2015年高中數(shù)學(xué)《直線與圓錐曲線的位置關(guān)系》自測試題

2015年高中數(shù)學(xué)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系自測試題【梳理自測】一、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系1 .（教材改編）直線y = kx k+1與橢圓卷+ （=1的位置關(guān)系為（）9 4A.相交B.相切C.相離 D.不確定2 .過點（0, 1）作直線，使它與拋物線y2=4x僅有一個公共點，這樣的直線有（A. 1條 B. 2條C. 3條 D. 4條3.已知直線xy1=0與拋物線y = ax2相切，則a等于（）A- B.-23C： D. 4 4答案：1. A 2. C 3. C以上題目主要考查了以下內(nèi)容：判斷直線l與圓錐曲線C的位置關(guān)系時，通常將直線l的方程Ax+ By+ C= 0（A、B不同時為0） 代入圓錐曲線C的方程F（x,y） =0消去y（也可以消去x）得到一個關(guān)于變量x（或變量y）的一元方程.Ax+ By+ C= 0,F (x, y) =0,消去y后得ax2+ bx+ c= 0.（1）當aw。時，設(shè)一元二次方程ax2+ bx+c = 0的判別式為A,則A>0?直線與圓錐曲線C相A = 0?直線與圓錐曲線C粗包L;A<0?直線與圓錐曲線C相宣.（2）當2= 0, bw0時，即得到一個一次方程，則直線l與圓錐曲線C相交，且只有一個交點，止匕時，若C為雙曲線，則直線l與雙曲線的漸近線的位置關(guān)系是平行；若 C為拋物線，則直線l與拋物線的對稱軸的位置關(guān)系是平行.二、圓錐曲線的弦長1 .（教材改編）過拋物線y2= 4x的焦點，最短的弦長為 .x222 .已知斜率為1的直線過橢圓-+ y2=1的右焦點交橢圓于A, B兩點，則弦AB的長為.答案：1.42424以上題目主要考查了以下內(nèi)容：(1)圓錐曲線的弦長直線與圓錐曲線相交有兩個交點時，這條直線上以這兩個交點為端點的線段叫做圓錐曲線的弦 (就是連接圓錐曲線上任意兩點所得的線段)，線段的長就是弦長.(2)圓錐曲線的弦長的計算設(shè)斜率為k(kw0)的直線l與圓錐曲線C相交于A, B兩點，A(xi, yi) , B(x2, y# ,貝U |AB| 二 q (X2- Xi)7-j-(y2-y1)點P,過點F2作直線PF2的垂線交直線x = a于點Q. c(1)如果點Q的坐標是(4, 4),求此時橢圓C的方程; 證明：直線PQ與橢圓C只有一個交點.【審題視點】(1)建立QF直線方程，求Q點坐標，用a, c表示.(2)建立PQ直線方程，求PQ與橢圓的交點，確定一個.【典例精講】(1)由條件知，P -c, b ,a=(1 + k2) |x i - X2|= Jl+， |y iy2.(拋物線的焦點弦長|AB| =xi +X2+P=Sn2hp 8為弦ABff在直線白傾斜角.【指點迷津】1 . 一條規(guī)律“聯(lián)立方程求交點，根與系數(shù)的關(guān)系求弦長，根的分布找范圍，曲線定義不能忘”.2 .二種方法方程組法：聯(lián)立直線方程和圓錐曲線方程，消元 (x或y)成為二次方程之后，結(jié)合韋達定理和 判別式，建立等式關(guān)系或不等式關(guān)系.點差法：在求解圓錐曲線并且題目中交代直線與圓錐曲線相交和被截的線段的中點坐標時，設(shè)出直線和圓錐曲線的兩個交點坐標， 代入圓錐曲線的方程并作差，從而求出直線的斜率，然后利用中 點求出直線方程.“點差法”的常見題型有：求中點弦方程、求 (過定點、平行弦)弦中點軌跡、垂直 題分線問題.必須提醒的是“點差法”具有不等價性，即要考慮判別式A是否為正數(shù).