高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫(kù) 第一章 1.1

精品資料1.1集合的概念與運(yùn)算1集合與元素(1)集合元素的三個(gè)特征：確定性、互異性、無(wú)序性(2)元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于關(guān)系，用符號(hào)或表示(3)集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法(4)常見(jiàn)數(shù)集的記法集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號(hào)NN*(或N)ZQR2.集合間的關(guān)系(1)子集：對(duì)任意的xA，都有xB，則AB(或BA)(2)真子集：若AB，且AB，則AB(或BA)(3)空集：空集是任意一個(gè)集合的子集，是任何非空集合的真子集即A，B(B)(4)若A含有n個(gè)元素，則A的子集有2n個(gè)，A的非空子集有2n1個(gè)(5)集合相等：若AB，且BA，則AB.3集合的運(yùn)算集合的并集集合的交集集合的補(bǔ)集圖形符號(hào)ABx|xA或xBABx|xA且xBUAx|xU，且xA4.集合的運(yùn)算性質(zhì)并集的性質(zhì)：AA；AAA；ABBA；ABABA.交集的性質(zhì)：A；AAA；ABBA；ABAAB.補(bǔ)集的性質(zhì)：A(UA)U；A(UA)；U(UA)A.1判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)Ax|yx21y|yx21(x，y)|yx21()(2)1,2,33,2,1()(3)0()(4)若ABAC，則BC.()(5)已知集合M1,2,3,4，N2,3，則MNN.()(6)若全集U1,0,1,2，PxZ|x2<4，則UP2()2已知集合A1,0,1，Bx|1x<1，則AB等于_答案1,0解析1,0B,1B，AB1,03已知集合A0,1,2，則集合Bxy|xA，yA中元素的個(gè)數(shù)是_答案5解析xy.4(2013課標(biāo)全國(guó)改編)已知集合Mx|(x1)2<4，xR，N1,0,1,2,3，則MN等于_答案0,1,2解析化簡(jiǎn)集合M得Mx|1<x<3，xR，則MN0,1,25設(shè)集合Ax|x22x3>0，集合Bx|x22ax10，a>0若AB中恰含有一個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案解析Ax|x22x3>0x|x>1或x<3，因?yàn)楹瘮?shù)yf(x)x22ax1的對(duì)稱(chēng)軸為xa>0，f(0)1<0，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知要使AB中恰含有一個(gè)整數(shù)，則這個(gè)整數(shù)為2，所以有f(2)0且f(3)>0，即所以即a<.題型一集合的基本概念例1(1)已知集合A1,2,3,4,5，B(x，y)|xA，yA，xyA，則B中所含元素的個(gè)數(shù)為_(kāi)(2)設(shè)a，bR，集合1，ab，a，則ba_.思維啟迪解決集合問(wèn)題首先要理解集合的含義，明確元素的特征，抓住集合的“三性”答案(1)10(2)2解析(1)由xyA，及A1,2,3,4,5得x>y，當(dāng)y1時(shí)，x可取2,3,4,5，有4個(gè)；當(dāng)y2時(shí)，x可取3,4,5，有3個(gè)；當(dāng)y3時(shí)，x可取4,5，有2個(gè)；當(dāng)y4時(shí)，x可取5，有1個(gè)故共有123410(個(gè))(2)因?yàn)?，ab，a，a0，所以ab0，得1，所以a1，b1.所以ba2.思維升華(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含義，再看元素的限制條件，明白集合的類(lèi)型，是數(shù)集、點(diǎn)集還是其他類(lèi)型集合；(2)集合中元素的互異性常常容易忽略，求解問(wèn)題時(shí)要特別注意分類(lèi)討論的思想方法常用于解決集合問(wèn)題(1)已知集合A(x，y)|x，yR，且x2y21，B(x，y)|x，yR，且yx，則AB的元素個(gè)數(shù)為_(kāi)(2)若集合Ax|ax23x20的子集只有兩個(gè)，則實(shí)數(shù)a_.