新課標(biāo)高三數(shù)學(xué) 一輪復(fù)習(xí) 第2篇 第8節(jié) 函數(shù)與方程課時(shí)訓(xùn)練 理

【導(dǎo)與練】（新課標(biāo)）20xx屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2篇 第8節(jié) 函數(shù)與方程課時(shí)訓(xùn)練 理【選題明細(xì)表】知識(shí)點(diǎn)、方法題號(hào)函數(shù)零點(diǎn)(個(gè)數(shù))2、3、4、7、9確定函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間1、6利用函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)確定參數(shù)的取值(范圍)5、10、14、16函數(shù)零點(diǎn)的綜合問題8、11、12、13、15基礎(chǔ)過關(guān)一、選擇題1.(20xx廣州模擬)在下列區(qū)間中,函數(shù)f(x)=3x-x-3的一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間為(B)(A)(0,1)(B)(1,2)(C)(2,3)(D)(3,4)解析:由已知得f(0)=30-0-3=-2<0,f(1)=3-1-3=-1<0,f(2)=32-2-3=4>0,所以f(1)f(2)<0,所以零點(diǎn)所在區(qū)間為(1,2).2.函數(shù)f(x)=ex+3x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是(B)(A)0(B)1(C)2(D)3解析:易知f(x)=ex+3x在R上單調(diào)遞增,又f(-1)=e-1-3<0,f(1)=e+3>0,函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn),故選B.3.(20xx荊門調(diào)研)已知函數(shù)y=f(x)的圖象是連續(xù)不間斷的曲線,且有如下的對(duì)應(yīng)值:x123456y124.435-7414.5-56.7-123.6則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間1,6上的零點(diǎn)至少有(B)(A)2個(gè)(B)3個(gè)(C)4個(gè)(D)5個(gè)解析:依題意,f(2)f(3)<0,f(3)f(4)<0,f(4)f(5)<0,故函數(shù)y=f(x)在區(qū)間1,6上的零點(diǎn)至少有3個(gè).4.已知關(guān)于x的方程xln x=ax+1(aR),下列說法正確的是(B)(A)有兩不等根(B)只有一正根(C)無實(shí)數(shù)根(D)不能確定解析:由xln x=ax+1(aR)知x>0,ln x=a+1x,作出函數(shù)y1=ln x與y2=a+1x的圖象,易知選B.5.已知x>0,符號(hào)x表示不超過x的最大整數(shù),若函數(shù)f(x)=xx-a(x0)有且僅有3個(gè)零點(diǎn),則a的取值范圍是(A)(A)(34,45(B)34,45(C)(12,23(D)12,23解析:當(dāng)0<x<1時(shí),f(x)=xx-a=-a;1x<2時(shí),f(x)=xx-a=1x-a;2x<3時(shí),f(x)=xx-a=2x-a,f(x)=xx-a的圖象是把y=xx的圖象進(jìn)行縱向平移而得到的,畫出y=xx的圖象,通過數(shù)形結(jié)合可知a(34,45.6.(20xx鄭州模擬)已知x0是函數(shù)f(x)=11-x+ln x的一個(gè)零點(diǎn),若x1(1,x0),x2(x0,+),則(D)(A)f(x1)<0,f(x2)<0(B)f(x1)>0,f(x2)>0(C)f(x1)>0,f(x2)<0(D)f(x1)<0,f(x2)>0解析:令f(x)=11-x+ln x=0.從而有l(wèi)n x=1x-1,此方程的解即為函數(shù)f(x)的零點(diǎn).在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=ln x與y=1x-1的圖象如圖所示.由圖象易知,1x1-1>ln x1,從而ln x1-1x1-1<0,故ln x1+11-x1<0,即f(x1)<0.同理f(x2)>0.二、填空題7.(20xx煙臺(tái)模擬)函數(shù)f(x)=cos x-log8x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.