考向一 直線與圓錐曲線位置關(guān)系的確定例題1 (2012 高考安徽卷)如圖，點Fi(-c, 0)、F2(c, 0)分別是橢圓C:22b2=1(a>b>0)的左、右焦點，過點Fi作x軸的垂線交橢圓C的上半部分于b20.2. ab故直線PF2的斜率為kPF2-=-.c c 2ac因為PEFzQ,所以直線F2Q的方程為22ac 2acy=F"故 Qa, 2a . c2a由題設(shè)知，一=4, 2a=4,解得a = 2, c=1. c故橢圓方程為2+2= 1.4 32 ac x , 一,y 2a c(2)證明：直線pq的方程為y*=2, b-2a -c-a ac即y=3+a.22將上式代入2+(=1得x2+2cx+ C2=0,b2解得 x= c, y = a所以直線PQ與橢圓C只有一個交點.【類題通法】在討論直線和圓錐曲線的位置關(guān)系時，先聯(lián)立方程組，冉消去 x（或y）,得到關(guān)于y（或x）的方程，如果是直線與圓或橢圓，則所得方程一定為一元二次方程；如果是直線與雙曲線 或拋物線，則需討論二次項系數(shù)等于零和不等于零兩種情況，只有一元二次方程才有判別式，另外還應(yīng)注意討論斜率不存在的情形.有時根據(jù)定點與圓錐曲線的位置關(guān)系，判定直線與曲線的關(guān)系.變式訓(xùn)練221 .求證：不論m取何值，直線l : mx- y-1 = 0與橢圓親十七=1總有交點.16 9證明：證法一:mx y m+ 1=0,由L匕116 912 x 消去y得x6+2(mx m+1= 1.(*)整理，得(16m2+ 9)x2 32m(m- 1)x + 16n2- 32m- 128= 0.A= 322rm(m 1)2-4(16rni+9)(16m2-32m- 128)2= 576(15m?+ 2M 8)1 2 119=576 15 出m + 道 >0.方程(*)包有實根.原方程組恒有解.故直線l與橢圓總有交點.證法二：直線l的方程可化為m(x 1)+(y+1)=0, 故直線l恒過x1 = 0和一y+1 = 0的交點A(1, 1).22又點A在橢圓16+%=1內(nèi)部，直線l與橢圓總有交點.考向二 根據(jù)直線與圓錐曲線的位置求參數(shù)例題2 (2014 合肥模擬)設(shè)拋物線y2= 8x的準線與x軸交于點Q,若過點Q的直線l與拋物線有公共點，則直線l的斜率的取值范圍是()xKb 1. Com1 1A 2，2B. -2,2C.T, 1【審題視點】D. -4, 4設(shè)直線l的方程，將其與拋物線方程聯(lián)立，利用A >0解得.【典例精講】+ 4k2= 0,由題意得Q( 2, 0) .設(shè)l的方程為y=k(x+2),代入 y2= 8x 得 k2x2+4(k22)x當 k = 0 時,直線l與拋物線恒有一個交點；當kw。時，A=16(k2 2)2 16k4>0,即k201,.- -1<k<1,且 kw0,綜上一1wk01.【類題通法】 由位置關(guān)系求字母參數(shù)時，用代數(shù)法轉(zhuǎn)化為方程的根或不等式解集， 也可以數(shù)形結(jié)合，求出邊界位置，再考慮其它情況.變式訓(xùn)練2. (2014 沈陽模擬)若直線y=kx + 2與雙曲線x2 y2= 6的右支交于不同的兩點，則k的取值范圍是()153B-0,臂D.解析：選D由y = kx + 2, x2-y2=6,得(1 k2)x2 4kx10 = 0,1 k2”A = 16k2 4 (1 k2) x (10) >0,Xi + x2=T"2> 0,1 -kXlX2 二102 . |-2>0,1 k直線與雙曲線右支有兩個不同交點, 解得中5< k< - 1.故選D.3考向三弦長問題22例題3過雙曲線方-看= 16 3 3 12 ：3=一義X = 的右焦點F2,傾斜角為3。的直線交雙曲線于A，B兩點，。為坐標 原點，F(xiàn)i為左焦點.（1）求|AB| ；求&AOB的面積.【審題視點】（1）AB是確定的直線，按弦長公式可直接求弦長. 求出。到AB的距離，則可計算面積.【典例精講】（1）由雙曲線的方程得a= b =鄧,. c = da525【類題通法】 直線與圓錐曲線的弦長問題，較少單獨考查弦長的求解，一般是已知弦長的信息 求參數(shù)或直線、圓錐曲線的方程.