新課標(biāo)高三數(shù)學(xué) 一輪復(fù)習(xí) 第3篇 第5節(jié) 三角恒等變換課時(shí)訓(xùn)練 理

【導(dǎo)與練】（新課標(biāo)）20xx屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第3篇 第5節(jié) 三角恒等變換課時(shí)訓(xùn)練 理 【選題明細(xì)表】 知識(shí)點(diǎn)、方法 題號(hào) 三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值 2、7、14 給值求值 1、3、5、10、11 給值求角 4、8、9、13 綜合問(wèn)題 6、12、15、16 基礎(chǔ)過(guò)關(guān) 一、選擇題 1.(20xx溫州一模)已知sin 2α=13,則cos2(α-π4)等于(　C　) (A)13 (B)-13 (C)23 (D)-23 解析:cos2(α-π4)=1+cos(2α-π2)2=1+sin2α2 =1+132=23.故選C. 2.化簡(jiǎn)sin235°-12cos10°cos80°等于(　C　) (A)-2 (B)-12 (C)-1 (D)1 解析:sin235°-12cos10°cos80°=1-cos70°2-12cos10°sin10°=-12cos70°12sin20°=-1. 故選C. 3.在△ABC中,tan A=12,cos B=31010,則tan C的值是(　B　) (A)1 (B)-1 (C)2 (D)-2 解析:由sin2B+cos2B=1, 則sin B=1-cos2B=1-(31010) 2=1010, ∴tan B=sinBcosB=101031010=13, 由三角形內(nèi)角和定理有A+B+C=π, 所以tan C=-tan(A+B)=-tanA+tanB1-tanA·tanB =-12+131-12×13=-1. 故選B. 4.(20xx咸陽(yáng)月考)若函數(shù)sin α-cos α=-13(0<α<π2),則α屬于(　B　) (A)(0,π6) (B)(π12,π4) (C)(π4,π3) (D)(π3,π2) 解析:sin α-cos α=2sin(α-π4)=-13, sin(α-π4)=-26,由-12<-26<0, 因?yàn)?<α<π2, 所以-π6<α-π4<0,即π12<α<π4, 故選B. 5.設(shè)α、β都是銳角,且cos α=55,sin(α+β)=35,則cos β等于(　A　) (A)2525 (B)255 (C)2525或55 (D)255或2525 解析:因α、β為銳角,cos α=55,sin(α+β)=35, 所以sin α=255,cos(α+β)=±45. 又因?yàn)閏os α=55<12,α∈(0,π2), 所以α∈(π3,π2),從而α+β>π3. 于是cos(α+β)<12, 故cos(α+β)=-45. cos β=cos[(α+β)-α] =cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α =-45×55+35×255 =2525. 故選A. 6.已知向量m=(3sin x4,1),n=(cos x4,cos2x4),f(x)=m·n,若f(x)=1,則cos(x+π3)的值為(　A　) (A)12 (B)22 (C)-22 (D)-12 解析:∵f(x)=m·n=3sin x4cos x4+cos2x4=32sin x2+12cos x2+12=sin(x2+π6)+12,而f(x)=1, ∴sin(x2+π6)=12,∴cos(x+π3)=cos 2(x2+π6)=1-2sin2(x2+π6)=12.故選A. 二、填空題 7.(20xx昆明一模)若cos(α+β)=15,cos(α-β)=35,則tan αtan β=　　　　.  解析:由題cos αcos β-sin αsin β=15, cos αcos β+sin αsin β=35,則cos αcos β=25, sin αsin β=15,sinαsinβcosαcosβ=tan αtan β=12. 答案:12 8.sin α=35,cos β=35,其中α、β∈(0,π2),則α+β=　　　　.  解析:∵sin α=35,cos β=35,α,β∈(0,π2), ∴cos α=45,sin β=45, ∴cos(α+β)=45×35-35×45=0. 又∵α+β∈(0,π), ∴α+β=π2. 答案:π2 9.已知cos α=17,cos(α+β)=-1114,α∈(0,π2),α+β∈(π2,π),則β的值為　　　　.  解析:∵cos α=17,α∈(0,π2),∴sin α=437, 又∵cos(α+β)=-1114,α+β∈(π2,π),∴sin (α+β)=5314, ∵cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α =12, 又∵α∈(0,π2),α+β∈(π2,π),β∈(0,π),∴β=π3. 答案:π3 10.已知sin(α-π3)=35,α∈[5π6,5π4],則cos α=　　　　.  解析:因?yàn)棣痢蔥5π6,5π4],所以α-π3∈[π2,11π12], 因?yàn)閟in(α-π3)=35,所以cos(α-π3)=-45. 因此cos α=cos(α-π3+π3)=12cos(α-π3)-32sin(α-π3)=-4+3310. 答案:-4+3310 三、解答題 11.