高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫(kù)第二章 第9講　函數(shù)模型及其應(yīng)用

精品資料第9講函數(shù)模型及其應(yīng)用一、填空題1某商場(chǎng)在節(jié)假日對(duì)顧客購(gòu)物實(shí)行一定的優(yōu)惠，商場(chǎng)規(guī)定：如一次購(gòu)物不超過(guò)200元，不給予折扣；如一次購(gòu)物超過(guò)200元而不超過(guò)500元，按標(biāo)準(zhǔn)價(jià)給予九折優(yōu)惠；如一次購(gòu)物超過(guò)500元，其中500元的部分給予九折優(yōu)惠，超過(guò)500元的剩余部分給予八五折優(yōu)惠某人兩次去購(gòu)物，分別付款176元和432元如果他只去一次購(gòu)買同樣的商品，則他應(yīng)該付款為_(kāi)元解析 設(shè)購(gòu)物應(yīng)付款x元，實(shí)際付款y元，則由題意知：y，那么該人兩次實(shí)際購(gòu)物應(yīng)付款分別為x1176元，x24320.9480元，則x1x2656元，如果他只去一次，則應(yīng)該付款y0.8565625582.6元答案 582.62從盛滿20升純消毒液的容器中倒出1升，然后用水加滿，再倒出1升，再用水加滿這樣繼續(xù)下去，則所倒次數(shù)x和殘留消毒液y之間的函數(shù)解析式為_(kāi)解析所倒次數(shù)1次，則y19；所倒次數(shù)2次，則y19，所倒次數(shù)x次，則y19x120x.答案y20x3為了保證信息安全，傳輸必須使用加密方式，有一種方式其加密、解密原理如下：明文密文密文明文已知加密為yax2(x為明文，y為密文)，如果明文“3”通過(guò)加密后得到密文為“6”，再發(fā)送，接受方通過(guò)解密得到明文“3”，若接受方接到密文為“14”，則原發(fā)的明文為_(kāi)解析依題意yax2中，當(dāng)x3時(shí)，y6，故6a32，解得a2.所以加密為y2x2，因此，當(dāng)y14時(shí)，由142x2，解得x4.答案44某種儲(chǔ)蓄按復(fù)利計(jì)算利息，若本金為a元，每期利率為r，存期是x，本利和(本金加利息)為y元，則本利和y隨存期x變化的函數(shù)關(guān)系式為_(kāi)解析已知本金為a元，利率為r，則1期后本利和為yaara(1r)，2期后本利和為ya(1r)a(1r)ra(1r)2，3期后本利和為ya(1r)3，x期后本利和為ya(1r)x，xN*.答案ya(1r)x，xN*5. 某廠有許多形狀為直角梯形的鐵皮邊角料(如圖)，為降低消耗，開(kāi)源節(jié)流，現(xiàn)要從這些邊角料上截取矩形鐵片(如圖中陰影部分)備用，當(dāng)截取的矩形面積最大時(shí)，矩形兩邊長(zhǎng)x，y應(yīng)分別為_(kāi)解析由三角形相似，得，得x(24y)，所以Sxy(y12)2180，所以當(dāng)y12時(shí)，Smax180，此時(shí)x15.答案15,126將甲桶中的a升水緩慢注入空桶乙中，t分鐘后甲桶中剩余的水符合指數(shù)衰減曲線yaent.若5分鐘后甲桶和乙桶的水量相等，又過(guò)了m分鐘后甲桶中的水只有升，則m的值為_(kāi)解析 令aaent，即ent，因?yàn)閑5n，故e15n，比較知t15，m15510.答案 107小王每月除去所有日常開(kāi)支，大約結(jié)余a元小王決定采用零存整取的方式把余錢積蓄起來(lái)，每月初存入銀行a元，存期1年(存12次)，到期取出本和息假設(shè)一年期零存整取的月利率為r，每期存款按單利計(jì)息那么，小王的存款到期利息為_(kāi)元解析 依題意得，小王存款到期利息為12ar11ar10ar3ar2ararar78ar元答案 78ar8一個(gè)工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品每年需要固定投資100萬(wàn)元，此外每生產(chǎn)1件該產(chǎn)品還需要增加投資1萬(wàn)元，年產(chǎn)量為x(xN*)件當(dāng)x20時(shí)，年銷售總收入為(33xx2)萬(wàn)元；當(dāng)x>20時(shí)，年銷售總收入為260萬(wàn)元記該工廠生產(chǎn)并銷售這種產(chǎn)品所得的年利潤(rùn)為y萬(wàn)元，則y(萬(wàn)元)與x(件)的函數(shù)關(guān)系式為_(kāi)，該工廠的年產(chǎn)量為_(kāi)件時(shí)，所得年利潤(rùn)最大(年利潤(rùn)年銷售總收入一年總投資)解析 本題考查了函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用當(dāng)x20時(shí)，y(33xx2)x100x232x100；當(dāng)x>20時(shí)，y260100x160x.