高考數(shù)學(xué)人教A版理科配套題庫【第二章】函數(shù)與基本初等函數(shù)I 第5講 對數(shù)與對數(shù)函數(shù)

精品資料 第5講 對數(shù)與對數(shù)函數(shù) 一、選擇題 1．已知實數(shù)a＝log45，b＝0，c＝log30.4，則a，b，c的大小關(guān)系為(　　) A．b<c<a B．b<a<c C．c<a<b D．c<b<a 解析 由題知，a＝log45>1，b＝0＝1，c＝log30.4<0，故c<b<a. 答案 D 2．設(shè)f(x)＝lg(＋a)是奇函數(shù)，則使f(x)＜0的x的取值范圍是(　　)． A．(－1,0) B．(0,1) C．(－∞，0) D．(－∞，0)∪(1，＋∞) 解析　∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(0)＝0，∴a＝－1. ∴f(x)＝lg，由f(x)＜0得，0＜＜1， ∴－1＜x＜0. 答案　A 3．若函數(shù)y＝loga(x2－ax＋1)有最小值，則a的取值范圍是(　　)． A．0<a<1 B．0<a<2，a≠1 C．1<a<2 D．a(chǎn)≥2 解析　因為y＝x2－ax＋1是開口向上的二次函數(shù)，從而有最小值，故要使函數(shù)y＝loga(x2－ax＋1)有最小值，則a>1，且>0，得1<a<2，故選C. 答案　C 4．若函數(shù)f(x)＝loga(x＋b) 的大致圖象如圖所示，其中a，b為常數(shù)，則函數(shù)g(x)＝ax＋b的大致圖象是 (　　)． 解析　由已知函數(shù)f(x)＝loga(x＋b)的圖象可得0<a<1，0<b<1.則g(x)＝ax＋b的圖象由y＝ax的圖象沿y軸向上平移b個單位而得到，故選B. 答案　B 5．若函數(shù)f(x)＝loga(x2－ax＋3)(a>0且a≠1)滿足對任意的x1，x2，當(dāng)x1<x2≤時，f(x1)－f(x2)>0，則實數(shù)a的取值范圍為 (　　)． A．(0,1)∪(1,3) B．(1,3) C．(0,1)∪(1,2) D．(1,2) 解析　“對任意的x1，x2，當(dāng)x1<x2≤時，f(x1)－f(x2)>0”實質(zhì)上就是“函數(shù)單調(diào)遞減”的“偽裝”，同時還隱含了“f(x)有意義”．事實上由于g(x)＝x2－ax＋3在x≤時遞減，從而由此得a的取值范圍為(1,2)．故選D. 答案　D 6．已知函數(shù)f(x)＝|lg x|，若0<a<b，且f(a)＝f(b)，則a＋2b的取值范圍是 (　　)． A．(2，＋∞) B．[2，＋∞) C．(3，＋∞) D．[3，＋∞) 解析　作出函數(shù)f(x)＝|lg x|的圖象，由f(a)＝f(b)，0<a<b知0<a<1<b，－lg a＝lg b，∴ab＝1，∴a＋2b＝a＋，由函數(shù)y＝x＋的單調(diào)性可知，當(dāng)0<x<1時，函數(shù)單調(diào)遞減，∴a＋2b＝a＋>3.故選C. 答案　C 二、填空題 7．對任意非零實數(shù)a，b，若a?b的運算原理如圖所示，則(log8)?－2＝________. 解析　框圖的實質(zhì)是分段函數(shù)，log8＝－3，－2＝9，由框圖可以看出輸出＝－3. 答案?。?. 8．設(shè)g(x)＝則g＝________. 解析　g＝ln ＜0， ∴g＝g＝eln＝. 答案　 9．已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A?B，則實數(shù)a的取值范圍是(c，＋∞)，其中c＝________. 解析　∵log2x≤2，∴0＜x≤4.又∵A?B，∴a＞4，∴c＝4. 答案　4 10．對于任意實數(shù)x，符號[x]表示x的整數(shù)部分，即[x]是不超過x的最大整數(shù)．在實數(shù)軸R(箭頭向右)上[x]是在點x左側(cè)的第一個整數(shù)點，當(dāng)x是整數(shù)時[x]就是x.這個函數(shù)[x]叫做“取整函數(shù)”，它在數(shù)學(xué)本身和生產(chǎn)實踐中有廣泛的應(yīng)用．那么[log31]＋[log32]＋[log33]＋[log34]＋…＋[log3243]＝________. 解析　當(dāng)1≤n≤2時，[log3n]＝0，當(dāng)3≤n<32時，[log3n]＝1，…，當(dāng)3k≤n<3k＋1時，[log3n]＝k. 