解此類題的關(guān)鍵是設(shè)出交點的坐標，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到弦長， 將已知弦長的信息代入求解.變式訓(xùn)練+ b2 = 3, F1（ -3, 0）, F2（3 , 0）.直線AB的方程為y=羋（x -3）.設(shè) A(xi, yi), B(X2, y2),3y= 3由 x2 y23 6 = 1,(x-3),得 5x2+6x27=0.27xx2=. 54336 108 16 . 325+-5-= 56:.x+ x2=一二5|AB| =/l + k2|x i X2|1+ y (Xi*) 2 4x1x2（2）直線AB的方程變形為V3x-3y-33=0.丁原點O到直線AB的距離為i-3m|- 3或)4(-3) 2 = 2.1Saaob= 21ABi d223.設(shè)橢圓C: + b- 1(a>b>0)的右焦點為F,過F的直線l與橢圓C相交于A、B兩點，直線 l的傾斜角為60 , AF= 2FB.(1)求橢圓C的離心率；.一 15 一、一如果|AB| =,求橢圓C的萬程.解析：設(shè) A(xb y), B(x2, y2),由題意知 y1<0, y2>0.直線l的方程為y =43(x c),其中c=a2_b2.y=q3 (x-c)聯(lián)立x2 y2尹尸(3a 2+ b2)y 2+ 2>/3b2cy 3b4= 0.解得y1=3b2 (c+ 2a)3a2+b2Vb2 (c 2a)3a2 b2因為AF= 2FB,所以一yi=2y2.13b2 (c+2a)3a2+b2V3b2 (c 2a)3a2 + b2/日 A、七 c 2"、率 e= a= 3.(2)因為 |AB| =11 + 3.2y1| ,24 3ab2 15所以 /r飛=15.43 3a + b 4由c=芻Sb= W5a,所以5a=15,得 a= 3, b=45. a 3344122所以橢圓C的方程為v、1.考向四直線與圓錐曲線位置關(guān)系的應(yīng)用例題4已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在 x軸上且過點P(V3,；),離心率是手.(1)求橢圓C的標準方程； 直線l過點E(-1, 0)且與橢圓C交于A, B兩點，若|EA| =2|EB| ,求直線l的方程.【審題視點】(1)設(shè)橢圓方程，待定系數(shù)法求解.(2)建立方程組，轉(zhuǎn)化|EA| =2|EB|為xi + 2x2= 3,待定斜率k.【典例精講】 (1)設(shè)橢圓C的標準方程為c= J3a 2 1,由已知可得3 1a2 + 4b2-a2 = b2+ c解得 a?=4, b?= 1.x22故橢圓C的標準方程為-+ y2=1.(2)由已知，若直線l的斜率不存在，則過點E(-1, 0)的直線l的方程為x=1,此時令A(yù)(1, 鼻,B(-1,一鼻,顯然|EA| =2|EB|不成立.若直線l的斜率存在，則設(shè)直線l的方程為y=k(x +1).x22+ y = 1,由4y = k (x+1),整理得(4k 2+ 1)x 2+ 8k2x+ 4k2-4= 0.則 A = (8k2)2-4(4k2+1)(4k 2-4) = 48k2+ 16>0.設(shè) A(xi, yi) , B(x2, y2).故 Xi + X2 =8k24k2+ 14k2 4 1x1x2=4kV7 1因為 |EA| =2|EB| ,即 x + 2x2= 3.聯(lián)立解得k=W5.6所以直線l的方程為樂x+6y+班=0和，T5x6y+>/T5= 0.【類題通法】利用直線與曲線的位置關(guān)系求直線方程或曲線方程時，往往是待定系數(shù)法，直線待定斜率后，要考慮斜率不存在的情況是否適合題意.變式訓(xùn)練4.已知雙曲線的中心在原點，且一個焦點為 F(幣,0),直線y=x1與其相交于M N兩點,MNfr點的橫坐標為一2,求此雙曲線的方程.322解析：設(shè)雙曲線的方程為02-卜1(a>。