高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第五章 ：第四節(jié)

精品資料 課時(shí)提升作業(yè)(三十三) 一、選擇題 1.(2013南昌模擬)已知等比數(shù)列{an}公比為q,其前n項(xiàng)和為Sn,若S3,S9,S6成等差數(shù)列,則q3等于　(　　) (A)-12 (B)1 (C)-12或1 (D)-1或12 2.(2013長(zhǎng)春模擬)在等差數(shù)列{an}中,a9=12a12+6,則數(shù)列{an}的前11項(xiàng)和S11等于　(　　) (A)24 (B)48 (C)66 (D)132 3.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=2n-3(15)n,則其前20項(xiàng)和為　(　　) (A)380-35(1-1519) (B)400-25(1-1520) (C)420-34(1-1520) (D)440-45(1-1520) 4.(2013阜陽模擬)已知直線(3m+1)x+(1-m)y-4=0所過定點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)分別是等差數(shù)列{an}的第一項(xiàng)與第二項(xiàng),若bn=1anan+1,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,則T10=　 (　　) (A)921 (B)1021 (C)1121　　 (D)2021 5.(2013太原模擬)已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0,且a1,a3,a9成等比數(shù)列,則a1+a3+a9a2+a4+a10=　(　　) (A)914 (B)1115 (C)1316 (D)1517 6.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=3n+b(b是常數(shù)),若這個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列,那么b為　 (　　) (A)3 (B)0 (C)-1 (D)1 7.等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,則m=　(　　) (A)38 (B)20 (C)10 (D)9 8.(能力挑戰(zhàn)題)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2n-1,則a12+a22+a32+…+an2等于　(　　) (A)(2n-1)2 (B)13(2n-1)2 (C)4n-1 (D)13(4n-1) 二、填空題 9.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若a3=20-a6,則S8等于　　　　. 10.數(shù)列{1+2n-1}的前n項(xiàng)和為　　　　. 11.(2013蕪湖模擬)已知數(shù)列{an}中,a1=1,a2=2,當(dāng)整數(shù)n>1時(shí),Sn+1+Sn-1=2(Sn+S1)都成立,則S5=　　　　　. 12.(2013哈爾濱模擬)在數(shù)列{an}中,若對(duì)任意的n均有an+an+1+an+2為定值(n∈N+),且a7=2,a9=3,a98=4,則此數(shù)列{an}的前100項(xiàng)的和S100=　　　　. 三、解答題 13.已知數(shù)列{log2(an-1)}(n∈N+)為等差數(shù)列,且a1=3,a3=9. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式. (2)求和: Sn=1a2-a1+1a3-a2+…+1an+1-an. 14.(2012湖州模擬)設(shè){an}是等差數(shù)列,{bn}是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列,且a1=b1=1,a3+b5=21,a5+b3=13. (1)求{an},{bn}的通項(xiàng)公式. (2)求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Sn. 15.(能力挑戰(zhàn)題)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=n2n-1,bn=an+2anan+1,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和. 答案解析 1.【解析】選A.當(dāng)q=1時(shí),顯然不可能;當(dāng)q≠1時(shí),根據(jù)已知得2a1(1-q9)1-q=a1(1-q3)1-q+a1(1-q6)1-q, 即2q9=q6+q3,即2q6-q3-1=0, 解得q3=1(舍),或q3=-12. 2.【解析】選D.設(shè)公差為d,則a1+8d=12a1+112d+6,即a1+5d=12,即a6=12,所以S11=11a6=132. 3.【解析】選C.由an=2n-3(15)n, 得S20=2(1+2+…+20)-3(15+152+…+1520) =220(1+20)2-315(1-1520)1-15=420-34(1-1520),故選C. 4.【解析】選B.將直線方程化為(x+y-4)+m(3x-y)=0, 令x+y-4=0,3x-y=0,解得x=1,y=3,即直線過定點(diǎn)(1,3), 所以a1=1,a2=3,公差d=2, ∴an=2n-1, ∴bn=1anan+1=12(12n-1-12n+1), ∴T10=12(11-13+13-15+…+120-1-120+1) =12(11-121)=1021. 5.【解析】選C.等差數(shù)列{an}中,a1=a1,a3=a1+2d,a9=a1+8d,因?yàn)閍1,a3,a9恰好構(gòu)成某等比數(shù)列,所以有a32=a1a9,即(a1+2d)2=a1(a1+8d),解得d=a1,所以該等差數(shù)列的通項(xiàng)為an=nd.則a1+a3+a9a2+a4+a10的值為1316. 6.