新課標高三數(shù)學(xué) 一輪復(fù)習(xí) 第2篇 第3節(jié) 函數(shù)的奇偶性與周期性課時訓(xùn)練 理

【導(dǎo)與練】（新課標）20xx屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2篇 第3節(jié) 函數(shù)的奇偶性與周期性課時訓(xùn)練 理 【選題明細表】 知識點、方法 題號 函數(shù)奇偶性的判定 1、4、13 函數(shù)周期性的應(yīng)用 6、9、11、14 利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值 2、5、8、15 利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)解析式或參數(shù) 7、10、12 利用函數(shù)的奇偶性比較函數(shù)值的大小、解函數(shù)不等式 3、16 基礎(chǔ)過關(guān) 一、選擇題 1.(20xx高考新課標全國卷Ⅰ)設(shè)函數(shù)f(x),g(x)的定義域都為R,且f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則下列結(jié)論中正確的是(　C　) (A)f(x)g(x)是偶函數(shù) (B)|f(x)|g(x)是奇函數(shù) (C)f(x)|g(x)|是奇函數(shù) (D)|f(x)g(x)|是奇函數(shù) 解析:f(x)是奇函數(shù),則f(-x)=-f(x), g(x)是偶函數(shù),g(-x)=g(x), 則f(-x)g(-x)=-f(x)g(x),選項A錯; |f(-x)|g(-x)=|f(x)|g(x),選項B錯; f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,選項C正確; |f(-x)·g(-x)|=|f(x)g(x)|,選項D錯. 2.設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x≤0時,f(x)=2x2-x,則f(1)等于(　A　) (A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3 解析:∵f(x)是奇函數(shù),當(dāng)x≤0時,f(x)=2x2-x, ∴f(1)=-f(-1)=-[2×(-1)2-(-1)]=-3. 3.定義在R上的偶函數(shù)f(x),對任意x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有f(x2)-f(x1)x2-x1<0,則(　A　) (A)f(3)<f(-2)<f(1) (B)f(1)<f(-2)<f(3) (C)f(-2)<f(1)<f(3) (D)f(3)<f(1)<f(-2) 解析:由題意知f(x)為偶函數(shù),所以f(-2)=f(2), 又x∈[0,+∞)時,f(x)為減函數(shù),且3>2>1, ∴f(3)<f(2)<f(1),即f(3)<f(-2)<f(1). 4.(20xx重慶模擬)函數(shù)y=f(x)(x∈R)的圖象如圖所示,下列說法正確的是(　C　) ①函數(shù)y=f(x)滿足f(-x)=-f(x); ②函數(shù)y=f(x)滿足f(x+2)=f(-x); ③函數(shù)y=f(x)滿足f(-x)=f(x); ④函數(shù)y=f(x)滿足f(x+2)=f(x). (A)①③ (B)②④ (C)①② (D)③④ 解析:根據(jù)圖象知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點對稱,故為奇函數(shù),所以①正確;又其圖象關(guān)于直線x=1對稱,所以②正確. 5.已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)和偶函數(shù)g(x)滿足f(x)+g(x)=ax-a-x+2(a>0,且a≠1).若g(2)=a,則f(2)等于(　B　) (A)2 (B)154 (C)174 (D)a2 解析:∵f(x)為奇函數(shù),g(x)為偶函數(shù), ∴f(-2)=-f(2),g(-2)=g(2)=a, ∵f(2)+g(2)=a2-a-2+2,① ∴f(-2)+g(-2)=g(2)-f(2)=a-2-a2+2,② 由①、②聯(lián)立得g(2)=a=2,f(2)=a2-a-2=154. 6.(20xx石家莊模擬)已知f(x)是周期為2的奇函數(shù),當(dāng)0<x<1時,f(x)=lg x,設(shè)a=f(65),b=f(32),c=f(52),則(　A　) (A)c<a<b (B)a<b<c (C)b<a<c (D)c<b<a 解析:a=f(65)=f(-45)=-f(45)=-lg 45=lg 54, b=f(32)=f(-12)=-f(12)=-lg12=lg 2, c=f(52)=f(12)=lg 12, 因為2>54>12,所以lg 2>lg54>lg12, 所以b>a>c. 二、填空題 7.函數(shù)f(x)在R上為奇函數(shù),且x>0時,f(x)=x+1,則當(dāng)x<0時,f(x)=　　　　　　　　.  解析:∵f(x)為奇函數(shù),x>0時,f(x)=x+1, ∴當(dāng)x<0時,-x>0, f(x)=-f(-x)=-(-x+1), 即x<0時,f(x)=-(-x+1)=--x-1. 答案:--x-1 8.已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù),函數(shù)f(x+1)為偶函數(shù),f(1)=1,則f(3)=　　　.  解析:法一　根據(jù)條件可得f(3)=f(2+1)=f(-2+1)=f(-1)=-f(1)=-1. 法二　使用特例法,尋求函數(shù)模型,令f(x)=sin π2x,則f(x+1)=sin(π2x+π2)=cos π2x,滿足以上條件,所以f(3)=sin 3π2=-1. 答案:-1 9.(20xx高考四川卷)設(shè)f(x)是定義在R上的周期為2的函數(shù),當(dāng)x∈[-1,1)時,f(x)=-4x2+2,-1≤x<0,x,0≤x<1,則f(32)=　　　　.  解析:由題意可知,f(32)=f(2-12)=f(-12)=-4(-12)2+2=1. 答案:1 10.(20xx長春模擬)已知定義在R上的奇函數(shù)滿足f(x)=x2+2x(x≥0),若f(3-a2)>f(2a),則實數(shù)a的取值范圍是　　　　　　.  