高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫(kù) 第7章學(xué)案35

精品資料學(xué)案35合情推理與演繹推理導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理，了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用.2.了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡(jiǎn)單推理.3.了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異自主梳理自我檢測(cè)1(2010·山東改編)觀察(x2)2x，(x4)4x3，(cos x)sin x，由歸納推理可得：若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)f(x)，記g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g(x)_.2(2010·珠海質(zhì)檢)給出下面類比推理命題(其中Q為有理數(shù)集，R為實(shí)數(shù)集，C為復(fù)數(shù)集)：“若a，bR，則ab0ab”類比推出“若a，bC，則ab0ab”；“若a，b，c，dR，則復(fù)數(shù)abicdiac，bd”類比推出“若a，b，c，dQ，則abcdac，bd”；“若a，bR，則ab>0a>b”類比推出“若a，bC，則ab>0a>b”其中類比結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是_3(2009·江蘇)在平面上，若兩個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)比為12，則它們的面積比為14，類似地，在空間中，若兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)比為12，則它們的體積比為_4(2010·陜西)觀察下列等式：132332,13233362,13233343102，根據(jù)上述規(guī)律，第五個(gè)等式為_5(2010·蘇州統(tǒng)一測(cè)試)一切奇數(shù)都不能被2整除，21001是奇數(shù)，所以21001不能被2整除，其演繹推理的“三段論”的形式為_.探究點(diǎn)一歸納推理例1在數(shù)列an中，a11，an1，nN*，猜想這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，這個(gè)猜想正確嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由變式遷移1觀察：sin210°cos240°sin 10°cos 40°；sin26°cos236°sin 6°cos 36°.由上面兩題的結(jié)構(gòu)規(guī)律，你能否提出一個(gè)猜想？并證明你的猜想探究點(diǎn)二類比推理例2在平面內(nèi)，可以用面積法證明下面的結(jié)論：從三角形內(nèi)部任意一點(diǎn)，向各邊引垂線，其長(zhǎng)度分別為pa，pb，pc，且相應(yīng)各邊上的高分別為ha，hb，hc，則有1.請(qǐng)你運(yùn)用類比的方法將此結(jié)論推廣到四面體中并證明你的結(jié)論變式遷移2在RtABC中，若C90°，ACb，BCa，則ABC的外接圓半徑r，將此結(jié)論類比到空間有_.探究點(diǎn)三演繹推理例3在銳角三角形ABC中，ADBC，BEAC，D、E是垂足求證：AB的中點(diǎn)M到D、E的距離相等變式遷移3指出對(duì)結(jié)論“已知和是無(wú)理數(shù)，證明是無(wú)理數(shù)”的下述證明是否為“三段論”，證明有錯(cuò)誤嗎？證明：無(wú)理數(shù)與無(wú)理數(shù)的和是無(wú)理數(shù)，而與都是無(wú)理數(shù)，也是無(wú)理數(shù)1合情推理是指“合乎情理”的推理，數(shù)學(xué)研究中，得到一個(gè)新結(jié)論之前，合情推理常常能幫助我們猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)論；證明一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論之前，合情推理常常能為我們提供證明的思路和方向合情推理的過(guò)程概括為：.一般來(lái)說(shuō)，由合情推理所獲得的結(jié)論，僅僅是一種猜想，其可靠性還需進(jìn)一步證明2歸納推理與類比推理都屬合情推理：(1)歸納推理：由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理，或由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理它是一種由部分到整體，由個(gè)別到一般的推理(2)類比推理：由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理稱為類比推理，它是一種由特殊到特殊的推理3從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論，把這種推理稱為演繹推理，也就是由一般到特殊的推理，三段論是演繹推理的一般模式，包括大前提，小前提，結(jié)論 (滿分：90分)一、填空題(每小題6分，共48分)1(2010·福建廈門華僑中學(xué)模擬)定義A*B，B*C，C*D，D*A的運(yùn)算分別對(duì)應(yīng)下圖中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么下圖中的(A)、(B)所對(duì)應(yīng)的運(yùn)算結(jié)果分別為_2(2010·廈門模擬)設(shè)f(x)，又記f1(x)f(x)，fk1(x)f(fk(x)，k1,2，則f2 011(x)_.3由代數(shù)式的乘法法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則：“mnnm”類比得到“a·bb·a”；“(mn)tmtnt”類比得到“(ab)·ca·cb·c”；“(m·n)tm(n·t)”類比得到“(a·b)·ca·(b·c)”；“t0，mtxtmx”類比得到“p0，a·px·pax”；“|m·n|m|·|n|”類比得到“|a·b|a|·|b|”；“”類比得到“”以上的式子中，類比得到的結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是_4(2011·南通月考)有一個(gè)奇數(shù)列1,3,5,7,9，現(xiàn)在進(jìn)行如下分組：第一組含有一個(gè)數(shù)1，第二組含有兩個(gè)數(shù)3,5；第三組含有三個(gè)數(shù)：7,9,11；第四組含有四個(gè)數(shù)：13,15,17,19；試觀察每組內(nèi)各數(shù)之和與組的編號(hào)數(shù)n的關(guān)系為_5已知整數(shù)的數(shù)對(duì)如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，則第60個(gè)數(shù)對(duì)是_6已知正三角形內(nèi)切圓的半徑是高的，把這個(gè)結(jié)論推廣到空間正四面體，類似的結(jié)論是_.7(2010·廣東深圳高級(jí)中學(xué)一模)定義一種運(yùn)算“*”：對(duì)于自然數(shù)n滿足以下運(yùn)算性質(zhì)：(1)1.8(2011·陜西，13)觀察下列等式11234934567254567891049照此規(guī)律，第n個(gè)等式為_二、解答題(共42分)9(14分)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a1，且Sn20(n2)計(jì)算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表達(dá)式10(14分)已知函數(shù)f(x) (a>0且a1)，(1)證明：函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；(2)求f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)的值11(14分)如圖1，若射線OM，ON上分別存在點(diǎn)M1，M2與點(diǎn)N1，N2，則·；如圖2，若不在同一平面內(nèi)的射線OP，OQ和OR上分別存在點(diǎn)P1，P2，點(diǎn)Q1，Q2和點(diǎn)R1，R2，則類似的結(jié)論是什么？這個(gè)結(jié)論正確嗎？說(shuō)明理由學(xué)案35合情推理與演繹推理答案自主梳理歸納推理一般性部分個(gè)別類比推理一般性原理特殊對(duì)象特殊對(duì)象一般特殊自我檢測(cè)1g(x)解析由所給函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)知，偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)因此當(dāng)f(x)是偶函數(shù)時(shí)，其導(dǎo)函數(shù)應(yīng)為奇函數(shù)，故g(x)g(x)22解析正確，錯(cuò)誤因?yàn)閮蓚€(gè)復(fù)數(shù)如果不全是實(shí)數(shù)，不能比較大小318解析兩個(gè)正三角形是相似的三角形，它們的面積之比是相似比的平方同理，兩個(gè)正四面體是兩個(gè)相似幾何體，體積之比為相似比的立方，所以它們的體積比為18.4132333435363212解析由前三個(gè)式子可以得出如下規(guī)律：每個(gè)式子等號(hào)的左邊是從1開始的連續(xù)正整數(shù)的立方和，且個(gè)數(shù)依次多1，等號(hào)的右邊是一個(gè)正整數(shù)的平方，后一個(gè)正整數(shù)依次比前一個(gè)大3,4，因此，第五個(gè)等式為132333435363212.5一切奇數(shù)都不能被2整除大前提21001是奇數(shù)小前提所以21001不能被2整除結(jié)論課堂活動(dòng)區(qū)例1解題導(dǎo)引歸納分為完全歸納和不完全歸納，由歸納推理所得的結(jié)論雖然未必是可靠的，但它由特殊到一般、由具體到抽象的認(rèn)識(shí)功能，對(duì)科學(xué)的發(fā)現(xiàn)是十分有用的，觀察、實(shí)驗(yàn)，對(duì)有限的資料作歸納整理，提出帶規(guī)律性的說(shuō)法是科學(xué)研究的最基本的方法之一解在an中，a11，a2，a3，a4，所以猜想an的通項(xiàng)公式為an.這個(gè)猜想是正確的，證明如下：因?yàn)閍11，an1，所以，即，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以1(n1)×n，所以通項(xiàng)公式an.變式遷移1解猜想sin2cos2(30°)sin cos(30°).