解析:由f(x)=0得cos x=log8x,設(shè)y=cos x,y=log8x,作出函數(shù)y=cos x,y=log8x的圖象,由圖象可知,函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.答案:38.(20xx安徽安慶三模)若x1,x2是函數(shù)f(x)=x2+mx-2(mR)的兩個(gè)零點(diǎn),且x1<x2,則x2-x1的最小值是.解析:由于=m2+8>0,故函數(shù)f(x)一定有兩個(gè)不同的零點(diǎn),且兩個(gè)零點(diǎn)異號(hào),故x2>0,x1<0,所以x2-x1=(x2+x1)2-4x1x2=m2+822.答案:229.(20xx浙江協(xié)作體模擬)函數(shù)f(x)=x+1,x0,log2x,x>0,則函數(shù)y=ff(x)+1的所有零點(diǎn)所構(gòu)成的集合為.解析:由ff(x)+1=0,得ff(x)=-1,由f(x)=-1得x=-2或x=12,則函數(shù)y=ff(x)+1的零點(diǎn)就是使f(x)=-2或f(x)=12的x值,解f(x)=-2得x=-3或x=14;解f(x)=12得x=-12或x=2,從而函數(shù)y=ff(x)+1的零點(diǎn)構(gòu)成的集合為-3,-12,14,2.答案:-3,-12,14,210.(20xx河北邯鄲一模)已知f(x)=12+x2+2x,x<0,f(x-1),x0,且函數(shù)y=f(x)+ax恰有3個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.解析:當(dāng)x<0時(shí),f(x)=(x+1)2-12,把函數(shù)f(x)在-1,0)上的圖象向右平移一個(gè)單位即得函數(shù)y=f(x)在0,1)上的圖象,繼續(xù)右移可得函數(shù)f(x)在0,+)上的圖象.如果函數(shù)y=f(x)+ax恰有3個(gè)不同的零點(diǎn),即函數(shù)y=f(x),y=-ax的圖象有三個(gè)不同的公共點(diǎn),實(shí)數(shù)a應(yīng)滿足-a<-12或14-a<12,即a>12或-12<a-14.答案:(-12,-14(12,+)三、解答題11.(1)m為何值時(shí),函數(shù)f(x)=x2+2mx+3m+4有兩個(gè)零點(diǎn)且均比-1大;(2)若函數(shù)(x)=|4x-x2|+a有4個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解:(1)法一設(shè)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為x1,x2,則x1+x2=-2m,x1x2=3m+4.由題意,知=4m2-4(3m+4)>0,(x1+1)(x2+1)>0,(x1+1)+(x2+1)>0m2-3m-4>0,3m+4-2m+1>0,-2m+2>0m>4或m<-1,m>-5,m<1,-5<m<-1.故m的取值范圍為(-5,-1).法二由題意,知>0,-m>-1,f(-1)>0,即m2-3m-4>0,m<1,1-2m+3m+4>0.-5<m<-1.m的取值范圍為(-5,-1).(2)令 (x)=0,得|4x-x2|+a=0,即|4x-x2|=-a.令g(x)=|4x-x2|,h(x)=-a.作出g(x)、h(x)的圖象.由圖象可知,當(dāng)0<-a<4,即-4<a<0時(shí),g(x)與h(x)的圖象有4個(gè)交點(diǎn),即(x)有4個(gè)零點(diǎn).故a的取值范圍為(-4,0).12.已知函數(shù)f(x)=-x2+2ex+t-1,g(x)=x+e2x(x>0,其中e表示自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).(1)若g(x)=m有零點(diǎn),求m的取值范圍;(2)確定t的取值范圍,使得g(x)-f(x)=0有兩個(gè)相異實(shí)根.解:(1)法一g(x)=x+e2x2e2=2e,等號(hào)成立的條件是x=e.故g(x)的值域是2e,+),因而只需m2e,則g(x)=m就有零點(diǎn).法二解方程g(x)=m,得x2-mx+e2=0.此方程有大于零的根,故m2>0,=m2-4e20.等價(jià)于m>0,m2e或m-2e,故m2e.即m的取值范圍為2e,+).(2)若g(x)-f(x)=0有兩個(gè)相異的實(shí)根,即函數(shù)g(x)與f(x)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn),作出g(x)、f(x)的圖象.f(x)=-x2+2ex+t-1=-(x-e)2+t-1+e2.其對(duì)稱軸為x=e,開口向下,最大值為t-1+e2.