三年模擬一年創(chuàng)新高考數(shù)學(xué) 復(fù)習(xí) 第八章 第六節(jié) 空間向量的應(yīng)用 理全國通用

第六節(jié)第六節(jié) 空間向量的應(yīng)用空間向量的應(yīng)用 A 組 專項(xiàng)基礎(chǔ)測試 三年模擬精選 一、選擇題 1(20 xx長沙模擬)有以下命題： 如果向量a a，b b與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底，那么a a，b b的關(guān)系是不共線； O，A，B，C為空間四點(diǎn)，且向量OA，OB，OC不構(gòu)成空間的一個(gè)基底，那么點(diǎn)O，A，B，C一定共面； 已知向量a a，b b，c c是空間的一個(gè)基底，則向量a ab b，a ab b，c c也是空間的一個(gè)基底 其中正確的命題是( ) A B C D 解析 對(duì)于，“如果向量a a，b b與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底，那么a a，b b的關(guān)系一定是共線”，所以錯(cuò)誤，正確 答案 C 2(20 xx莆田模擬)已知a a(2，1，3)，b b(1，4，2)，c c(7，5，)，若a a，b b，c c三向量共面，則實(shí)數(shù)等于( ) A.627 B.637 C.607 D.657 解析 由題意得c cta ab b(2t，t4，3t2)， 72t，5t4，3t2，解得t337，177，657. 答案 D 3(20 xx長春模擬)已知點(diǎn)B是點(diǎn)A(3，7，4)在xOz平面上的射影，則OB2等于( ) A(9，0，16) B25 C5 D13 解析 A在xOz平面上的射影為B(3，0，4)，則OB(3，0，4)，OB 225. 答案 B 4(20 xx青島調(diào)研)正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為 1，點(diǎn)M在AC1上，且AM12MC1，N為B1B的中點(diǎn)，則|MN|為( ) A.216 B.66 C.156 D.153 解析 如圖，設(shè)ABa a，ADb b，AA1c c， 則a ab bb bc cc ca a0. 由條件知MNMAABBN 13(a ab bc c)a a12c c 23a a13b b16c c， MN249a a219b b2136c c22136， |MN|216. 答案 A 二、填空題 5(20 xx壽光模擬)已知a a(1t，1t，t)，b b(2，t，t)，則|b ba a|的最小值為_ 解析 b ba a(1t，2t1，0)， |b ba a| （1t）2（2t1）25（t15）295， 當(dāng)t15時(shí)，|b ba a|取得最小值為3 55. 答案 3 55 一年創(chuàng)新演練 6.如圖所示，已知空間四邊形OABC，OBOC，且AOBAOC3，則 cosOA，BC的值為( ) A0 B.12 C.32 D.22 解析 設(shè)OAa a，OBb b，OCc c，由已知條件a a，b ba a，c c3，且|b b|c c|， OABCa a(c cb b)a ac ca ab b 12|a a|c c|12|a a|b b|0， cosOA，BC0. 答案 A 7.直三棱柱ABCABC中，ACBCAA，ACB90，D，E分別為AB，BB的中點(diǎn) (1)求證：CEAD； (2)求異面直線CE與AC所成角的余弦值 (1)證明 設(shè)CAa a，CBb b， CCc c， 根據(jù)題意，|a a|b b|c c|， 且a ab bb bc cc ca a0， CEb b12c c，ADc c12b b12a a. CEAD12c c212b b20. CEAD，即CEAD. (2)解 ACa ac c， |AC| 2|a a|，|CE|52|a a|. ACCE(a ac c)(b b12c c)12c c212|a a|2， cosAC，CE12|a a|2252|a a|21010. 即異面直線CE與AC所成角的余弦值為1010. B 組 專項(xiàng)提升測試 三年模擬精選 一、選擇題 8(20 xx福州模擬)若兩點(diǎn)的坐標(biāo)是A(3cos ，3sin ，1)，B(2cos ，2sin ，1)，則|AB|的取值范圍是( ) A0，5 B1，5 C(0，5) D1，25 解析 A(3cos ，3sin ，1)，B(2cos ，2sin ，1)，|AB| （3cos 2cos ）2（3sin 2sin ）2（11）2 9412（cos cos sin sin ） 1312cos（）， 1312|AB| 255， 即 1|AB|5，故選 B. 答案 B 二、填空題 9(20 xx?？谀M)已知空間三點(diǎn)A(0，2，3)，B(2，1，6)，C(1，1，5)則以AB，AC為邊的平行四邊形的面積為_ 解析 由題意可得： AB(2，1，3)，AC(1，3，2)， cosAB，ACABAC|AB|AC| 23614 1471412.sinAB，AC32. 以AB，AC為邊的平行四邊形的面積 S212|AB|AC|sinAB，AC14327 3. 答案 7 3 三、解答題 10.(20 xx河南商丘模擬)如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB側(cè)面BB1C1C，ABBC1，BB12，BCC160. (1)求證：C1B平面ABC； (2)設(shè)CECC1(01)，且平面AB1E與BB1E所成的銳二面角的大小為 30，試求的值 (1)證明 因?yàn)锳B平面BB1C1C，BC1 平面BB1C1C，所以ABBC1， 在CBC1中，BC1，CC1BB12，BCC160， 由余弦定理得：BC21BC2CC212BCCC1cosBCC1 1222212cos 603， 所以BC1 3，故BC2BC21CC21，所以BCBC1， 又BCABB，C1B平面ABC. (2)解 由(1)可知，AB，BC，BC1兩兩垂直以B為原點(diǎn)，BC，BA，BC1所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系. 