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)數(shù)列的前n項(xiàng)和減去前n-1項(xiàng)的和得到數(shù)列的第n項(xiàng)的通項(xiàng)公式,即可得到此等比數(shù)列的首項(xiàng)與公比,根據(jù)首項(xiàng)和公比,利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式表示出前n項(xiàng)的和,與已知的Sn=3n+b對(duì)比后,即可得到b的值. 【解析】選C.因?yàn)閍n=Sn-Sn-1=(3n+b)-(3n-1+b)=3n-3n-1=23n-1(n≥2),所以此數(shù)列是首項(xiàng)為2,公比為3的等比數(shù)列, 則Sn=2(1-3n)1-3=3n-1, 所以b=-1. 7.【解析】選C.因?yàn)閧an}是等差數(shù)列,所以am-1+am+1=2am,由am-1+am+1-am2=0,得2am-am2=0,所以am=2(am=0舍),又S2m-1=38,即(2m-1)(a1+a2m-1)2=38,即(2m-1)2=38,解得m=10,故選C. 8.【解析】選D.an=Sn-Sn-1=2n-1(n>1),又a1=S1=1=20,適合上式,∴an=2n-1(n∈N+), ∴{an2}是a12=1,q=22的等比數(shù)列,由求和公式得a12+a22+a32+…+an2=1(1-4n)1-4=13(4n-1). 9.【解析】因?yàn)閍3=20-a6, 所以S8=4(a3+a6)=420=80. 答案：80 10.【解析】前n項(xiàng)和Sn=1+20+1+21+1+22+…+1+2n-1=n+1-2n1-2=n+2n-1. 答案：n+2n-1 11.【解析】由Sn+1+Sn-1=2(Sn+S1) 得(Sn+1-Sn)-(Sn-Sn-1)=2S1=2, 即an+1-an=2(n≥2),數(shù)列{an}從第二項(xiàng)起構(gòu)成等差數(shù)列, 則S5=1+2+4+6+8=21. 答案：21 12.【解析】設(shè)定值為M,則an+an+1+an+2=M,進(jìn)而an+1+an+2+an+3=M,后式減去前式得an+3=an,即數(shù)列{an}是以3為周期的數(shù)列.由a7=2,可知a1=a4=a7=…=a100=2,共34項(xiàng),其和為68;由a9=3,可得a3=a6=…=a99=3,共33項(xiàng),其和為99;由a98=4,可得a2=a5=…=a98=4,共33項(xiàng),其和為132.故數(shù)列{an}的前100項(xiàng)的和S100=68+99+132=299. 答案：299 13.【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列{log2(an-1)}的公差為d. 由a1=3,a3=9得2(log22+d)=log22+log28, 即d=1. 所以log2(an-1)=1+(n-1)1=n,即an=2n+1. (2)因?yàn)?an+1-an=12n+1-2n=12n, 所以Sn=1a2-a1+1a3-a2+…+1an+1-an =121+122+123+…+12n =12-12n121-12=1-12n. 14.【解析】(1)設(shè){an}的公差為d,{bn}的公比為q,則依題意有q>0且1+2d+q4=21,1+4d+q2=13,解得d=2,q=2. 所以an=1+(n-1)d=2n-1,bn=qn-1=2n-1. (2)anbn=2n-12n-1, Sn=1+321+522+…+2n-32n-2+2n-12n-1,?、? 2Sn=2+3+52+…+2n-32n-3+2n-12n-2.?、? ②-①,得Sn=2+2+22+222+…+22n-2-2n-12n-1 =2+2(1+12+122+…+12n-2)-2n-12n-1 =2+21-12n-11-12-2n-12n-1=6-2n+32n-1. 【變式備選】已知各項(xiàng)都不相等的等差數(shù)列{an}的前6項(xiàng)和為60,且a6為a1和a21的等比中項(xiàng). (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式. (2)若數(shù)列{bn}滿足bn+1-bn=an(n∈N+),且b1=3,求數(shù)列{1bn}的前n項(xiàng)和Tn. 【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0), 則6a1+15d=60,a1(a1+20d)=(a1+5d)2, 解得d=2,a1=5,∴an=2n+3. (2)由bn+1-bn=an, ∴bn-bn-1=an-1(n≥2,n∈N+), bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1 =an-1+an-2+…+a1+b1=n(n+2), 當(dāng)n=1時(shí),b1=3也適合上式, ∴bn=n(n+2)(n∈N+). ∴1bn=1n(n+2)=12(1n-1n+2), Tn=12(1-13+12-14+…+1n-1n+2) =12(32-1n+1-1n+2)=3n2+5n4(n+1)(n+2). 15.【解析】ak+2akak+1=(k+2)2k+1k2k-1(k+1)2k =k+2k(k+1)2k-2=2(k+1)-kk(k+1)2k-2 =1k2k-3-1(k+1)2k-2,k=1,2,3,…,n 故a3a1a2+a4a2a3+…+an+2anan+1 =(112-2-122-1)+(122-1-1320)+…+[1n2n-3-1(n+1)2n-2]=112-2-1(n+1)2n-2 =4-1(n+1)2n-2. 【方法技巧】裂項(xiàng)相消法的應(yīng)用技巧 裂項(xiàng)相消法的基本思想是把數(shù)列的通項(xiàng)an分拆成an=bn+1-bn或者an=bn-bn+1或者an=bn+2-bn等,從而達(dá)到在求和時(shí)逐項(xiàng)相消的目的,在解題中要善于根據(jù)這個(gè)基本思想變換數(shù)列an的通項(xiàng)公式,使之符合裂項(xiàng)相消的條件.在裂項(xiàng)時(shí)一定要注意把數(shù)列的通項(xiàng)分拆成的兩項(xiàng)一定是某個(gè)數(shù)列中的相鄰的兩項(xiàng)或者是等距離間隔的兩項(xiàng),只有這樣才能實(shí)現(xiàn)逐項(xiàng)相消后剩下幾項(xiàng),達(dá)到求和的目的.