高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫(kù)選修4 第3講 坐標(biāo)系與曲線的極坐標(biāo)方程

精品資料 第 3 講 坐標(biāo)系與曲線的極坐標(biāo)方程 1在極坐標(biāo)系中，直線 l 的方程為 sin 3，求點(diǎn)2，6到直線 l 的距離 解 直線 l 的極坐標(biāo)方程可化為 y3，點(diǎn)2，6化為直角坐標(biāo)為( 3，1)點(diǎn)2，6到直線 l 的距離為 2. 2在極坐標(biāo)系中，圓 2cos 與直線 3cos 4sin a0 相切，求實(shí)數(shù) a 的值 解 化為平面直角坐標(biāo)系： 圓：x22xy20，即：(x1)2y21. 直線：3x4ya0. 直線和圓相切，|3a|32421， a2 或 a8. 3在極坐標(biāo)系中，已知點(diǎn) O(0,0)，P3 2，4，求以 OP 為直徑的圓的極坐標(biāo)方程 解 設(shè)點(diǎn) Q(，)為以 OP 為直徑的圓上任意一點(diǎn)(不包括端點(diǎn))，在 RtOQP中，3 2cos4， 故所求圓的極坐標(biāo)方程為 3 2cos4. 4從極點(diǎn) O 作直線與另一直線 cos 4 相交于點(diǎn) M，在 OM 上取一點(diǎn) P，使|OM| |OP|12，求點(diǎn) P 的軌跡方程 解 設(shè)動(dòng)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為(，)，則 M(0，) |OM| |OP|12.012.012. 又 M 在直線 cos 4 上，12cos 4， 3cos .這就是點(diǎn) P 的軌跡方程 5在極坐標(biāo)系中，P 是曲線 12sin 上的動(dòng)點(diǎn)，Q 是曲線 12cos (6)上的動(dòng)點(diǎn)，試求 PQ 的最大值 解 12sin . 212sin 化為直角坐標(biāo)方程為 x2y212y0， 即 x2(y6)236. 又12cos (6)， 212(cos cos 6sin sin 6)， 有 x2y26 3x6y0， 即(x3 3)2(y3)236，來(lái)源: PQmax66（3 3）2（3）218. 6設(shè)過(guò)原點(diǎn) O 的直線與圓(x1)2y21 的一個(gè)交點(diǎn)為 P，點(diǎn) M 為線段 OP 的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn) P 在圓上移動(dòng)一周時(shí)，求點(diǎn) M 軌跡的極坐標(biāo)方程，并說(shuō)明它是什么曲線 解 圓(x1)2y21 的極坐標(biāo)方程為 2cos 22， 設(shè)點(diǎn) P 的極坐標(biāo)為(1，1)，點(diǎn) M 的極坐標(biāo)為(，)， 點(diǎn) M 為線段 OP 的中點(diǎn)，12，1，將 12，1 代入圓的極坐標(biāo)方程，得 cos . 點(diǎn) M 軌跡的極坐標(biāo)方程為 cos 22，它表示原心在點(diǎn)12，0 ，半徑為12的圓 7O1和O2的極坐標(biāo)方程分別為 4cos ，4sin . (1)把O1和O2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程； (2)求經(jīng)過(guò)O1，O2交點(diǎn)的直線的直角坐標(biāo)方程 解 (1)4cos ，兩邊同乘以 ，得 24cos ； 4sin ，兩邊同乘以 ，得 24sin . 由 cos x，sin y，2x2y2， 得O1，O2的直角坐標(biāo)方程分別為 x2y24x0 和 x2y24y0. (2)由 x2y24x0，x2y24y0， 得4x4y0，即 xy0 為所求直線方程 8求圓心為 C3，6，半徑為 3 的圓的極坐標(biāo)方程 解 如圖，設(shè)圓上任一點(diǎn)為 P(，)， 則 OP，POA6， OA236， 在 RtOAP 中，OPOAcosPOA， 6cos6.圓的極坐標(biāo)方程為 6cos6. 9已知 A 是曲線 12sin 上的動(dòng)點(diǎn)，B 是曲線 12cos6上的動(dòng)點(diǎn)，試求線段 AB 長(zhǎng)的最大值 解 曲線 12sin 的直角坐標(biāo)方程為 x2(y6)236， 其圓心為(0,6)，半徑為 6； 曲線 12cos6的直角坐標(biāo)方程為(x3 3)2(y3)236，其圓心為(3 3，3)，半徑為 6. 所以 AB 長(zhǎng)的最大值 3 3023626618. 