故[log31]＋[log32]＋[log33]＋[log34]＋…＋[log3243]＝02＋1(32－3)＋2(33－32)＋3(34－33)＋4(35－34)＋5＝857. 答案　857 三、解答題 11．已知函數(shù)f(x)＝log(a2－3a＋3)x. (1)判斷函數(shù)的奇偶性； (2)若y＝f(x)在(－∞，＋∞)上為減函數(shù)，求a的取值范圍． 解　(1)函數(shù)f(x)＝log(a2－3a＋3)x的定義域為R. 又f(－x)＝log(a2－3a＋3)－x ＝－log(a2－3a＋3)x＝－f(x)， 所以函數(shù)f(x)是奇函數(shù)． (2)函數(shù)f(x)＝log(a2－3a＋3)x在(－∞，＋∞)上為減函數(shù)，則y＝(a2－3a＋3)x在(－∞，＋∞)上為增函數(shù)， 由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，知a2－3a＋3>1，解得a<1或a>2. 所以a的取值范圍是(－∞，1)∪(2，＋∞)． 12．若函數(shù)y＝lg(3－4x＋x2)的定義域為M.當(dāng)x∈M時，求f(x)＝2x＋2－34x的最值及相應(yīng)的x的值． 解　y＝lg(3－4x＋x2)，∴3－4x＋x2＞0， 解得x＜1或x＞3，∴M＝{x|x＜1，或x＞3}， f(x)＝2x＋2－34x＝42x－3(2x)2. 令2x＝t，∵x＜1或x＞3，∴t＞8或0＜t＜2. ∴f(t)＝4t－3t2＝－32＋(t＞8或0＜t＜2)． 由二次函數(shù)性質(zhì)可知： 當(dāng)0＜t＜2時，f(t)∈， 當(dāng)t＞8時，f(t)∈(－∞，－160)， 當(dāng)2x＝t＝，即x＝log2 時，f(x)max＝. 綜上可知：當(dāng)x＝log2 時，f(x)取到最大值為，無最小值． 13．已知函數(shù)f(x)＝loga(a＞0，b＞0，a≠1)． (1)求f(x)的定義域； (2)討論f(x)的奇偶性； (3)討論f(x)的單調(diào)性； 解　(1)令＞0， 解得f(x)的定義域為(－∞，－b)∪(b，＋∞)． (2)因f(－x)＝loga＝loga－1 ＝－loga＝－f(x)， 故f(x)是奇函數(shù)． (3)令u(x)＝，則函數(shù)u(x)＝1＋在(－∞，－b)和(b，＋∞)上是減函數(shù)，所以當(dāng)0＜a＜1時，f(x)在(－∞，－b)和(b，＋∞)上是增函數(shù)；當(dāng)a＞1時，f(x)在(－∞，－b)和(b，＋∞)上是減函數(shù)． 14．已知函數(shù)f(x)＝loga，(a>0，且a≠1)． (1)求函數(shù)的定義域，并證明：f(x)＝loga在定義域上是奇函數(shù)； (2)對于x∈[2,4]，f(x)＝loga>loga恒成立，求m的取值范圍． 解　(1)由>0，解得x<－1或x>1， ∴函數(shù)的定義域為(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 當(dāng)x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)時，f(－x)＝loga＝loga＝loga－1＝－loga＝－f(x)， ∴f(x)＝loga在定義域上是奇函數(shù)． (2)由x∈[2,4]時，f(x)＝loga>loga恒成立， ①當(dāng)a>1時， ∴>>0對x∈[2,4]恒成立． ∴0<m<(x＋1)(x－1)(7－x)在x∈[2,4]恒成立． 設(shè)g(x)＝(x＋1)(x－1)(7－x)，x∈[2,4] 則g(x)＝－x3＋7x2＋x－7， g′(x)＝－3x2＋14x＋1＝－32＋， ∴當(dāng)x∈[2,4]時，g′(x)>0. ∴y＝g(x)在區(qū)間[2,4]上是增函數(shù)，g(x)min＝g(2)＝15. ∴0<m<15. ②當(dāng)0<a<1時， 由x∈[2,4]時， f(x)＝loga>loga恒成立， ∴<對x∈[2,4]恒成立． ∴m>(x＋1)(x－1)(7－x)在x∈[2,4]恒成立． 設(shè)g(x)＝(x＋1)(x－1)(7－x)，x∈[2,4]， 由①可知y＝g(x)在區(qū)間[2,4]上是增函數(shù)， g(x)max＝g(4)＝45，∴m>45. ∴m的取值范圍是(0,15)∪(45，＋∞).