高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫(kù) 第8章學(xué)案44

精品資料學(xué)案44利用向量方法求空間角導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.掌握各種空間角的定義，弄清它們各自的取值范圍.2.掌握異面直線(xiàn)所成的角，二面角的平面角，直線(xiàn)與平面所成的角的聯(lián)系和區(qū)別，體會(huì)求空間角中的轉(zhuǎn)化思想自主梳理1兩條異面直線(xiàn)的夾角定義：設(shè)a，b是兩條異面直線(xiàn)，在直線(xiàn)a上任取一點(diǎn)作直線(xiàn)ab，則a與a的夾角叫做a與b的夾角范圍：兩異面直線(xiàn)夾角的取值范圍是_向量求法：設(shè)直線(xiàn)a，b的方向向量為a，b，其夾角為，則有cos _.2直線(xiàn)與平面的夾角定義：直線(xiàn)和平面的夾角，是指直線(xiàn)與它在這個(gè)平面內(nèi)的射影的夾角范圍：直線(xiàn)和平面夾角的取值范圍是_向量求法：設(shè)直線(xiàn)l的方向向量為a，平面的法向量為u，直線(xiàn)與平面所成的角為，a與u的夾角為，則有sin |cos |或cos sin .3二面角(1)二面角的取值范圍是_(2)二面角的向量求法：若AB、CD分別是二面角l的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的異面直線(xiàn)，則二面角的大小就是向量與的夾角(如圖)設(shè)n1，n2分別是二面角l的兩個(gè)面，的法向量，則向量n1與n2的夾角(或其補(bǔ)角)的大小就是二面角的平面角的大小(如圖)自我檢測(cè)1已知兩平面的法向量分別為m(0,1,0)，n(0,1,1)，則兩平面所成的二面角為_(kāi)2若直線(xiàn)l1，l2的方向向量分別為a(2,4，4)，b(6,9,6)，則l1與l2所成的角等于_3若直線(xiàn)l的方向向量與平面的法向量的夾角等于120，則直線(xiàn)l與平面所成的角等于_4二面角的棱上有A、B兩點(diǎn)，直線(xiàn)AC、BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于AB.已知AB4，AC6，BD8，CD2，則該二面角的大小為_(kāi)5(2010鐵嶺一模)已知直線(xiàn)AB、CD是異面直線(xiàn)，ACCD，BDCD，且AB2，CD1，則異面直線(xiàn)AB與CD所成的角的大小為_(kāi)探究點(diǎn)一利用向量法求異面直線(xiàn)所成的角例1已知直三棱柱ABCA1B1C1，ACB90，CACBCC1，D為B1C1的中點(diǎn)，求異面直線(xiàn)BD和A1C所成角的余弦值變式遷移1如圖所示，在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCDA1B1C1D1中，求異面直線(xiàn)BA1和AC所成的角探究點(diǎn)二利用向量法求直線(xiàn)與平面所成的角例2如圖，已知平面ABCD平面DCEF，M，N分別為AB，DF的中點(diǎn)，求直線(xiàn)MN與平面DCEF所成的角的正弦值變式遷移2如圖所示，在幾何體ABCDE中，ABC是等腰直角三角形，ABC90，BE和CD都垂直于平面ABC，且BEAB2，CD1，點(diǎn)F是AE的中點(diǎn)求AB與平面BDF所成的角的正弦值探究點(diǎn)三利用向量法求二面角例3如圖，ABCD是直角梯形，BAD90，SA平面ABCD，SABCBA1，AD，求面SCD與面SBA所成角的余弦值大小變式遷移3如圖，在三棱錐SABC中，側(cè)面SAB與側(cè)面SAC均為等邊三角形，BAC90，O為BC中點(diǎn)(1)證明：SO平面ABC；(2)求二面角ASCB的余弦值探究點(diǎn)四綜合應(yīng)用例4如圖所示，在三棱錐ABCD中，側(cè)面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜邊，且AD，BDCD1，另一個(gè)側(cè)面ABC是正三角形(1)求證：ADBC；(2)求二面角BACD的余弦值；(3)在線(xiàn)段AC上是否存在一點(diǎn)E，使ED與面BCD成30角？