高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第八章 ：第二節(jié)直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式演練知能檢測

第二節(jié)　直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式 [全盤鞏固] 1．(2014·北京模擬)已知點(diǎn)A(－1,0)，B(cos α，sin α)，且|AB|＝，則直線AB的方程為(　　) A．y＝x＋或y＝－x－ B．y＝x＋或y＝－x－ C．y＝x＋1或y＝－x－1 D．y＝x＋或y＝－x－ 解析：選B　因?yàn)閨AB|＝＝＝. 所以cos α＝，sin α＝±，kAB＝＝±. 即直線AB的方程為y＝±(x＋1)． 2．已知直線l1：y＝2x＋3，直線l2與l1關(guān)于直線y＝－x對(duì)稱，則直線l2的斜率為(　　) A. B．－ C．2 D．－2 解析：選A　因?yàn)閘1，l2關(guān)于直線y＝－x對(duì)稱，所以l2的方程為－x＝－2y＋3，即y＝x＋，即直線l2的斜率k為. 3．已知直線l過點(diǎn)P(3,4)且與點(diǎn)A(－2,2)，B(4，－2)等距離，則直線l的方程為(　　) A．2x＋3y－18＝0 B．2x－y－2＝0 C．3x－2y＋18＝0或x＋2y＋2＝0 D．2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0 解析：選D　依題意知，直線l的斜率存在，故設(shè)所求直線方程為y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0.[來源:] 由已知，得＝.[來源:] 所以k＝2或k＝－. 即所求直線方程為2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0. 4．(2014·南昌模擬)P點(diǎn)在直線3x＋y－5＝0上，且P到直線x－y－1＝0的距離為 ，則P點(diǎn)坐標(biāo)為(　　) A．(1,2) B．(2,1) C．(1,2)或(2，－1) D．(2,1)或(－1,2) 解析：選C　設(shè)P(x,5－3x)， 則d＝＝，|4x－6|＝2,4x－6＝±2， 即x＝1或x＝2，故P(1,2)或(2，－1)． 5．直線l通過兩直線7x＋5y－24＝0和x－y＝0的交點(diǎn)，且點(diǎn)(5,1)到l的距離為，則l的方程是(　　) A．3x＋y＋4＝0 B．3x－y＋4＝0 C．3x－y－4＝0 D．x－3y－4＝0 解析：選C　由 得交點(diǎn)(2,2)，當(dāng)l的斜率不存在時(shí)，不合題意， 所以設(shè)l的方程為y－2＝k(x－2)， 即kx－y＋2－2k＝0， 依題意有＝，解得k＝3. 所以l的方程為3x－y－4＝0. 6．曲線－＝1與直線y＝2x＋m有兩個(gè)交點(diǎn)，則m的取值范圍是(　　) A．m>4或m<－4 B．－4<m<4 C．m>3或m<－3 D．－3<m<3 解析：選A　曲線－＝1的草圖如圖所示．與直線y＝2x＋m有兩個(gè)交點(diǎn)，令y＝0，則x＝－，所以－<－2或－>2，所以m>4或m<－4. 7．(2014·金華模擬)直線l1過點(diǎn)(－2,0)且傾斜角為30°，直線l2過點(diǎn)(2,0)且與直線l1垂直，則直線l1與直線l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為________． 解析：直線l1的方程為y＝(x＋2)，由l2⊥l1得直線l2的斜率為－，直線l2的方程是y＝－(x－2)．由得因此直線l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo)是(1，)． 答案：(1，) 8．若兩平行直線3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之間的距離為，則c的值是________． 解析：依題意知，＝≠， 解得a＝－4，c≠－2， 即直線6x＋ay＋c＝0可化為3x－2y＋＝0，[來源:數(shù)理化網(wǎng)] 又兩平行線之間的距離為， 所以＝，因此c＝2或－6. 答案：2或－6 9．已知0<k<4，直線l1：kx－2y－2k＋8＝0和直線l2：2x＋k2y－4k2－4＝0與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)四邊形，則使得這個(gè)四邊形面積最小的k值為________． 解析：由題意知直線l1，l2恒過定點(diǎn)P(2,4)，直線l1的縱截距為4－k，直線l2的橫截距為2k2＋2，所以四邊形的面積S＝×2×(4－k＋4)＋×2k2×4＝4k2－k＋8＝42＋，故面積最小時(shí)，k＝. 答案： 10．(2014·孝感模擬)已知a為實(shí)數(shù)，兩直線l1：ax＋y＋1＝0，l2：x＋y－a＝0相交于一點(diǎn)，求證：交點(diǎn)不可能在第一象限及x軸上． 證明：若a＝1，則l1∥l2，不符合題意，所以a≠1. 解方程組得 所以兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為， 顯然，－≠0，故交點(diǎn)不可能在x軸上． 