則B(0，0，0)，A(0，1，0)，C(1，0，0)， C1(0，0， 3)，B1(1，0， 3) 所以CC1(1，0， 3), 所以CE(，0， 3)，E(1，0， 3)，則AE(1，1， 3)，AB1(1，1， 3) 設(shè)平面AB1E的一個(gè)法向量為n n(x，y，z)， 則n nAE，n nAB1，得（1）xy 3z0，xy 3z0， 令z 3，則x332，y32， ，n n332，32， 3 ， AB平面BB1C1C，BA(0，1，0)是平面的一個(gè)法向量， |cosn n，BA|n nBA|n n|BA| 3213322322（ 3）232. 兩邊平方并化簡得 22530，所以1 或32(舍去)1. 11(20 xx山東青島一模)如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是邊長為 2 的的菱形，BAD60，四邊形BDEF是矩形，平面BDEF平面ABCD，BF3，G和H分別是CE和CF的中點(diǎn) (1)求證：平面BDGH平面AEF； (2)求二面角HBDC的大小 (1)證明 在CEF中，因?yàn)镚，H分別是CE，CF的中點(diǎn) 所以GHEF，又因?yàn)镚H平面AEF，EF 平面AEF， 所以GH平面AEF. 設(shè)ACBDO，連接OH， 因?yàn)锳BCD為菱形， 所以O(shè)為AC中點(diǎn)， 在ACF中，因?yàn)镺AOC，CHHF， 所以O(shè)HAF， 又因?yàn)镺H平面AEF，AF 平面AEF， 所以O(shè)H平面AEF. 又因?yàn)镺HGHH，OH，GH 平面BDGH， 所以平面BDGH平面AEF. (2)解 取EF的中點(diǎn)N，連接ON， 因?yàn)樗倪呅蜝DEF是矩形，O，N分別為BD，EF的中點(diǎn)， 所以O(shè)NED， 因?yàn)槠矫鍮DEF平面ABCD， 所以ED平面ABCD， 所以O(shè)N平面ABCD， 因?yàn)锳BCD為菱形，所以ACBD，得OB，OC，ON兩兩垂直 所以以O(shè)為原點(diǎn)，OB，OC，ON所在直線分別為x軸，y軸，z軸， 如圖建立空間直角坐標(biāo)系 因?yàn)榈酌鍭BCD是邊長為 2 的菱形，BAD60，BF3， 所以B(1，0，0)，D(1，0，0)，E(1，0，3)，F(xiàn)(1，0，3)，C(0，3，0)，H12，32，32， 所以BH12，32，32，DB(2，0，0) 設(shè)平面BDH的法向量為n n(x，y，z)， 則n nBH0n nDB0 x 3y3z0，2x0， 令z1，得n n(0， 3，1) 由ED平面ABCD，得平面BCD的法向量為DE(0，0，3)， 則 cosn n，DEn nDE|n|n|DE| 00（ 3）01323 12. 所以二面角HBDC的大小為 60. 一年創(chuàng)新演練 12如圖，在直角梯形ABCP中，APBC，APAB，ABBC12AP2，D是AP的中點(diǎn)，E，F(xiàn)，G分別為PC，PD，CB的中點(diǎn)將PCD沿CD折起，使得PD平面ABCD. (1)求證：平面PCD平面PAD； (2)求二面角GEFD的大??； (3)求三棱錐DPAB的體積 (1)證明 PD平面ABCD.CD 平面ABCD， PDCD.又ABBC12APAD，APAB， 四邊形ABCD為正方形， CDAD.又PDADD， CD平面PAD. CD 平面PCD， 平面PCD平面PAD. (2)解 如圖，以D為原點(diǎn)，分別以DC，DA，DP為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz. 則G(2，1，0)，E(1，0，1)， F(0，0，1)，EF(1，0，0)，EG(1，1，1) 設(shè)平面EFG的法向量為n n(x，y，z)， n nEF0，n nEG0，即 x0，xyz0， x0，yz. 取n n(0，1，1) 取平面PCD的一個(gè)法向量DA(0，1，0)， cosDA，n nDAn n|DA|n n|1222. 結(jié)合圖知二面角GEFD的大小為 45. (3)解 三棱錐DPAB的體積 VDPABVPDAB13SABDPD 131222243. 13.如圖，平面PAC平面ABC，ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，E，F(xiàn)，O分別為PA，PB，AC的中點(diǎn)，AC16，PAPC10. (1)設(shè)G是OC的中點(diǎn)，證明：FG平面BOE； (2)證明：在ABO內(nèi)存在一點(diǎn)M，使FM平面BOE，并求點(diǎn)M到OA，OB的距離 證明 (1)如圖，連接OP，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)B，OC，OP所在直線為x軸，y軸，x軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz， 則O(0，0，0)，A(0，8，0)，B(8，0，0)，C(0，8，0)，P(0，0，6)，E(0，4，3)，F(xiàn)(4，0，3) 由題意，得G(0，4，0) 因?yàn)镺B(8，0，0)，OE(0，4，3)， 所以平面BOE的一個(gè)法向量為n n(0，3，4) 由FG(4，4，3)，得n nFG0， 又直線FG不在平面BOE內(nèi)，所以FG平面BOE. (2)設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0，y0，0)， 則FM(x04，y0，3) 因?yàn)镕M平面BOE， 所以FMn n. 因此x04，y094， 即點(diǎn)M的坐標(biāo)是(4，94，0) 在平面直角坐標(biāo)系xOy中， AOB的內(nèi)部區(qū)域可表示為不等式組 x0，y0，xy8. 經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足上述不等式組，所以在AOB內(nèi)存在一點(diǎn)M, 使FM平面BOE. 由點(diǎn)M的坐標(biāo)得點(diǎn)M到OA，OB的距離分別為 4，94.