若存在，確定點(diǎn)E的位置；若不存在，說(shuō)明理由變式遷移4 (2011山東，19)在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為平行四邊形，ACB90，EA平面ABCD，EFAB，F(xiàn)GBC，EGAC，AB2EF.(1)若M是線(xiàn)段AD的中點(diǎn)，求證：GM平面ABFE；(2)若ACBC2AE，求二面角ABFC的大小1求兩異面直線(xiàn)a、b的所成的角，需求出它們的方向向量a，b的夾角，則cos |cosa，b|.2求直線(xiàn)l與平面所成的角.可先求出平面的法向量n與直線(xiàn)l的方向向量a的夾角則sin |cosn，a|.3求二面角l的大小，可先求出兩個(gè)平面的法向量n1，n2所成的角則n1，n2或n1，n2 (滿(mǎn)分：90分)一、填空題(每小題6分，共48分)1在正方體ABCDA1B1C1D1中，M是AB的中點(diǎn)，則sin，的值等于_2已知長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA12，E是側(cè)棱BB1的中點(diǎn)，則直線(xiàn)AE與平面A1ED1所成的角的大小為_(kāi)3如圖，在正四面體ABCD中，E、F分別是BC和AD的中點(diǎn)，則AE與CF所成的角的余弦值為_(kāi)4(2011南通模擬) 如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，已知B1C，C1D與上底面A1B1C1D1所成的角分別為60和45，則異面直線(xiàn)B1C和C1D所成的余弦值為_(kāi)5P是二面角AB棱上的一點(diǎn)，分別在、平面上引射線(xiàn)PM、PN，如果BPMBPN45，MPN60，那么二面角AB的大小為_(kāi)6(2011無(wú)錫模擬)已知正四棱錐PABCD的棱長(zhǎng)都相等，側(cè)棱PB、PD的中點(diǎn)分別為M、N，則截面AMN與底面ABCD所成的二面角的余弦值是_7如圖，PA平面ABC，ACB90且PAACBCa，則異面直線(xiàn)PB與AC所成角的正切值等于_8如圖，已知正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長(zhǎng)都相等，D是A1C1的中點(diǎn)，則直線(xiàn)AD與平面B1DC所成的角的正弦值為_(kāi)二、解答題(共42分)9(14分) 如圖所示，AF、DE分別是O、O1的直徑，AD與兩圓所在的平面均垂直，AD8.BC是O的直徑，ABAC6，OEAD.(1)求二面角BADF的大??；(2)求直線(xiàn)BD與EF所成的角的余弦值10(14分)(2011大綱全國(guó)，19)如圖，四棱錐SABCD中，ABCD，BCCD，側(cè)面SAB為等邊三角形，ABBC2，CDSD1.(1)證明：SD平面SAB；(2)求AB與平面SBC所成角的正弦值11(14分)(2011湖北，18)如圖，已知正三棱柱ABCA1B1C1各棱長(zhǎng)都是4，E是BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)F在側(cè)棱CC1上，且不與點(diǎn)C重合(1)當(dāng)CF1時(shí)，求證：EFA1C；(2)設(shè)二面角CAFE的大小為，求tan 的最小值學(xué)案44利用向量方法求空間角答案自主梳理1|cos |2.3.(1)0，自我檢測(cè)145或1352.903.304.605.60課堂活動(dòng)區(qū)例1解題導(dǎo)引(1)求異面直線(xiàn)所成的角，用向量法比較簡(jiǎn)單，若用基向量法求解，則必須選好空間的一組基向量，若用坐標(biāo)求解，則一定要將每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)寫(xiě)正確(2)用異面直線(xiàn)方向向量求兩異面直線(xiàn)夾角時(shí)，應(yīng)注意異面直線(xiàn)所成的角的范圍是解如圖所示，以C為原點(diǎn)，直線(xiàn)CA、CB、CC1分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)CACBCC12，則A1(2,0,2)，C(0,0,0)，B(0,2,0)，D(0,1,2)，(0，1,2)，(2,0，2)，cos，.