故y(xN*)當(dāng)0<x20時(shí)，yx232x100(x16)2156，x16時(shí)，ymax156.而當(dāng)x>20時(shí)，160x<140，故x16時(shí)取得最大年利潤(rùn)答案 y(xN*)；169某商人購(gòu)貨，進(jìn)價(jià)已按原價(jià)a扣去25%.他希望對(duì)貨物訂一新價(jià)，以便按新價(jià)讓利20%銷售后仍可獲得售價(jià)25%的利潤(rùn)，則此商人經(jīng)營(yíng)這種貨物的件數(shù)x與按新價(jià)讓利總額y之間的函數(shù)關(guān)系式為_(kāi)解析設(shè)新價(jià)為b，依題意，有b(120%)a(125%)b(120%)25%，化簡(jiǎn)得ba，所以yb20%xa20%x，即yx(xN*)答案yx(xN*)10.某醫(yī)藥研究所開(kāi)發(fā)的一種新藥，如果成年人按規(guī)定的劑量服用，據(jù)監(jiān)測(cè)：服藥后每毫升血液中的含藥量y(微克)與時(shí)間t(小時(shí))之間近似滿足如圖所示的曲線則第一次服藥后y與t之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)f(t)_.據(jù)進(jìn)一步測(cè)定：每毫升血液中含藥量不少于0.25微克時(shí)，治療有效則服藥一次后治療有效的時(shí)間是_小時(shí)解析設(shè)y當(dāng)t1時(shí)，由y4得k4，由1a4得a3.則y由y0.25得或解得t5，因此服藥一次后治療有效的時(shí)間是5小時(shí)答案y二、解答題11即將開(kāi)工的上海與周邊城市的城際列車鐵路線將大大緩解交通的壓力，加速城市之間的流通根據(jù)測(cè)算，如果一列火車每次拖4節(jié)車廂，每天能來(lái)回16次；如果每次拖7節(jié)車廂，則每天能來(lái)回10次每天來(lái)回次數(shù)是每次拖掛車廂個(gè)數(shù)的一次函數(shù)，每節(jié)車廂一次能載客110人，試問(wèn)每次應(yīng)拖掛多少節(jié)車廂才能使每天營(yíng)運(yùn)人數(shù)最多？并求出每天最多的營(yíng)運(yùn)人數(shù)(注：營(yíng)運(yùn)人數(shù)指火車運(yùn)送的人數(shù))解設(shè)這列火車每天來(lái)回次數(shù)為t次，每次拖掛車廂n節(jié)，則設(shè)tknb.由解得所以t2n24.設(shè)每次拖掛n節(jié)車廂每天營(yíng)運(yùn)人數(shù)為y人，則ytn11022(220n22 640n)當(dāng)n6時(shí)，總?cè)藬?shù)最多為15 840人故每次應(yīng)拖掛6節(jié)車廂才能使每天的營(yíng)運(yùn)人數(shù)最多為15 840人12某創(chuàng)業(yè)投資公司擬投資開(kāi)發(fā)某種新能源產(chǎn)品，估計(jì)能獲得10萬(wàn)元到1 000萬(wàn)元的投資收益現(xiàn)準(zhǔn)備制定一個(gè)對(duì)科研課題組的獎(jiǎng)勵(lì)方案：獎(jiǎng)金y(單位：萬(wàn)元)隨投資收益x(單位：萬(wàn)元)的增加而增加，且獎(jiǎng)金不超過(guò)9萬(wàn)元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過(guò)收益的20%.