答案(1)2(2)0或解析(1)集合A表示的是圓心在原點(diǎn)的單位圓，集合B表示的是直線(xiàn)yx，據(jù)此畫(huà)出圖象，可得圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即AB的元素個(gè)數(shù)為2.(2)集合A的子集只有兩個(gè)，A中只有一個(gè)元素當(dāng)a0時(shí)，x符合要求當(dāng)a0時(shí)，(3)24a20，a.故a0或.題型二集合間的基本關(guān)系例2(1)已知集合Ax|x23x20，xR，Bx|0<x<5，xN，則滿(mǎn)足條件ACB的集合C的個(gè)數(shù)為_(kāi)(2)已知集合Ax|2x7，Bx|m1<x<2m1，若BA，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_思維啟迪對(duì)于含有有限個(gè)元素的集合的子集，可按含元素的個(gè)數(shù)依次寫(xiě)出；BA不要忽略B的情形答案(1)4(2)(，4解析(1)用列舉法表示集合A，B，根據(jù)集合關(guān)系求出集合C的個(gè)數(shù)由x23x20得x1或x2，A1,2由題意知B1,2,3,4，滿(mǎn)足條件的C可為1,2，1,2,3，1,2,4，1,2,3,4(2)當(dāng)B時(shí)，有m12m1，則m2.當(dāng)B時(shí)，若BA，如圖則，解得2<m4.綜上，m的取值范圍為m4.思維升華(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合關(guān)系時(shí)，必須優(yōu)先考慮空集的情況，否則會(huì)造成漏解；(2)已知兩個(gè)集合間的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點(diǎn)間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)所滿(mǎn)足的關(guān)系常用數(shù)軸、Venn圖來(lái)直觀解決這類(lèi)問(wèn)題(1)設(shè)M為非空的數(shù)集，M1,2,3，且M中至少含有一個(gè)奇數(shù)元素，則這樣的集合M共有_個(gè)(2)已知集合Ax|log2x2，B(，a)，若AB，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(c，)，其中c_.答案(1)6(2)4解析(1)集合1,2,3的所有子集共有238(個(gè))，集合2的所有子集共有2個(gè)，故滿(mǎn)足要求的集合M共有826(個(gè))(2)由log2x2，得0<x4，即Ax|0<x4，而B(niǎo)(，a)，由于AB，如圖所示，則a>4，即c4.題型三集合的基本運(yùn)算例3(1)(2013湖北改編)已知全集為R，集合A，B，則A(RB)等于_(2)(2012天津)已知集合AxR|x2|<3，集合BxR|(xm)(x2)<0，且AB(1，n)，則m_，n_.思維啟迪集合的運(yùn)算問(wèn)題可先對(duì)集合進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后結(jié)合數(shù)軸或Venn圖計(jì)算答案(1)x|0x<2或x>4(2)11解析(1)Ax|x0，Bx|2x4A(RB)x|x0x|x>4或x<2x|0x<2或x>4(2)先求出集合A，再根據(jù)集合的交集的特點(diǎn)求解Ax|5<x<1，因?yàn)锳Bx|1<x<n，Bx|(xm)(x2)<0，所以m1，n1.思維升華(1)一般來(lái)講，集合中的元素若是離散的，則用Venn圖表示；集合中的元素若是連續(xù)的實(shí)數(shù)，則用數(shù)軸表示，此時(shí)要注意端點(diǎn)的情況(2)運(yùn)算過(guò)程中要注意集合間的特殊關(guān)系的使用，靈活使用這些關(guān)系，會(huì)使運(yùn)算簡(jiǎn)化(1)設(shè)集合A，BxZ|x2>0，則AB_.