即有， 消去y0，得2ex0－(x0－a)2＋3＝－x＋3ax0－a2＋3， 化簡(jiǎn)得a＝. y＝f(x)的圖象上存在兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即關(guān)于x0的方程a＝在(0，＋∞)上有解． 設(shè)h(x)＝(x>0)，則h′(x)＝. 因?yàn)閤>0，所以當(dāng)x>1時(shí)，h′(x)>0； 當(dāng)0<x<1時(shí)，h′(x)<0. 所以h(x)在(0,1)上為減函數(shù)，在(1，＋∞)上為增函數(shù)． 所以h(x)≥h(1)＝2e，且x→＋∞時(shí)，h(x)→＋∞； x→0時(shí)，h(x)→＋∞，即h(x)的值域?yàn)閇2e，＋∞)． 所以當(dāng)a≥2e時(shí)，方程a＝在(0，＋∞)上有解． 所以當(dāng)a≥2e時(shí)，y＝f(x)的圖象上存在兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱． 17．已知函數(shù)f(x)＝alnx＋(a≠0)． (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)若{x|f(x)≤0}＝[b，c](其中b<c)，求a的取值范圍，并說明[b，c]?(0,1)． 解：(1)f ′(x)＝－＝(x>0)． (ⅰ)當(dāng)a<0時(shí)，f ′(x)<0，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0，＋∞)． (ⅱ)當(dāng)a>0時(shí)，令f ′(x)＝0，得x＝. 當(dāng)x變化時(shí)，f ′(x)，f(x)的變化情況如下表： x f ′(x) － 0 ＋ f(x)  極小值  所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是. (2)由(1)知， 當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，所以函數(shù)f(x)至多存在一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意． 當(dāng)a>0時(shí)，因?yàn)閒(x)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以在使{x|f(x)≤0}＝[b，c]，必需f<0，即aln＋a<0. 所以a>e. 當(dāng)a>e時(shí)，f＝aln＋a2＝－2alna＋a2＝a(a－2lna)． 令g(x)＝x－2lnx(x≥e)，則g′(x)＝1－＝(x≥e)． 當(dāng)x>e時(shí)，g′(x)>0，所以g(x)在[e，＋∞)上是增函數(shù)． 所以當(dāng)a>e時(shí)，g(a)＝a－2lna>g(e)＝e－2>0. 所以f>0. 因?yàn)?lt;<1，f<0，f(1)＝1>0， 所以f(x)在上存在一個(gè)零點(diǎn)，不妨記為b，在上存在一個(gè)零點(diǎn)，不妨記為c. 因?yàn)閒(x)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)， 所以{x|f(x)≤0}＝[b，c]． 綜上所述，a的取值范圍是(e，＋∞)． 因?yàn)閎∈，c∈， 所以[b，c]?(0,1)． 18．已知函數(shù)f(x)＝ex－1－x. (1)若存在x0∈，使a－ex＋1＋x<0成立，求a的取值范圍； (2)當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≥(t－1)x恒成立，求t的取值范圍． 解：(1)由題知a<ex－1－x，即a<f(x)， 令f ′(x)＝ex－1＝0，得x＝0. ∵x>0時(shí)，f ′(x)>0，x<0時(shí)， f ′(x)<0， ∴f(x)在(－∞，0)上為減函數(shù)，在(0，＋∞)上為增函數(shù)． ∴當(dāng)x0∈時(shí)，f(x)在區(qū)間端點(diǎn)處取得最大值． 又f(－1)＝e－1－1＋1＝， f＝－1－ln， f(－1)－f＝－＋1＋ln＝－＋ln>0. ∴f(－1)>f， ∴f(x)在上的最大值為，故a的取值范圍是a<. (2)由已知可得x≥0時(shí)，ex－1－tx≥0恒成立， 令g(x)＝ex－1－tx，則g′(x)＝ex－t， 若t≤1，則當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，g′(x)>0， g(x)為增函數(shù)，g(0)＝0， 從而當(dāng)x≥0，g(x)≥0， 即f(x)≥(t－1)x恒成立． 