高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫(kù)第二章 第8講 函數(shù)與方程
精品資料第8講函數(shù)與方程一、填空題1若a>2,則函數(shù)f(x)x3ax21在(0,2)內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_解析 依題意得f(x)x22ax,由a>2可知,f(x)在x(0,2)時(shí)恒為負(fù),即f(x)在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減,又f(0)1>0,f(2)4a1<0,因此f(x)在(0,2)內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)答案 12已知符號(hào)函數(shù)sgn(x)則函數(shù)f(x)sgn(ln x)ln2x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_解析 依題意得,當(dāng)x1時(shí),ln x0,sgn(ln x)1,f(x)sgn(ln x)ln2x1ln2x,令1ln2x0,得xe或x,結(jié)合x1,得xe;當(dāng)x1時(shí),ln x0,sgn(ln x)0,f(x)ln2x,令ln2x0,得x1,符合;當(dāng)0x1時(shí),ln x0,sgn(ln x)1,f(x)1ln2x.令1ln2x0,得ln2x1,此時(shí)無(wú)解因此,函數(shù)f(x)sgn(ln x)ln2x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.答案 23若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x2)f(x),且x1,1時(shí),f(x)1x2,函數(shù)g(x)則函數(shù)h(x)f(x)g(x)在區(qū)間5,5內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是_解析 依題意得,函數(shù)f(x)是以2為周期的函數(shù),在同一坐標(biāo)系下畫出函數(shù)yf(x)與函數(shù)yg(x)的圖象,結(jié)合圖象得,當(dāng)x5,5時(shí),它們的圖象的公共點(diǎn)共有8個(gè),即函數(shù)h(x)f(x)g(x)在區(qū)間5,5內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是8.答案 84設(shè)函數(shù)f(x)xln x(x0),則函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1),(1,)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)分別為_解析設(shè)yx與yln x,作圖象可知f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)無(wú)零點(diǎn),在(1,)內(nèi)僅有兩個(gè)零點(diǎn)答案0,25設(shè)函數(shù)f(x)則函數(shù)g(x)f(x)log4x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_解析設(shè)yf(x)與ylog4x,分別畫出它們的圖象,得有2個(gè)交點(diǎn),所以函數(shù)g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.答案26已知函數(shù)f(x)若函數(shù)g(x)f(x)m有3個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_解析畫出圖象,令g(x)f(x)m0,即yf(x)與ym的圖象的交點(diǎn)有3個(gè),0m1.答案(0,1)7方程log2(x4)2x的根有_個(gè)解析 作函數(shù)ylog2(x4),y2x的圖象如圖所示,兩圖象有兩個(gè)交點(diǎn),且交點(diǎn)橫坐標(biāo)一正一負(fù),方程有一正根和一負(fù)根答案 28已知函數(shù)f(x)x2(1k)xk的一個(gè)零點(diǎn)在(2,3)內(nèi),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_解析因?yàn)?1k)24k(1k)20對(duì)一切kR恒成立,又k1時(shí),f(x)的零點(diǎn)x1(2,3),故要使函數(shù)f(x)x2(1k)xk的一個(gè)零點(diǎn)在(2,3)內(nèi),則必有f(2)f(3)<0,即2<k<3.答案(2,3)9若關(guān)于x的方程kx1ln x有解,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_解析如圖,若ykx1與yln x相切于點(diǎn)P(x0,y0),則解得x0e2,k.欲使方程有解,則ykx1與yln x有公共點(diǎn),所以k.答案10已知函數(shù)f(x)1x,g(x)1x,設(shè)F(x)f(x3)g(x3),且函數(shù)F(x)的零點(diǎn)均在區(qū)間a,b(ab,a,bZ)內(nèi),則ba的最小值為_解析由f(x)1xx2x3x2 010,則f(x)0,f(x)為增函數(shù),又f(0)10,f(1)0,從而f(x)的零點(diǎn)在(1,0)上;同理g(x)為減函數(shù),零點(diǎn)在(1,2)上,F(xiàn)(x)的零點(diǎn)在(4,3)和(4,5)上,要使區(qū)間a,b包含上述區(qū)間,則需(ba)min9.