(1)請(qǐng)分析函數(shù)y2是否符合公司要求的獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)模型，并說(shuō)明原因；(2)若該公司采用函數(shù)模型y作為獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)模型，試確定最小的正整數(shù)a的值解：(1)對(duì)于函數(shù)模型yf(x)2，當(dāng)x10,1 000時(shí)，f(x)為增函數(shù)，f(x)maxf(1 000)22<9，所以f(x)9恒成立，但當(dāng)x10時(shí)，f(10)2>，即f(x)不恒成立，故函數(shù)模型y2不符合公司要求(2)對(duì)于函數(shù)模型yg(x)，即g(x)10，當(dāng)3a20>0，即a>時(shí)遞增，為使g(x)9對(duì)于x10,1 000恒成立，即要g(1 000)9,3a181 000，即a，來(lái)源:為使g(x)對(duì)于x10,1 000恒成立，即要5，即x248x15a0恒成立，即(x24)215a5760(x10,1 000)恒成立，又2410,1 000，故只需15a5760即可，所以a.綜上，a，故最小的正整數(shù)a的值為39.13我國(guó)是水資源比較貧乏的國(guó)家之一，各地采用價(jià)格調(diào)控等手段以達(dá)到節(jié)約用水的目的某市用水收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：水費(fèi)基本費(fèi)超額費(fèi)定額損耗費(fèi)，且有如下三條規(guī)定：若每月用水量不超過(guò)最低限量m立方米時(shí)，只付基本費(fèi)9元和每戶每月定額損耗費(fèi)a元；若每月用水量超過(guò)m立方米時(shí)，除了付基本費(fèi)和定額損耗費(fèi)外，超過(guò)部分每立方米付n元的超額費(fèi)；每戶每月的定額損耗費(fèi)a不超過(guò)5元(1)求每戶每月水費(fèi)y(元)與月用水量x(立方米)的函數(shù)關(guān)系式；(2)該市一家庭今年第一季度每月的用水量和支付的費(fèi)用如下表所示：月份用水量(立方米)水費(fèi)(元)一417二523三2.511試分析該家庭今年一、二、三各月份的用水量是否超過(guò)最低限量，并求m，n，a的值解：(1)依題意，得y其中0<a5.(2)0<a5，9<9a14.由于該家庭今年一、二月份的水費(fèi)均大于14元，故用水量4立方米，5立方米都大于最低限量m立方米將和分別代入(*)得兩式相減，得n6.代入179n(4m)a得a6m16.又三月份用水量為2.5立方米，若m<2.5，將代入(*)，得a6m13，這與a6m16矛盾m2.5，即該家庭三月份用水量2.5立方米沒(méi)有超過(guò)最低限量，將代入(*)得119a.由解得所以，該家庭今年一、二月份用水量超過(guò)最低限量，三月份用水量沒(méi)有超過(guò)最低限量，m3，n6，a2.14為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，房屋的房頂和外墻需要建造隔熱層某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬(wàn)元該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C(單位：萬(wàn)元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關(guān)系：C(x)(0x10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬(wàn)元設(shè)f(x)為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和(1)求k的值及f(x)的表達(dá)式；(2)隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小，并求最小值解(1)設(shè)隔熱層厚度為x cm，由題設(shè)，每年能源消耗費(fèi)用為C(x)，再由C(0)8，得k40，因此C(x).而建造費(fèi)用為C1(x)6x.最后得隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和為f(x)20C(x)C1(x)206x6x(0x10)(2)f(x)210221070(當(dāng)且僅當(dāng)3x5，即x5時(shí)，“”成立)，所以當(dāng)x5時(shí)，f(x)minf(5)70.故隔熱層修建5 cm厚時(shí)，總費(fèi)用達(dá)到最小值70萬(wàn)元.