高考數(shù)學(xué)文科一輪總復(fù)習(xí) 28

精品資料 第8講　函數(shù)與方程 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時：40分鐘) 一、填空題 1．(2014無錫調(diào)研)函數(shù)f(x)＝ex＋3x的零點個數(shù)是________． 解析　由已知得f′(x)＝ex＋3＞0，所以f(x)在R上單調(diào)遞增，又f(－1)＝e－1－3＜0，f(1)＝e＋3＞0，所以f(x)的零點個數(shù)是1. 答案　1 2．在下列區(qū)間中，函數(shù)f(x)＝ex＋4x－3的零點所在的區(qū)間為________． ①；②；③；④. 解析　∵f(x)＝ex＋4x－3，∴f′(x)＝ex＋4＞0. ∴f(x)在其定義域上是單調(diào)遞增函數(shù)． ∵f ＝－4＜0，f(0)＝e0＋40－3＝－2＜0， F ＝ －2＜0，f ＝－1＞0， ∴f f ＜0，故選③. 答案?、? 3．若函數(shù)f(x)＝ax2－x－1有且僅有一個零點，則實數(shù)a的取值為________． 解析　當(dāng)a＝0時，函數(shù)f(x)＝－x－1為一次函數(shù)，則－1是函數(shù)的零點，即函數(shù)僅有一個零點； 當(dāng)a≠0時，函數(shù)f(x)＝ax2－x－1為二次函數(shù)，并且僅有一個零點，則一元二次方程ax2－x－1＝0有兩個相等實根． ∴Δ＝1＋4a＝0，解得a＝－. 綜上，當(dāng)a＝0或a＝－時，函數(shù)僅有一個零點． 答案　0或－ 4．(2013朝陽區(qū)期末)函數(shù)f(x)＝2x－－a的一個零點在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則實數(shù)a 的取值范圍是________． 解析　因為函數(shù)f(x)＝2x－－a在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，又函數(shù)f(x)＝2x－－a的一個零點在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則有，所以0＜a＜3. 答案　(0,3) 5．已知函數(shù)f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋ln x，h(x)＝x－－1的零點分別為x1，x2，x3，則x1，x2，x3的大小關(guān)系是________． 解析　依據(jù)零點的意義，轉(zhuǎn)化為函數(shù)y＝x分別和y＝－2x，y＝－ln x，y＝＋1的交點的橫坐標(biāo)大小問題，作出草圖，易得x1＜0＜x2＜1＜x3. 答案　x1＜x2＜x3 6．若函數(shù)f(x)＝ax＋b(a≠0)有一個零點是2，那么函數(shù)g(x)＝bx2－ax的零點是________． 解析　由已知條件2a＋b＝0，即b＝－2a， g(x)＝－2ax2－ax＝－2ax， 則g(x)的零點是x＝0，x＝－. 答案　0，－ 7．函數(shù)f(x)＝3x－7＋ln x的零點位于區(qū)間(n，n＋1)(n∈N)內(nèi)，則n＝________. 解析　求函數(shù)f(x)＝3x－7＋ln x的零點，可以大致估算兩個相鄰自然數(shù)的函數(shù)值，如f(2)＝－1＋ln 2，由于ln 2＜ln e＝1，所以f(2)＜0，f(3)＝2＋ln 3，由于ln 3＞1，所以f(3)＞0，所以函數(shù)f(x)的零點位于區(qū)間(2,3)內(nèi)，故n＝2. 答案　2 8．已知函數(shù)f(x)＝若函數(shù)g(x)＝f(x)－m有3個零點，則實數(shù)m的取值范圍是________． 解析　畫出f(x)＝ 的圖象，如圖． 由函數(shù)g(x)＝f(x)－m有3個零點，結(jié)合圖象得：0＜m＜1，即m∈(0,1)． 答案　(0,1) 二、解答題 9．函數(shù)f(x)＝x3－3x＋2. (1)求f(x)的零點； (2)求分別滿足f(x)＜0，f(x)＝0，f(x)＞0的x的取值范圍． 解　f(x)＝x3－3x＋2＝x(x－1)(x＋1)－2(x－1)＝ (x－1)(x2＋x－2)＝(x－1)2(x＋2)． (1)令f(x)＝0，函數(shù)f(x)的零點為x＝1或x＝－2. (2)令f(x)＜0，得x＜－2； 所以滿足f(x)＜0的x的取值范圍是(－∞，－2)； 滿足f(x)＝0的x的取值集合是{1，－2}； 令f(x)＞0，得－2＜x＜1或x＞1，滿足f(x)＞0的x的取值范圍是(－2,1)∪(1，＋∞)． 