若t>1，則當(dāng)x∈(0，lnt)時(shí)， g′(x)<0，g(x)為減函數(shù)，而g(0)＝0， 從而當(dāng)x∈(0，lnt)時(shí)，g(x)<0，即f(x)<(t－1)x， 所以t>1不符合題意，綜上可得t的取值范圍為(－∞，1]． 19．已知函數(shù)f(x)＝＋xlnx，g(x)＝x3－x2－3. (1)當(dāng)a＝2時(shí)，求曲線y＝f(x)在x＝1處的切線方程； (2)如果存在x1，x2∈[0,2]，使得g(x1)－g(x2)≥M成立，求滿足上述條件的最大整數(shù)M； (3)如果對(duì)任意的s，t∈，都有f(s)≥g(t)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解：(1)當(dāng)a＝2時(shí)，f(x)＝＋xlnx， f ′(x)＝－＋lnx＋1， f(1)＝2，f ′(1)＝－1， 所以曲線y＝f(x)在x＝1處的切線方程為y＝－x＋3. (2)存在x1，x2∈[0,2]，使得g(x1)－g(x2)≥M成立， 等價(jià)于[g(x1)－g(x2)]max≥M， 考察函數(shù)g(x)＝x3－x2－3，則 g′(x)＝3x2－2x＝3x， 當(dāng)x變化時(shí)，g ′(x)，g(x)的變化情況如下表： x 0 2 g′(x) 0 － 0 ＋ g(x) －3 單調(diào)遞減 極小值－ 單調(diào)遞增 1 由上表可知：g(x)min＝g＝－，g(x)max＝g(2)＝1， [g(x1)－g(x2)]max＝g(x)max－g(x)min＝， 所以滿足條件的最大整數(shù)M＝4. (3)對(duì)任意的s，t∈，都有f(s)≥g(t)成立， 等價(jià)于：在區(qū)間上，函數(shù)f(x)的最小值不小于g(x)的最大值， 當(dāng)x∈時(shí)，f(x)＝＋xlnx≥1恒成立， 等價(jià)于a≥x－x2lnx恒成立， 記h(x)＝x－x2lnx，h′(x)＝1－2xlnx－x，h′(1)＝0， 記m(x)＝1－2xlnx－x，m′(x)＝－3－2lnx，由于x∈， m′(x)＝－3－2lnx<0，所以m(x)＝h′(x)＝1－2xlnx－x在上單調(diào)遞減， 當(dāng)x∈時(shí)，h′(x)>0，x∈(1,2]時(shí)，h′(x)<0， 即函數(shù)h(x)＝x－x2lnx在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間(1,2]上單調(diào)遞減， 所以h(x)max＝h(1)＝1，所以a≥1. 20．(20xx郴州模擬)已知函數(shù)f(x)＝. (1)求函數(shù)f(x)的定義域和值域； (2)若0<x1<x2<1，試比較與的大小． 解：(1)由－x2＋2x≥0得0≤x≤2， ∴函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇0,2]， ∵0≤－x2＋2x≤1， ∴函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇0,1]， (2)當(dāng)x>0時(shí)，＝＝在區(qū)間(0,1)上是減函數(shù)， ∴0<x1<x2<1時(shí)，>. 21．設(shè)函數(shù)f(x)＝alnx＋x2－bx(a≠1)，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線斜率為0. (1)求b； (2)若存在x0≥1，使得f(x0)<，求a的取值范圍． 解：(1)f ′(x)＝＋(1－a)x－b. 由題設(shè)知f ′(1)＝0，解得b＝1. (2)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，由(1)知， f(x)＝alnx＋x2－x， f ′(x)＝＋(1－a)x－1＝(x－1)． (ⅰ)若a≤，則≤1，故當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)， f ′(x)>0，f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增． 所以，存在x0≥1，使得f(x0)<的充要條件為f(1)<， 即－1<， 解得－－1<a<－1. (ⅱ)若<a<1，則>1， 故當(dāng)x∈時(shí)，f ′(x)<0； 當(dāng)x∈時(shí)，f ′(x)>0. f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增． 所以，存在x0≥1，使得f(x0)<的充要條件為f<. 而f＝aln＋＋>，所以不合題意． (ⅲ)若a>1，則f(1)＝－1＝<. 綜上，a的取值范圍是(－－1，－1)∪(1，＋∞)．