證明如下：左邊sin2cos(30°)cos(30°)sin sin2sin2cos2sin2右邊例2解題導(dǎo)引類比推理是根據(jù)兩個(gè)對(duì)象有一部分屬性類似，推出這兩個(gè)對(duì)象的其他屬性亦類似的一種推理方法，例如我們拿分式同分?jǐn)?shù)來(lái)類比，平面幾何與立體幾何中的某些對(duì)象類比等等我們必須清楚類比并不是論證，它可以幫助我們發(fā)現(xiàn)真理類比推理應(yīng)從具體問(wèn)題出發(fā)，通過(guò)觀察、分析、聯(lián)想進(jìn)行對(duì)比、歸納、提出猜想解類比：從四面體內(nèi)部任意一點(diǎn)向各面引垂線，其長(zhǎng)度分別為pa，pb，pc，pd，且相應(yīng)各面上的高分別為ha，hb，hc，hd，則有1.證明如下：，同理有，VPBCDVPCDAVPBDAVPABCVABCD，1.變式遷移2在三棱錐ABCD中，若AB、AC、AD兩兩互相垂直，且ABa，ACb，ADc，則此三棱錐的外接球半徑R例3解題導(dǎo)引在演繹推理中，只有前提(大前提、小前提)和推理形式都是正確的，結(jié)論才是正確的，否則所得的結(jié)論可能就是錯(cuò)誤的推理時(shí)，要清楚大前提、小前提及二者之間的邏輯關(guān)系證明(1)因?yàn)橛幸粋€(gè)內(nèi)角是直角的三角形是直角三角形，大前提在ABD中，ADBC，即ADB90°，小前提所以ADB是直角三角形結(jié)論(2)因?yàn)橹苯侨切涡边吷系闹芯€等于斜邊的一半，大前提而M是RtADB斜邊AB的中點(diǎn)，DM是斜邊上的中線，小前提所以DMAB.結(jié)論同理EMAB，所以DMEM.變式遷移3解證明是“三段論”模式，證明有錯(cuò)誤證明中大前提使用的論據(jù)是“無(wú)理數(shù)與無(wú)理數(shù)的和是無(wú)理數(shù)”，這個(gè)論據(jù)是假的，因?yàn)閮蓚€(gè)無(wú)理數(shù)的和不一定是無(wú)理數(shù)，因此原理的真實(shí)性仍無(wú)法斷定課后練習(xí)區(qū)1B*D，A*C解析由(1)(2)(3)(4)圖得A表示|，B表示，C表示，D表示，故圖(A)(B)表示B*D和A*C.2.解析計(jì)算f2(x)f，f3(x)f，f4(x)x，f5(x)f1(x)，歸納得f4ki(x)fi(x)，kN*，i1,2,3,4.f2 011(x)f3(x).32解析只有、對(duì)，其余錯(cuò)誤4每組內(nèi)各數(shù)之和等于n3解析113,3523,791133.猜想每組內(nèi)各數(shù)之和等于n3.5(5,7)解析觀察可知橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)之和為2的數(shù)對(duì)有1個(gè)，和為3的數(shù)對(duì)有2個(gè)，和為4的數(shù)對(duì)有3個(gè)，和為5的數(shù)對(duì)有4個(gè)，依次類推和為n1的數(shù)對(duì)有n個(gè)，多個(gè)數(shù)對(duì)的排序是按照橫坐標(biāo)依次增大的順序來(lái)排的，由60n(n1)120，nZ，n10時(shí)，55(個(gè))數(shù)對(duì)，還差5個(gè)數(shù)對(duì)，且這5個(gè)數(shù)對(duì)的橫、縱坐標(biāo)之和為12，它們依次是(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，第60個(gè)數(shù)對(duì)是(5,7)6空間正四面體的內(nèi)切球的半徑是高的解析利用體積分割可證明7n解析由(n1)*1n*11，得n*1(n1)*11(n2)*1218n(n1)(3n2)(2n1)2解析112,234932,345672552，第n個(gè)等式為n(n1)(3n2)(2n1)2.9解當(dāng)n1時(shí)，S1a1.(2分)當(dāng)n2時(shí)，2S1，S2.(5分)當(dāng)n3時(shí)，2S2，S3.(8分)當(dāng)n4時(shí)，2S3，S4.(11分)猜想：Sn (nN*)(14分)10(1)證明函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，任取一點(diǎn)(x，y)，它關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1x，1y)(2分)由已知得y，則1y1，(4分)f(1x)，1yf(1x)即函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(7分)(2)解由(1)有1f(x)f(1x)，即f(x)f(1x)1.(10分)f(2)f(3)1，f(1)f(2)1，f(0)f(1)1，則f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)3.(14分)11解類似的結(jié)論為：··.(4分)這個(gè)結(jié)論是正確的，證明如下：如圖，過(guò)R2作R2M2平面P2OQ2于M2，連結(jié)OM2.過(guò)R1在平面OR2M2作R1M1R2M2交OM2于M1，則R1M1平面P2OQ2.由VOP1Q1R1SP1OQ1·R1M1·OP1·OQ1·sinP1OQ1·R1M1OP1·OQ1·R1M1·sinP1OQ1，(8分)同理，VOP2Q2R2OP2·OQ2·R2M2·sinP2OQ2.所以.(10分)由平面幾何知識(shí)可得.(12分)所以.所以結(jié)論正確(14分)