10．若關(guān)于x的方程3x2－5x＋a＝0的一個根在(－2,0)內(nèi)，另一個根在(1,3)內(nèi)，求a的取值范圍． 解　設(shè)f(x)＝3x2－5x＋a， 則f(x)為開口向上的拋物線(如圖所示)． ∵f(x)＝0的兩根分別在區(qū)間(－2，0)，(1,3)內(nèi)， ∴ 即 解得－12＜a＜0. ∴所求a的取值范圍是(－12,0)． 能力提升題組 (建議用時：25分鐘) 一、填空題 1．(2014煙臺模擬)如圖是函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b的圖象，則函數(shù)g(x)＝ln x＋f′(x)的零點所在區(qū)間是________． ①；②(1,2)③； ④(2,3)． 解析　由f(x)的圖象知0＜b＜1，f(1)＝0，從而－2＜a＜－1，g(x)＝ln x＋2x＋a，g(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，g＝ln ＋1＋a＜0，g(1)＝2＋a＞0，gg(1)＜0. 答案?、? 2．(2013連云港檢測)已知函數(shù)y＝f(x)(x∈R)滿足f(x＋1)＝－f(x)，且當(dāng)x∈[－1,1]時，f(x)＝|x|，函數(shù)g(x)＝則函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)在區(qū)間[－5,5]上的零點的個數(shù)為________． 解析　函數(shù)y＝f(x)(x∈R)滿足f(x＋1)＝－f(x)，故f(x＋2)＝－f(x＋1)＝－[－f(x)]＝f(x)，即函數(shù)f(x)的周期為2，作出x∈[－1,1]時，f(x)＝|x|的圖象，并利用周期性作出函數(shù)f(x)在[－5,5]上的圖象，在同一坐標(biāo)系內(nèi)再作出g(x)在[－5,5]上的圖象，由圖象可知，函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有9個交點，所以函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)在區(qū)間[－5,5]上的零點的個數(shù)為9. 答案　9 3．(2013天津卷改編)設(shè)函數(shù)f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝ln x＋x2－3.若實數(shù)a，b滿足f(a)＝0，g(b)＝0，則g(a)，0，f(b)的大小關(guān)系為________． 解析　由f′(x)＝ex＋1＞0知f(x)在R上單調(diào)遞增， 且f(0)＝1－2＜0，f(1)＝e－1＞0， 所以f(a)＝0時，a∈(0,1)． 又g(x)＝ln x＋x2－3在(0，＋∞)上單調(diào)遞增， 且g(1)＝－2＜0，所以g(a)＜0， 由g(2)＝ln 2＋1＞0，g(b)＝0，得b∈(1,2)． 又f(1)＝e－1＞0，∴f(b)＞0.故g(a)＜0＜f(b)． 答案　g(a)＜0＜f(b) 二、解答題 4．(2014深圳調(diào)研)已知二次函數(shù)f(x)的最小值為－4，且關(guān)于x的不等式f(x)≤0的解集為{x|－1≤x≤3，x∈R}． (1)求函數(shù)f(x)的解析式； (2)求函數(shù)g(x)＝－4ln x的零點個數(shù)． 解　(1)∵f(x)是二次函數(shù)，且關(guān)于x的不等式f(x)≤0的解集為{x|－1≤x≤3，x∈R}， ∴f(x)＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a，且a>0. ∴f(x)min＝f(1)＝－4a＝－4，a＝1. 故函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝x2－2x－3. (2)∵g(x)＝－4ln x＝x－－4ln x－2(x>0)， ∴g′(x)＝1＋－＝. 當(dāng)x變化時，g′(x)，g(x)的取值變化情況如下： x (0,1) 1 (1,3) 3 (3，＋∞) g′(x) ＋ 0 － 0 ＋ g(x)  極大值  極小值  當(dāng)0<x≤3時，g(x)≤g(1)＝－4<0. 又因為g(x)在(3，＋∞)單調(diào)遞增，因而g(x)在(3，＋∞)上只有1個零點．故g(x)在(0，＋∞)只有1個零點.