解析:由題意可得f(x)=x2+2x(x≥0)在[0,+∞)上為增函數(shù), 又f(x)為定義在R上的奇函數(shù), 所以f(x)在R上為增函數(shù). 由f(3-a2)>f(2a)得3-a2>2a, 即a2+2a-3<0,解得-3<a<1. 答案:(-3,1) 三、解答題 11.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且它的圖象關(guān)于直線x=1對稱. (1)求證:f(x)是周期為4的周期函數(shù); (2)若f(x)=x(0≤x≤1),求x∈[-5,-4]時,函數(shù)f(x)的解析式. (1)證明:由函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱, 有f(1+x)=f(1-x),即有f(-x)=f(x+2). 又函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù), 故有f(-x)=-f(x).故f(x+2)=-f(x). 從而f(x+4)=-f(x+2)=f(x), 即f(x)是周期為4的周期函數(shù). (2)解:由函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),有f(0)=0. x∈[-1,0]時,-x∈[0,1],f(x)=-f(-x)=--x. 故x∈[-1,0]時,f(x)=--x. x∈[-5,-4]時,x+4∈[-1,0], f(x)=f(x+4)=--x-4. 從而,x∈[-5,-4]時,函數(shù)f(x)=--x-4. 12.已知函數(shù)f(x)=-x2+2x,x>0,0,x=0,x2+mx,x<0是奇函數(shù). (1)求實數(shù)m的值; (2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,a-2]上單調(diào)遞增,求實數(shù)a的取值范圍. 解:(1)設(shè)x<0,則-x>0, 所以f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x. 又f(x)為奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x), 于是x<0時,f(x)=x2+2x=x2+mx, 所以m=2. (2)由(1)知f(x)在[-1,1]上是增函數(shù), 要使f(x)在[-1,a-2]上單調(diào)遞增. 結(jié)合f(x)的圖象知a-2>-1,a-2≤1, 所以1<a≤3,故實數(shù)a的取值范圍是(1,3]. 能力提升 13.定義兩種運算:a?b=a2-b2,a?b=(a-b)2,則f(x)=2?x2-(x?2)是(　A　) (A)奇函數(shù) (B)偶函數(shù) (C)既奇又偶函數(shù) (D)非奇非偶函數(shù) 解析:因為2?x=4-x2,x?2=(x-2)2, 所以f(x)=4-x22-(x-2)2=4-x22-(2-x)=4-x2x, 該函數(shù)的定義域是[-2,0)∪(0,2], 且滿足f(-x)=-f(x). 故函數(shù)f(x)是奇函數(shù). 14.(20xx太原模擬)若偶函數(shù)y=f(x)為R上的周期為6的周期函數(shù),且滿足f(x)=(x+1)(x-a)(-3≤x≤3),則f(-6)等于　　　　.  解析:因為y=f(x)為偶函數(shù),且f(x)=(x+1)(x-a)(-3≤x≤3),所以f(x)=x2+(1-a)x-a,1-a=0, 所以a=1,f(x)=(x+1)(x-1)(-3≤x≤3). f(-6)=f(-6+6)=f(0)=-1. 答案:-1 15.設(shè)f(x)是(-∞,+∞)上的奇函數(shù),f(x+2)=-f(x),當(dāng)0≤x≤1時,f(x)=x. (1)求f(π)的值; (2)當(dāng)-4≤x≤4時,求f(x)的圖象與x軸所圍成圖形的面積; (3)寫出(-∞,+∞)內(nèi)函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間. 解:(1)由f(x+2)=-f(x)得, f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x), 所以f(x)是以4為周期的周期函數(shù), ∴f(π)=f(-1×4+π) =f(π-4) =-f(4-π) =-(4-π) =π-4. (2)由f(x)是奇函數(shù)與f(x+2)=-f(x), 得f[(x-1)+2]=-f(x-1)=f[-(x-1)], 即f(1+x)=f(1-x). 故知函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱. 又當(dāng)0≤x≤1時,f(x)=x,且f(x)的圖象關(guān)于原點成中心對稱,則f(x)的圖象(-4≤x≤4)如圖所示. 當(dāng)-4≤x≤4時,f(x)的圖象與x軸圍成的圖形面積為S, 則S=4S△OAB=4×(12×2×1)=4. (3)函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[4k-1,4k+1](k∈Z), 單調(diào)遞減區(qū)間為[4k+1,4k+3](k∈Z). 探究創(chuàng)新 16.(20xx成都模擬)定義在R上的函數(shù)f(x)對任意a,b∈R都有f(a+b)=f(a)+f(b)+k(k為常數(shù)). (1)判斷k為何值時,f(x)為奇函數(shù),并證明; (2)設(shè)k=-1,f(x)是R上的增函數(shù),且f(4)=5,若不等式f(mx2-2mx+3)>3對任意x∈R恒成立,求實數(shù)m的取值范圍. 解:(1)若f(x)在R上為奇函數(shù),則f(0)=0, 令a=b=0,則f(0+0)=f(0)+f(0)+k,所以k=0. 證明:由f(a+b)=f(a)+f(b),令a=x,b=-x, 則f(x-x)=f(x)+f(-x), 又f(0)=0,則有0=f(x)+f(-x),即f(-x)=-f(x)對任意x∈R成立,所以f(x)是奇函數(shù). (2)因為f(4)=f(2)+f(2)-1=5,所以f(2)=3. 所以f(mx2-2mx+3)>3=f(2)對任意x∈R恒成立. 又f(x)是R上的增函數(shù),所以mx2-2mx+3>2對任意x∈R恒成立, 即mx2-2mx+1>0對任意x∈R恒成立, 當(dāng)m=0時,顯然成立; 當(dāng)m≠0時,由m>0,Δ=4m2-4m<0,得0<m<1. 所以實數(shù)m的取值范圍是[0,1).