異面直線(xiàn)BD與A1C所成角的余弦值為.變式遷移1解，()().ABBC，BB1AB，BB1BC，0，0，0，a2，a2.又|cos，cos，.，120.異面直線(xiàn)BA1與AC所成的角為60.例2解題導(dǎo)引在用向量法求直線(xiàn)OP與所成的角(O)時(shí)，一般有兩種途徑：一是直接求，其中OP為斜線(xiàn)OP在平面內(nèi)的射影；二是通過(guò)求n，進(jìn)而轉(zhuǎn)化求解，其中n為平面的法向量解設(shè)正方形ABCD，DCEF的邊長(zhǎng)為2，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以射線(xiàn)DC，DF，DA為x，y，z軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖則M(1,0,2)，N(0,1,0)，可得(1,1，2)又(0,0,2)為平面DCEF的法向量，可得cos，.所以MN與平面DCEF所成的角的正弦值為|cos，|.變式遷移2解以點(diǎn)B為原點(diǎn)，BA、BC、BE所在的直線(xiàn)分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則B(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，D(0,2,1)，E(0,0,2)，F(xiàn)(1,0,1)(0,2,1)，(1，2,0)設(shè)平面BDF的一個(gè)法向量為n(2，a，b)，n，n，即解得a1，b2.n(2,1，2)設(shè)AB與平面BDF所成的角為，則法向量n與的夾角為，cos，即sin ，故AB與平面BDF所成的角的正弦值為.例3解題導(dǎo)引圖中面SCD與面SBA所成的二面角沒(méi)有明顯的公共棱，考慮到易于建系，從而借助平面的法向量來(lái)求解解建系如圖，則A(0,0,0)，D，C(1,1,0)，B(0，1,0)，S(0,0,1)，(0,0,1)，(1,1，1)，(0,1,0)，.0，0.是面SAB的法向量，設(shè)平面SCD的法向量為n(x，y，z)，則有n0且n0.即令z1，則x2，y1.n(2，1,1)cosn，.故面SCD與面SBA所成的二面角的余弦值為.變式遷移3(1)證明由題設(shè)ABACSBSCSA.連結(jié)OA，ABC為等腰直角三角形，所以O(shè)AOBOCSA，且AOBC.又SBC為等腰三角形，故SOBC，且SOSA.從而OA2SO2SA2，所以SOA為直角三角形，SOAO.又AOBCO，所以SO平面ABC.(2)解以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線(xiàn)OB、OA、OS分別為x軸、y軸、z軸的正半軸，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系Oxyz，如圖設(shè)B(1,0,0)，則C(1,0,0)，A(0,1,0)，S(0,0,1)SC的中點(diǎn)M，(1,0，1)，0，0.故MOSC，MASC，等于二面角ASCB的平面角cos，所以二面角ASCB的余弦值為.例4解題導(dǎo)引立體幾何中開(kāi)放性問(wèn)題的解決方式往往是通過(guò)假設(shè)，借助空間向量建立方程，進(jìn)行求解(1)證明作AH面BCD于H，連結(jié)BH、CH、DH，則四邊形BHCD是正方形，且AH1，將其補(bǔ)形為如圖所示正方體以D為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系則B(1,0,0)，C(0,1,0)，A(1,1,1)(1,1,0)，(1,1,1)，0，則BCAD.