當(dāng)a>1時(shí)，<0，－＝>0，此時(shí)交點(diǎn)在第二象限； 當(dāng)－1<a<1時(shí)，>0，－＝<0，此時(shí)交點(diǎn)在第四象限； 當(dāng)a＝－1時(shí)，＝0，－＝－1，此時(shí)交點(diǎn)在y軸上；當(dāng)a<－1時(shí)，<0，－＝<0，此時(shí)交點(diǎn)在第三象限． 綜上所述，交點(diǎn)不可能在第一象限及x軸上． 11．已知直線l經(jīng)過直線2x＋y－5＝0與x－2y＝0的交點(diǎn)P. (1)點(diǎn)A(5,0)到l的距離為3，求l的方程； (2)求點(diǎn)A(5,0)到l的距離的最大值． 解：(1)∵經(jīng)過兩已知直線交點(diǎn)的直線系方程為 (2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0， 即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0， ∴＝3，解得λ＝2或λ＝. ∴l(xiāng)的方程為x＝2或4x－3y－5＝0. (2)由解得交點(diǎn)P(2,1)， 如圖，過P作任一直線l，設(shè)d為點(diǎn)A到l的距離， 則d≤|PA|(當(dāng)l⊥PA時(shí)等號(hào)成立)． ∴dmax＝|PA|＝. 12．m為何值時(shí)，直線l1：4x＋y－4＝0，l2：mx＋y＝0，l3：2x－3my－4＝0不能圍成三角形？ 解：先考慮三條直線中有兩條直線平行或重合的情況． ①若m≠0，則k1＝－4，k2＝－m，k3＝， 當(dāng)m＝4時(shí)，k1＝k2； 當(dāng)m＝－時(shí)，k1＝k3；而k2與k3不可能相等． ②若m＝0，則l1：4x＋y－4＝0，l2：y＝0，l3：x－2＝0，此時(shí)三條直線能圍成三角形． 則當(dāng)m＝4或m＝－時(shí)，三條直線不能圍成三角形． 再考慮三條直線共點(diǎn)的情況，此時(shí)m≠0且m≠4且m≠－. 將y＝－mx代入4x＋y－4＝0，得x＝，即l1與l2交于點(diǎn)P，將點(diǎn)P坐標(biāo)代入l3的方程得＋－4＝0，解得m＝－1或m＝. ∴當(dāng)m＝－1或m＝時(shí)，l1，l2，l3交于一點(diǎn)，不能圍成三角形．[來源:] 綜上所述，當(dāng)m為－1或－或或4時(shí)，三條直線不能圍成三角形．[來源:] [沖擊名校] 1．若直線l：y＝kx－與直線2x＋3y－6＝0的交點(diǎn)位于第一象限，則直線l的傾斜角的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 解析：選B　因?yàn)橹本€l：y＝kx－過定點(diǎn)(0，－)，直線2x＋3y－6＝0與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為A(3,0)，B(0,2)，若l與直線2x＋3y－6＝0的交點(diǎn)位于第一象限，則k>＝，因此，直線的傾斜角的取值范圍為<α<. 2．若動(dòng)點(diǎn)A、B分別在直線l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移動(dòng)，則AB的中點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離的最小值為(　　) A．3 B．2 C．3 D．4 解析：選A　依題意知AB的中點(diǎn)M的集合為與直線l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0距離都相等的直線，則M到原點(diǎn)的距離的最小值為原點(diǎn)到該直線的距離，設(shè)點(diǎn)M所在直線的方程為x＋y＋m＝0，根據(jù)平行線間的距離公式得＝?|m＋7|＝|m＋5|?m＝－6，即x＋y－6＝0，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式， 得M到原點(diǎn)的距離的最小值為＝3. [高頻滾動(dòng)] 1．(2013·遼寧高考)已知點(diǎn)O(0,0)，A(0，b)，B(a，a3)．若△OAB為直角三角形，則必有(　　) A．b＝a3 B．b＝a3＋ C．(b－a3)＝0 D．|b－a3|＋＝0 解析：選C　若△OAB為直角三角形，則∠A＝90°或∠B＝90°. 當(dāng)∠A＝90°時(shí)，有b＝a3； 當(dāng)∠B＝90°時(shí)，有·＝－1，得b＝a3＋. 故(b－a3)＝0. 2．若直線m被兩平行線l1：x－y＋1＝0與l2：x－y＋3＝0所截得的線段的長為2，則m的傾斜角可以是： ①15°；②30°；③45°；④60°；⑤75°. 其中正確答案的序號(hào)是________(寫出所有正確答案的序號(hào))． 解析：很明顯直線l1∥l2，直線l1，l2間的距離為d＝＝，設(shè)直線m與直線l1，l2分別相交于點(diǎn)B，A，則|AB|＝2，過點(diǎn)A作直線l垂直于直線l1，垂足為C，則|AC|＝d＝，則在Rt△ABC中，sin∠ABC＝＝＝，所以∠ABC＝30°，又直線l1的傾斜角為45°，所以直線m的傾斜角為45°＋30°＝75°或45°－30°＝15°. 答案：①⑤