答案9二、解答題11已知函數(shù)f(x)x22exm1,g(x)x(x>0)(1)若g(x)m有零點(diǎn),求m的取值范圍;(2)試確定m的取值范圍,使得g(x)f(x)0有兩個(gè)相異實(shí)根解 (1)g(x)x22e,等號(hào)成立的條件是xe,故g(x)的值域是2e,),因而只需m2e,則g(x)m就有零點(diǎn)(2)若g(x)f(x)0有兩個(gè)相異的實(shí)根,即g(x)與f(x)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)作出g(x)x(x>0)和f(x)的圖象如圖f(x)x22exm1(xe)2m1e2,其對(duì)稱軸為直線xe,開口向下,最大值為m1e2,故當(dāng)m1e2>2e,即m>e22e1時(shí),g(x)與f(x)有兩個(gè)交點(diǎn),即g(x)f(x)0有兩個(gè)相異實(shí)根,m的取值范圍是m>e22e1.12已知二次函數(shù)f(x)4x22(p2)x2p2p1在區(qū)間1,1內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)c,使f(c)0,求實(shí)數(shù)p的取值范圍解 二次函數(shù)f(x)在區(qū)間1,1內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)c,使f(c)0的否定是對(duì)于區(qū)間1,1內(nèi)的任意一個(gè)x都有f(x)0,即整理得解得p或p3,二次函數(shù)f(x)在區(qū)間1,1內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)c,使f(c)0的實(shí)數(shù)p的取值范圍是.13已知函數(shù)f(x)|xa|ln x,aR.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2(x1<x2),求證:1<x1<a<x2<a2.(1)解由題意,函數(shù)的定義域?yàn)?0,),當(dāng)a0時(shí),f(x)|xa|ln xxaln x,f(x)1>0,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,)當(dāng)a>0時(shí),f(x)|xa|ln x若xa,f(x)1>0,此時(shí)函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,若0<x<a,f(x)1<0,此時(shí)函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,綜上,當(dāng)a0時(shí),函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,);當(dāng)a>0時(shí),函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,a);單調(diào)遞增區(qū)間為(a,)(2)證明由(1)知,當(dāng)a0時(shí),函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,至多只有一個(gè)零點(diǎn),不合題意;則必有a>0,此時(shí)函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,a);單調(diào)遞增區(qū)間為(a,),由題意,必須f(a)ln a<0,解得a>1.由f(1)a1ln 1a1>0,f(a)<0,得x1(1,a)而f(a2)a2aaln aa(a1ln a),下面證明:a>1時(shí),a1ln a>0.設(shè)g(x)x1ln x,x>1,則g(x)1>0,g(x)在x>1時(shí)遞增,則g(x)>g(1)0,f(a2)a2aaln aa(a1ln a)>0,又f(a)<0,x2(a,a2),綜上,1<x1<a<x2<a2.14設(shè)函數(shù)f(x)3ax22(ac)xc (a>0,a,cR)(1)設(shè)a>c>0.若f(x)>c22ca對(duì)x1,)恒成立,求c的取值范圍;(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)是否有零點(diǎn),有幾個(gè)零點(diǎn)?為什么?解(1)因?yàn)槎魏瘮?shù)f(x)3ax22(ac)xc的圖象的對(duì)稱軸為x,由條件a>c>0,得2a>ac,故<<1,即二次函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸在區(qū)間1,)的左邊,且拋物線開口向上,故f(x)在1,)內(nèi)是增函數(shù)若f(x)>c22ca對(duì)x1,)恒成立,則f(x)minf(1)>c22ca,即ac>c22ca,得c2c<0,所以0<c<1.(2)若f(0)f(1)c(ac)<0,則c<0,或a<c,二次函數(shù)f(x)在(0,1)內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)若f(0)c>0,f(1)ac>0,則a>c>0.因?yàn)槎魏瘮?shù)f(x)3ax22(ac)xc的圖象的對(duì)稱軸是x.而f<0,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間和內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn),故函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)