(2)解設(shè)平面ABC的法向量為n1(x，y，z)，則由n1知：n1xy0，同理由n1知：n1xz0，可取n1(1,1，1)，同理，可求得平面ACD的一個(gè)法向量為n2(1,0，1)由圖可以看出，二面角BACD即為n1，n2，cosn1，n2.即二面角BACD的余弦值為.(3)解設(shè)E(x，y，z)是線(xiàn)段AC上一點(diǎn)，則xz>0，y1，平面BCD的一個(gè)法向量為n(0,0,1)，(x,1，x)，要使ED與平面BCD成30角，由圖可知與n的夾角為60，所以cos，ncos 60.則2x，解得x，則CEx1.故線(xiàn)段AC上存在E點(diǎn)，且CE1時(shí)，ED與面BCD成30.變式遷移4 (1)證明方法一因?yàn)镋FAB，F(xiàn)GBC，EGAC，ACB90，所以EGF90，ABCEFG.由于AB2EF，因此BC2FG.連結(jié)AF，由于FGBC，F(xiàn)GBC，在ABCD中，M是線(xiàn)段AD的中點(diǎn)，則AMBC，且AMBC，因此FGAM且FGAM，所以四邊形AFGM為平行四邊形，因此GMFA.又FA平面ABFE，GM平面ABFE，所以GM平面ABFE.方法二因?yàn)镋FAB，F(xiàn)GBC，EGAC，ACB90，所以EGF90，ABCEFG.由于AB2EF，所以BC2FG.取BC的中點(diǎn)N，連結(jié)GN，因此四邊形BNGF為平行四邊形，所以GNFB.在ABCD中，M是線(xiàn)段AD的中點(diǎn)，連結(jié)MN，則MNAB.因?yàn)镸NGNN，所以平面GMN平面ABFE.又GM平面GMN，所以GM平面ABFE.(2)解方法一因?yàn)锳CB90，所以CAD90.又EA平面ABCD，所以AC，AD，AE兩兩垂直分別以AC，AD，AE所在直線(xiàn)為x軸，y軸和z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)ACBC2AE2，則由題意得A(0,0,0)，B(2，2,0)，C(2,0,0)，E(0,0,1)，所以(2，2,0)，(0,2,0)又EFAB，所以F(1，1,1)，(1,1,1)設(shè)平面BFC的法向量為m(x1，y1，z1)，則m0，m0，所以取z11，得x11，所以m(1,0,1)設(shè)平面向量ABF的法向量為n(x2，y2，z2)，則n0，n0，所以取y21，得x21.則n(1,1,0)所以cosm，n.因此二面角ABFC的大小為60.方法二由題意知，平面ABFE平面ABCD.取AB的中點(diǎn)H，連結(jié)CH.因?yàn)锳CBC，所以CHAB，則CH平面ABFE.過(guò)H向BF引垂線(xiàn)交BF于R，連結(jié)CR，則CRBF，所以HRC為二面角ABFC的平面角由題意，不妨設(shè)ACBC2AE2，在直角梯形ABFE中，連結(jié)FH，則FHAB.又AB2，所以HFAE1，BH，因此在RtBHF中，HR.由于CHAB，所以在RtCHR中，tanHRC.因此二面角ABFC的大小為60.課后練習(xí)區(qū)1.290解析E是BB1的中點(diǎn)且AA12，ABBC1，AEA190，又在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，A1D1平面ABB1A1，A1D1AE，AE平面A1ED1.AE與面A1ED1所成的角為90.3.解析設(shè)四面體的棱長(zhǎng)為a，p，q，r，則(pq)，(r2q)a2.又|a，cos，.即AE和CF所成角的余弦值為.4.590解析不妨設(shè)PMa，PNb，作MEAB于E，NFAB于F，如圖：EPMFPN45，PEa，PFb，()()abcos 60abcos 45abcos 45ab0，二面角AB的大小為90.6.解析如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正四棱錐的棱長(zhǎng)為，則PB，OB1，OP1.B(1,0,0)，D(1,0,0)，A(0,1,0)，P(0,0,1)，M，N，設(shè)平面AMN的法向量為n1(x，y，z)，由解得x0，z2y，不妨令z2，則y1.n1(0,1,2)，平面ABCD的法向量n2(0,0,1)，則cosn1，n2.7.