(20xx高考江蘇卷)已知α∈(π2,π),sin α=55. (1)求sin(π4+α)的值; (2)求cos(5π6-2α)的值. 解:(1)因?yàn)棣痢?π2,π),sin α=55, 所以cos α=-1-sin2α=-255. 故sin(π4+α)=sin π4cos α+cos π4sin α =22×(-255)+22×55 =-1010. (2)由(1)知sin 2α=2sin αcos α =2×55×(-255) =-45, cos 2α=1-2sin2α=1-2×(55)2=35, 所以cos(5π6-2α)=cos 5π6cos 2α+sin 5π6sin 2α =(-32)×35+12×(-45) =-4+3310. 12.已知向量a=(2cos x,1),b=(cos x,3sin 2x),函數(shù)f(x)=a·b. (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間; (2)當(dāng)x∈[π6,π2]時(shí),若f(x)=115,求f(x-π12)的值. 解:(1)f(x)=2cos2x+3sin 2x=2sin(2x+π6)+1, ∴T=π. 由2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2,得kπ-π3≤x≤kπ+π6(k∈Z),則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-π3,kπ+π6](k∈Z). (2)f(x)=2sin(2x+π6)+1=115,則sin(2x+π6)=35. 由π6≤x≤π2,得π2≤2x+π6≤7π6, 所以cos(2x+π6)=-1-sin2(2x+π6)=-45, f(x-π12)=2sin(2x+π6-π6)+1 　=2sin(2x+π6)cos π6-2cos(2x+π6)sin π6+1 　=2×35×32-2×(-45)×12+1 　=33+95. 能力提升 13.(20xx高考新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)α∈(0,π2),β∈(0,π2),且tan α=1+sinβcosβ,則(　C　) (A)3α-β=π2 (B)3α+β=π2 (C)2α-β=π2 (D)2α+β=π2 解析:由題得sinαcosα=1+sinβcosβ, sin αcos β=cos α+cos αsin β, 即sin(α-β)=cos α, sin(α-β)=sin(π2-α), 又-π2<α-β<π2,0<π2-α<π2, ∴α-β=π2-α, 2α-β=π2.故選C. 14.定義運(yùn)算a☉b=ab2+a2b,則sin 75°☉cos 75°的值是　　　　.  解析:由題意,sin 75°☉cos 75°=cos 15°☉sin 15°=cos 15°sin215°+cos215°sin 15°=sin 15°cos 15°(sin 15°+ cos 15°)=12sin 30°(sin 15°+cos 15°)=24(22sin 15°+22cos 15°) =24(cos 45°sin 15°+sin 45°cos 15°)=24sin 60°=24×32=68. 答案:68 15.(20xx北京東城區(qū)期末)已知函數(shù)f(x)=23sin xcos x-2sin2x+1. (1)求f(π12)的值; (2)求f(x)在區(qū)間[0,π2]上的最大值和最小值. 解:(1)由f(x)=23sin xcos x-2sin2x+1 =3sin 2x+cos 2x, 得f(x)=2sin(2x+π6). 所以f(π12)=2sin π3=3. (2)因?yàn)?≤x≤π2,所以π6≤2x+π6≤7π6. 當(dāng)2x+π6=π2,即x=π6時(shí), 函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,π2]上的最大值為2. 當(dāng)2x+π6=7π6,即x=π2時(shí), 函數(shù)f(x)在[0,π2]上的最小值為-1. 探究創(chuàng)新 16.(20xx陜西長(zhǎng)安模擬)已知角α的頂點(diǎn)在原點(diǎn),始邊與x軸的正半軸重合,終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(-3,3). (1)求sin 2α-tan α的值; (2)若函數(shù)f(x)=cos(x-α)cos α-sin(x-α)sin α,求函數(shù)y=3f(π2-2x)-2f2(x)在區(qū)間[0,2π3]上的值域. 解:(1)因?yàn)榻铅两K邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(-3,3), 所以sin α=12,cos α=-32,tan α=-33. ∴sin 2α-tan α=2sin αcos α-tan α=-32+33=-36. (2)∵f(x)=cos(x-α)cos α-sin(x-α)sin α=cos x,x∈R, ∴y=3cos(π2-2x)-2cos2x=3sin 2x-1-cos 2x=2sin(2x-π6)-1. ∵0≤x≤2π3,∴0≤2x≤4π3,∴-π6≤2x-π6≤7π6, ∴-12≤sin(2x-π6)≤1,∴-2≤2sin(2x-π6)-1≤1, 故函數(shù)y=3f(π2-2x)-2f2(x)在區(qū)間[0,2π3]上的值域是[-2,1].