(2)設(shè)UR，集合Ax|x23x20，Bx|x2(m1)xm0若(UA)B，則m的值是_答案(1)3(2)1或2解析(1)Ax|1x3，BxZ|x>2，ABxZ|2<x33(2)A2，1，由(UA)B，得BA，方程x2(m1)xm0的判別式(m1)24m(m1)20，B.B1或B2或B1，2若B1，則m1；若B2，則應(yīng)有(m1)(2)(2)4，且m(2)(2)4，這兩式不能同時(shí)成立，B2；若B1，2，則應(yīng)有(m1)(1)(2)3，且m(1)(2)2，由這兩式得m2.經(jīng)檢驗(yàn)知m1和m2符合條件m1或2.題型四集合中的新定義問(wèn)題例4在整數(shù)集Z中，被5除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組成一個(gè)“類(lèi)”，記為k，即k5nk|nZ，k0,1,2,3,4.給出如下四個(gè)結(jié)論：2 0144；33；Z01234；“整數(shù)a，b屬于同一類(lèi)”的充要條件是“ab0”其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是_思維啟迪解答本題要充分理解k的意義，然后對(duì)選項(xiàng)逐一驗(yàn)證答案3解析因?yàn)? 01440254，又因?yàn)?5n4|nZ，所以2 0144，故正確；因?yàn)?5(1)2，所以32，故不正確；因?yàn)樗械恼麛?shù)Z除以5可得的余數(shù)為0,1,2,3,4，所以正確；若a，b屬于同一“類(lèi)”，則有a5n1k，b5n2k，所以ab5(n1n2)0，反過(guò)來(lái)，如果ab0，也可以得到a，b屬于同一“類(lèi)”，故正確故有3個(gè)結(jié)論正確思維升華解決以集合為背景的新定義問(wèn)題，要抓住兩點(diǎn)：(1)緊扣新定義首先分析新定義的特點(diǎn)，把新定義所敘述的問(wèn)題的本質(zhì)弄清楚，并能夠應(yīng)用到具體的解題過(guò)程之中，這是破解新定義型集合問(wèn)題難點(diǎn)的關(guān)鍵所在；(2)用好集合的性質(zhì)解題時(shí)要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素，在關(guān)鍵之處用好集合的運(yùn)算與性質(zhì)已知集合S0,1,2,3,4,5，A是S的一個(gè)子集，當(dāng)xA時(shí)，若有x1A，且x1A，則稱(chēng)x為A的一個(gè)“孤立元素”，那么S中無(wú)“孤立元素”的4個(gè)元素的子集共有_個(gè)答案6解析由成對(duì)的相鄰元素組成的四元子集都沒(méi)有“孤立元素”，如0,1,2,3，0,1,3,4，0,1,4,5，1,2,3,4，1,2,4,5，2,3,4,5，這樣的集合共有6個(gè)遺忘空集致誤典例：(5分)若集合Px|x2x60，Sx|ax10，且SP，則由a的可取值組成的集合為_(kāi)易錯(cuò)分析從集合的關(guān)系看，SP，則S或S，易遺忘S的情況解析P3,2當(dāng)a0時(shí)，S，滿(mǎn)足SP；當(dāng)a0時(shí)，方程ax10的解集為x，為滿(mǎn)足SP可使3或2，即a或a.故所求集合為.答案溫馨提醒(1)根據(jù)集合間的關(guān)系求參數(shù)是高考的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容解答此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是抓住集合間的關(guān)系以及集合元素的特征(2)在解答本題時(shí)，存在兩個(gè)典型錯(cuò)誤一是忽略對(duì)空集的討論，如a0時(shí)，S；二是易忽略對(duì)字母的討論如可以為3或2.因此，在解答此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，一定要注意分類(lèi)討論，避免漏解.