解析，故()0aacos 45a2.又|a，|a.cos，sin，tan，.8.解析不妨設(shè)正三棱柱ABCA1B1C1的棱長(zhǎng)為2，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則C(0,0,0)，A(，1,0)，B1(，1,2)，D.則，(，1,2)，設(shè)平面B1DC的法向量為n(x，y,1)，由解得n(，1,1)又，sin |cos，n|.9解(1)AD與兩圓所在的平面均垂直，ADAB，ADAF，故BAF是二面角BADF的平面角(2分)依題意可知，ABFC是正方形，BAF45.即二面角BADF的大小為45.(5分)(2)以O(shè)為原點(diǎn)，CB、AF、OE所在直線(xiàn)為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系(如圖所示)，則O(0,0,0)，A(0，3 ，0)，B(3 ，0,0)，D(0，3 ，8)，E(0,0,8)，F(xiàn)(0,3 ，0)，(8分)(3 ，3 ，8)，(0,3 ，8)cos，.(12分)設(shè)異面直線(xiàn)BD與EF所成角為，則cos |cos，|.即直線(xiàn)BD與EF所成的角的余弦值為.(14分)10.方法一(1)證明取AB中點(diǎn)E，連結(jié)DE，則四邊形BCDE為矩形，DECB2，連結(jié)SE，則SEAB，SE.又SD1，故ED2SE2SD2，所以DSE為直角，即SDSE.(4分)由ABDE，ABSE，DESEE，得AB平面SDE，所以ABSD.由SD與兩條相交直線(xiàn)AB、SE都垂直，所以SD平面SAB.(7分)(2)解由AB平面SDE知，平面ABCD平面SDE.(10分)作SFDE，垂足為F，則SF平面ABCD，SF.作FGBC，垂足為G，則FGDC1.連結(jié)SG，又BCFG，BCSF，SFFGF，故BC平面SFG，平面SBC平面SFG.作FHSG，H為垂足，則FH平面SBC.FH，則F到平面SBC的距離為.由于EDBC，所以ED平面SBC，E到平面SBC的距離d為.(12分)設(shè)AB與平面SBC所成的角為，則sin ，即AB與平面SBC所成的角的正弦值為.(14分)方法二以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線(xiàn)CD為x軸正半軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Cxyz.設(shè)D(1,0,0)，則A(2,2,0)、B(0,2,0)(2分)又設(shè)S(x，y，z)，則x>0，y>0，z>0.(1)證明(x2，y2，z)，(x，y2，z)，(x1，y，z)，由|得，故x1.由|1得y2z21.又由|2得x2(y2)2z24，即y2z24y10.聯(lián)立得(4分)于是S(1，)，(1，)，(1，)，(0，)因?yàn)?，0，故DSAS，DSBS.又ASBSS，所以SD平面SAB.(7分)(2)解設(shè)平面SBC的法向量a(m，n，p)，則a，a，a0，a0.又(1，)，(0,2,0)，故取p2得a(，0,2)(10分)又(2,0,0)，cos，a，所以AB與平面SBC所成角的正弦值為.(14分)11(1)證明建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則由已知可得A(0,0,0)，B(2，2,0)，C(0,4,0)，A1(0,0,4)，E(，3,0)，F(xiàn)(0,4,1)(2分)于是(0，4,4)，(，1,1)則(0，4,4)(，1,1)0440，故EFA1C.(8分)(2)解設(shè)CF(0<4)，平面AEF的一個(gè)法向量為m(x，y，z)，則由(1)得F(0,4，)(8分)(，3,0)，(0,4，)，于是由m，m可得即取m(，4)又由直三棱柱的性質(zhì)可取側(cè)面AC1的一個(gè)法向量為n(1,0,0)，于是由的銳角可得cos ，sin ，所以tan .(10分)由0<4，得，即tan .故當(dāng)4，即點(diǎn)F與點(diǎn)C1重合時(shí)，tan 取得最小值.(14分)