10 已知圓 O1和圓 O2的極坐標(biāo)方程分別為 2，22 2cos42. (1)把圓 O1和圓 O2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程； (2)求經(jīng)過(guò)兩圓交點(diǎn)的直線的極坐標(biāo)方程 解 (1)由 2 知 24，所以 x2y24； 因?yàn)?22 2cos42， 所以 22 2cos cos4sin sin42， 所以 x2y22x2y20. (2)將兩圓的直角坐標(biāo)方程相減， 得經(jīng)過(guò)兩圓交點(diǎn)的直線方程為 xy1. 化為極坐標(biāo)方程為 cos sin 1，即 sin422. 11已知圓錐曲線 C 的極坐標(biāo)方程為 8sin 1cos 2，以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x 軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系，求曲線 C 的直角坐標(biāo)方程，并求焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離 解 由 8sin 1cos 2，得 cos24sin ，2cos24sin .又 cos x，sin y，故所求曲線的直角坐標(biāo)方程是 x24y，故焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為 2. 12 已知直線 l 的參數(shù)方程： xt，y12t(t 為參數(shù))和圓 C 的極坐標(biāo)方程：2 2 sin4. (1)將直線 l 的參數(shù)方程化為普通方程， 圓 C 的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程； (2)判斷直線 l 和圓 C 的位置關(guān)系 解 (1)消去參數(shù)，得直線 l 的普通方程為 y2x1. 2 2sin4，即 2(sin cos )，兩邊同乘以 ， 得 22(sin cos ) 得C 的直角坐標(biāo)方程為(x1)2(x1)22. (2)圓心 C 到直線 l 的距離 d|211|22122 55 2， 所以直線 l 和C 相交 13在直角坐標(biāo)系 xOy中，直線 l 的方程為 xy40，曲線 C 的參數(shù)方程為x 3cos ，ysin ( 為參數(shù)) (1)已知在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系 xOy 取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn) O 為極點(diǎn)，以 x 軸正半軸為極軸)中，點(diǎn) P 的極坐標(biāo)為4，2，判斷點(diǎn) P 與直線 l的位置關(guān)系； (2)設(shè)點(diǎn) Q 是曲線 C 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線 l 的距離的最小值 解 (1)把極坐標(biāo)系下的點(diǎn) P4，2化為直角坐標(biāo)，得 P(0，4)因?yàn)辄c(diǎn) P 的直角坐標(biāo)(0，4)滿足直線 l 的方程 xy40，所以點(diǎn) P 在直線 l 上 (2)因?yàn)辄c(diǎn) Q 在曲線 C 上，故可設(shè)點(diǎn) Q 坐標(biāo)為( 3cos ，sin )，從而點(diǎn) Q到 直 線 l 的 距 離 為 d | 3cos sin 4|22cos6422cos62 2， 由此得，當(dāng) cos61 時(shí)，d 取得最小值，且最小值為 2. 14 已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合， 極軸與 x 軸的正半軸重合 若直線 l 的極坐標(biāo)方程為 sin43 2. (1)把直線 l 的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程； (2)已知 P 為橢圓 C：x216y291 上一點(diǎn)，求 P 到直線 l 的距離的最大值 解 (1)直線 l 的極坐標(biāo)方程 sin43 2，則22sin 22cos 3 2，即 sin cos 6，所以直線 l 的直角坐標(biāo)方程為 xy60. (2)P 為橢圓 C：x216y291 上一點(diǎn)，設(shè) P(4cos ，3sin )，其中 0,2)，則P 到直線 l 的距離 d|4cos 3sin 6|2|5cos6|2，其中 cos 45，所以當(dāng) cos()1時(shí)，d 的最大值為1122.