，b>),貝U a2+b2= (")2 = 7.y = x 1,22由 x2 y2消去 y 得一(X卜2"-1.=1,a b整理得(b2 a2)x 2+2a2x-a2- a2b2 = 0.(*)設(shè) M(xi, y。，N(x2, yz),則 xi和 x2為方程(*)的根,2a2于是 xi + 乂2= a2 b2.x1+x22由已知得5= ., 232a24a2- b2 二.3,即 5a2 = 2b2.a2 = 2, 由得b2 5故所求雙曲線方程為22H=i.直線與圓錐曲線交點個數(shù)和相切概念不清2典型例題 已知點A(0, 2)和雙曲線x2-y4=1,過點A與雙曲線只有一個交點的直線的條數(shù)為A. 1B. 2C. 3D. 4【正解】設(shè)過點A(0, 2)的直線為y = kx + 2y = kx + 2由 2 黃彳#(4kjx24kx8=0x 4 = 1當/ = 4即k=2時，方程只有一解，即只有一個交點.當k2w4時，方程有一解時A=( -4k)2-4X(4 k2) X( 8)=0.k2= 8, .k=22,為切線的斜率.共有4條直線.【易錯點】得出方程(4 k2)x24kx 8 = 0后，不考慮k2= 4,直接由A = 0,得k=2也.錯選為B.【警示】直線與雙曲線只有一個交點時，該直線可與雙曲線相切 （A = 0）,也可與其漸近線平行，故一個交點不一定是相切關(guān)系，注意數(shù)形結(jié)合法的應(yīng)用.真題體驗221. （2013 高考福建卷）橢圓：十卜儂八0）的左、右焦點分別為Fi, F2,焦距為2c.若直 線y =<3（x+c）與橢圓的一個交點M滿足/MFF2= 2/MFFi,則該橢圓的離心率等于 .解析：已知 Fi（-c, 0）, F2（c, 0）,直線y =，3（x+c）過點Fi,且斜率為43,傾斜角 / MFF2=60 .10/MFFi：/ MFF2=30 ,/ FiMF=90 , . |MFi| =c, |MF2| =a/3c.由橢圓定義知 |MFi| 十|MF2| =c+d3c = 2a,ce= 一=a2i+ 3=：3i.答案：、/3i2. （20i3 高考江西卷）已知點A（2, 0）,拋物線C: x2=4y的焦點為F,射線FA與拋物線C相 交于點M 與其準線相交于點 N,則|FM| ： |MN|=（）A. 2 ：乖 B. i ： 2C. i : ；5 D. i ： 3解析：選C根據(jù)拋物線的定義和相似三角形的判定及性質(zhì)求解.如圖所示，由拋物線定義知|MF| = |MH|,所以|MF| ： |MN|= |MH| ： |MN|.由于MHNFOA則|MH| |OF| i|HN| =|OA| =2則|MH| ： |MN| 二 i ：乖,即|MF| ： |MN| 二 i ：乖.x223. (20i3 高考北京卷)直線y=kx + m(/0)與橢圓 W + y2= i相交于A, C兩點，O是坐標原 當點B的坐標為（0, i）,且四邊形OAB菱形時，求AC的長； 當點B在W且不是WW頂點時，證明：四邊形 OABCf可能為菱形.解析：（i）因為四邊形OAB菱形，所以AC與OB互相垂直平分.L、1、上、口 t21所以可設(shè)At, 2，代入橢圓方程得4 + 4=1,即t = 艱.所以 |AC| =243.(2)證明：假設(shè)四邊形OAB菱形.因為點B不是W的頂點，且ACLOB所以 20.x2 + 4y2= 4,由 消去y并整理得 y = kx + m(1 +4k2)x2+8kmx+ 4n2-4 = 0.設(shè) A(xi, yi) , C(x2, y2),則X1+X24km y + y21+4k22kX1+X2+m= 1+4k2所以 AC的中點為 M 1 4k2, TGTZi?.1十4k 1十4k因為M為AC和OB的交點，且m0, kw0,一 ，i 1所以直線OB的斜率為-.4K因為k , 1,所以AC與OB不垂直.4k所以四邊形OABCf是菱形，與假設(shè)矛盾.所以當點B在Wh且不是W的頂點時，四邊形OAB0可能是菱形.*以上是由明師教育編輯整理