故當(dāng)t-1+e2>2e,即t>-e2+2e+1時(shí),g(x)與f(x)有兩個(gè)交點(diǎn),即g(x)-f(x)=0有兩個(gè)相異實(shí)根.t的取值范圍是(-e2+2e+1,+).能力提升13.若直角坐標(biāo)平面內(nèi)的兩點(diǎn)P,Q滿足條件:P,Q都在函數(shù)y=f(x)的圖象上;P,Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.則稱點(diǎn)對(duì)P,Q是函數(shù)y=f(x)的一對(duì)“友好點(diǎn)對(duì)”(點(diǎn)對(duì)P,Q與Q,P看作同一對(duì)“友好點(diǎn)對(duì)”).已知函數(shù)f(x)=log2x,x>0,-x2-4x,x0,則此函數(shù)的“友好點(diǎn)對(duì)”有(C)(A)0對(duì)(B)1對(duì)(C)2對(duì)(D)3對(duì)解析:函數(shù)f(x)=log2x,x>0,-x2-4x,x0的圖象及函數(shù)f(x)=-x2-4x(x0)的關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖象如圖所示,則A,B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)一定在函數(shù)f(x)=-x2-4x(x0)的圖象上,故函數(shù)f(x)的“友好點(diǎn)對(duì)”有2對(duì),故選C.14.若方程4-x2=k(x-2)+3有兩個(gè)不等的實(shí)根,則k的取值范圍是.解析:作出函數(shù)y1=4-x2和y2=k(x-2)+3的圖象如圖所示,函數(shù)y1的圖象是圓心在原點(diǎn),半徑為2的圓在x軸上方的部分(包括端點(diǎn)),函數(shù)y2的圖象是過定點(diǎn)P(2,3)的直線,點(diǎn)A(-2,0),kPA=3-02-(-2)=34.直線PB是圓的切線,由圓心到直線的距離等于半徑得,|3-2kPB|kPB2+1=2,得kPB=512.由圖可知當(dāng)kPB<kkPA時(shí),兩函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn),即原方程有兩個(gè)不等實(shí)根.所以512<k34.答案:(512,3415.設(shè)f(x)=3ax2+2bx+c,若a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0,求證:(1)a>0且-2<ba<-1;(2)函數(shù)y=f(x)在(0,1)內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn).證明:(1)因?yàn)閒(0)>0,f(1)>0,所以c>0,3a+2b+c>0.由條件a+b+c=0,消去b,得a>c>0;由條件a+b+c=0,消去c,得a+b<0,2a+b>0,故-2<ba<-1.(2)拋物線f(x)=3ax2+2bx+c的對(duì)稱軸為x=-b3a,在-2<ba<-1的兩邊乘以-13,得13<-b3a<23.又因?yàn)閒(0)>0,f(1)>0,又f(-b3a)=3ac-b23a=3ac-a2-2ac-c23a=-a2-ac+c23a=-(a-c2)2+34c23a<0,所以方程f(x)=0在區(qū)間(0,-b3a)與(-b3a,1)內(nèi)分別有一實(shí)根.故函數(shù)y=f(x)在(0,1)內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn).探究創(chuàng)新16.(20xx北京模擬)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且滿足f(x+2)=f(x).當(dāng)x0,1時(shí),f(x)=2x.若在區(qū)間-2,2上方程ax+a-f(x)=0恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.解析:由f(x+2)=f(x)得函數(shù)的周期是2.由ax+a-f(x)=0得f(x)=ax+a,設(shè)y=f(x),y=ax+a,作出函數(shù)y=f(x),y=ax+a的圖象.如圖,要使方程ax+a-f(x)=0恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則直線y=ax+a=a(x+1)的斜率滿足0a<kAB,由題意可知,A(-1,0),B(1,2),所以kAB=22=1,所以0a<1,即a0,1).答案:0,1)