方法與技巧1集合中的元素的三個(gè)特征，特別是無(wú)序性和互異性在解題時(shí)經(jīng)常用到解題后要進(jìn)行檢驗(yàn)，要重視符號(hào)語(yǔ)言與文字語(yǔ)言之間的相互轉(zhuǎn)化2對(duì)連續(xù)數(shù)集間的運(yùn)算，借助數(shù)軸的直觀性，進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化；對(duì)已知連續(xù)數(shù)集間的關(guān)系，求其中參數(shù)的取值范圍時(shí)，要注意單獨(dú)考察等號(hào)3對(duì)離散的數(shù)集間的運(yùn)算，或抽象集合間的運(yùn)算，可借助Venn圖這是數(shù)形結(jié)合思想的又一體現(xiàn)失誤與防范1集合問(wèn)題解題中要認(rèn)清集合中元素的屬性(是數(shù)集、點(diǎn)集還是其他類(lèi)型集合)，要對(duì)集合進(jìn)行化簡(jiǎn)2空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，時(shí)刻關(guān)注對(duì)空集的討論，防止漏解3解題時(shí)注意區(qū)分兩大關(guān)系：一是元素與集合的從屬關(guān)系；二是集合與集合的包含關(guān)系4Venn圖圖示法和數(shù)軸圖示法是進(jìn)行集合交、并、補(bǔ)運(yùn)算的常用方法，其中運(yùn)用數(shù)軸圖示法要特別注意端點(diǎn)是實(shí)心還是空心5要注意AB、ABA、ABB、UAUB、A(UB)這五個(gè)關(guān)系式的等價(jià)性.A組專(zhuān)項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時(shí)間：25分鐘)1(2013重慶改編)已知全集U1,2,3,4，集合A1,2，B2,3，則U(AB)等于_答案4解析因?yàn)锳B1,2,3，全集U1,2,3,4，所以U(AB)42下列集合中表示同一集合的是_(填序號(hào))M(3,2)，N(2,3)；M2,3，N3,2；M(x，y)|xy1，Ny|xy1；M2,3，N(2,3)答案解析中的集合M表示由點(diǎn)(3,2)所組成的單點(diǎn)集，集合N表示由點(diǎn)(2,3)所組成的單點(diǎn)集，故集合M與N不是同一個(gè)集合中的集合M表示由直線(xiàn)xy1上的所有點(diǎn)組成的集合，集合N表示由直線(xiàn)xy1上的所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)組成的集合，即Ny|xy1R，故集合M與N不是同一個(gè)集合中的集合M有兩個(gè)元素，而集合N只含有一個(gè)元素，故集合M與N不是同一個(gè)集合對(duì)，由集合元素的無(wú)序性，可知M，N表示同一個(gè)集合3(2013南京期末)已知全集S1,2，a22a3，A1，a，SA3，則實(shí)數(shù)a等于_ _答案0解析由題意，知?jiǎng)ta2.4設(shè)集合MmZ|m3或m2，NnZ|1n3，則(ZM)N等于_答案1,0,1解析由已知，得ZM2，1,0,1，N1,0,1,2,3，所以(ZM)N1,0,15已知集合M0,1,2,3,4，N1,3,5，PMN，則P的子集共有_個(gè)答案4解析M0,1,2,3,4，N1,3,5，MN1,3MN的子集共有224個(gè)6(2013遼寧改編)已知集合Ax|0log4x1，Bx|x2，則AB等于_答案(1,2解析Ax|1x4，Bx|x2，ABx|1x27 設(shè)全集U為整數(shù)集，集合AxN|y，BxZ|1<x3，則右圖中陰影部分表示的集合的真子集的個(gè)數(shù)為_(kāi)答案7解析因?yàn)锳xN|yxN|7xx260xN|1x6，由題意，知題圖中陰影部分表示的集合為AB1,2,3，所以其真子集有，1，2，3，1,2，1,3，2,3，共7個(gè)8已知集合A1,3，a，B1，a2a1，且BA，則a_.答案1或2解析由a2a13，得a1或a2，經(jīng)檢驗(yàn)符合由a2a1a，得a1，由于集合中不能有相同元素，所以舍去故a1或2.9已知集合A(0,1)，(1,1)，(1，2)，B(x，y)|xy10，x，yZ，則AB_.答案(0,1)，(1,2)解析A、B都表示點(diǎn)集，AB即是由A中在直線(xiàn)xy10上的所有點(diǎn)組成的集合，代入驗(yàn)證即可10已知集合Ax|1x<5，Cx|a<xa3若CAC，則a的取值范圍是_答案(，1解析因?yàn)镃AC，所以CA.當(dāng)C時(shí)，滿(mǎn)足CA，此時(shí)aa3，得a；當(dāng)C時(shí)，要使CA，則解得<a1.綜合知a的取值范圍為(，1B組專(zhuān)項(xiàng)能力提升(時(shí)間：25分鐘)1設(shè)集合A1,2,3,4,5,6，B4,5,6,7,8，則滿(mǎn)足SA且SB的集合S的個(gè)數(shù)是_答案56解析集合S的個(gè)數(shù)為262364856.2已知集合Mx|0，xR，Ny|y3x21，xR，則MN等于_答案x|x>1解析由0，得x>1或x0，Mx|x>1或x0，Ny|y1，MNx|x>13已知UxZ|yln，MxZ|x4|1，NxN|Z，則M(UN)等于_答案4,5解析集合U為函數(shù)yln的定義域內(nèi)的整數(shù)集，由1>0，即>0，解得0<x<9，又xZ，所以x可取1,2,3,4,5,6,7,8，故U1,2,3,4,5,6,7,8集合M為滿(mǎn)足不等式|x4|1的整數(shù)集，解|x4|1，得3x5，又xZ，所以x可取3,4,5，故M3,4,5集合N是使為整數(shù)的自然數(shù)集合，顯然當(dāng)x1時(shí)，6；當(dāng)x2時(shí)，3；當(dāng)x3時(shí)，2；當(dāng)x6時(shí)，1.所以N1,2,3,6，M(UN)4,54已知Uy|ylog2x，x>1，Py|y，x>2，則UP_.答案解析Uy|ylog2x，x>1y|y>0，Py|y，x>2y|0<y<，UPy|y.5已知集合Ax|ylg(xx2)，Bx|x2cx<0，c>0，若AB，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是_ _答案1，)解析Ax|ylg(xx2)x|xx2>0(0,1)，Bx|x2cx<0，c>0(0，c)，因?yàn)锳B，畫(huà)出數(shù)軸，如右圖所示，得c1.6已知集合A(x，y)|ya，B(x，y)|ybx1，b>0，b1，若集合AB只有一個(gè)真子集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案(1，)解析由于集合B中的元素是指數(shù)函數(shù)ybx的圖象向上平移一個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)，要使集合AB只有一個(gè)真子集，那么ybx1(b>0，b1)與ya的圖象只能有一個(gè)交點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1，)7已知M(x，y)|a1，N(x，y)|(a21)x(a1)y15，若MN，則a的值為_(kāi)答案1，1，4解析集合M表示挖去點(diǎn)(2,3)的直線(xiàn)，集合N表示一條直線(xiàn)，因此由MN知，點(diǎn)(2,3)在集合N所表示的直線(xiàn)上或兩直線(xiàn)平行，由此求得a的值為1，1，4.8對(duì)任意兩個(gè)集合M、N，定義：MNx|xM且xN，M*N(MN)(NM)，設(shè)My|yx2，xR，Ny|y3sin x，xR，則M*N_.答案y|y>3或3y<0解析My|yx2，xRy|y0，Ny|y3sin x，xRy|3y3，MNy|y>3，NMy|3y<0，M*N(MN)(NM)y|y>3y|3y<0y|y>3或3y<09已知集合Ax|0，Bx|x22xm<0，(1)當(dāng)m3時(shí)，求A(RB)；(2)若ABx|1<x<4，求實(shí)數(shù)m的值解由于0，所以1<x5，所以Ax|1<x5(1)當(dāng)m3時(shí)，Bx|1<x<3，則RBx|x1或x3，所以A(RB)x|3x5(2)因?yàn)锳x|1<x5，ABx|1<x<4，所以有4224m0，解得m8.此時(shí)Bx|2<x<4，符合題意，故實(shí)數(shù)m的值為8.