新課標(biāo)高三數(shù)學(xué) 一輪復(fù)習(xí) 第5篇 第4節(jié) 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用課時訓(xùn)練 理

【導(dǎo)與練】（新課標(biāo)）20xx屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第5篇 第4節(jié) 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用課時訓(xùn)練 理【選題明細(xì)表】知識點(diǎn)、方法題號公式法、分組法求和1、6、7、11并項法求和2、5裂項相消法求和8、12錯位相減法求和4、15、16數(shù)列的綜合問題3、10、13、15、16數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用9、14基礎(chǔ)過關(guān)一、選擇題1.數(shù)列1+2n-1的前n項和為(C)(A)1+2n(B)2+2n(C)n+2n-1(D)n+2+2n解析:由題意令an=1+2n-1,所以Sn=n+1-2n1-2=n+2n-1,故選C.2.已知函數(shù)f(n)=n2(n為奇數(shù)),-n2(n為偶數(shù)),且an=f(n)+f(n+1),則a1+a2+a3+a100等于(B)(A)-100(B)100(C)-1020(D)1020解析:當(dāng)n為奇數(shù)時,an=n2-(n+1)2=-(2n+1).當(dāng)n為偶數(shù)時,an=-n2+(n+1)2=2n+1.a1+a2+a3+a100=-3+5-7+9-199+201=(-3+5)+(-7+9)+(-199+201)=250=100.3.已知冪函數(shù)f(x)=x的圖象過點(diǎn)(4,2),令an=f(n+1)+f(n),nN*,記數(shù)列1an的前n項和為Sn,則Sn=10時,n的值是(B)(A)10(B)120(C)130(D)140解析:冪函數(shù)f(x)=x過點(diǎn)(4,2),4=2,=12,f(x)=x12,an=f(n+1)+f(n)=n+1+n,1an=1n+1+n=n+1-n.Sn=(2-1)+(3-2)+(n+1-n)=n+1-1.又Sn=10,n+1-1=10,n=120.故選B.4.Sn=12+12+38+n2n等于(B)(A)2n-n2n(B)2n+1-n-22n(C)2n-n+12n+1(D)2n+1-n+22n解析:由Sn=12+222+323+n2n, 得12Sn=122+223+n-12n+n2n+1, -得,12Sn=12+122+123+12n-n2n+1=121-12n1-12-n2n+1,Sn=2n+1-n-22n.5.數(shù)列an的通項an=sin n3,前n項和為Sn,則S20xx等于(B)(A)12(B)0(C)1(D)-12解析:由an=sin n3,知數(shù)列an是以6為周期的數(shù)列,且a1+a2+a6=0,則S20xx=(a1+a2+a6)+(a2005+a20xx)+a20xx+a20xx=a1+a2+a5=0.故選B.6.數(shù)列1,1+2,1+2+4,1+2+22+2n-1,的前n項和Sn>1020,那么n的最小值是(D)(A)7(B)8(C)9(D)10解析:an=1+2+22+2n-1=2n-1.Sn=(21-1)+(22-1)+(2n-1)=(21+22+2n)-n=2n+1-n-2.S9=1013<1020,S10=2036>1020.Sn>1020,n的最小值是10.二、填空題7.數(shù)列32,94,258,6516,n2n+12n的前n項和為.解析:由于an=n2n+12n=n+12n,前n項和Sn=1+121+2+122+3+123+n+12n=(1+2+3+n)+（12+122+123+12n）=(n+1)n2+121-12n1-12=n(n+1)2-12n+1.答案:n(n+1)2-12n+18.若已知數(shù)列的前四項是112+2、122+4、132+6、142+8,則該數(shù)列的前n項和為.解析:因為通項an=1n2+2n=121n-1n+2,所以此數(shù)列的前n項和Sn=12（1-13）+（12-14）+（13-15）+（1n-1-1n+1）+（1n-1n+2）=121+12-1n+1-1n+2=34-2n+32(n+1)(n+2).答案:34-2n+32(n+1)(n+2)9.(20xx高考江西卷)某住宅小區(qū)計劃植樹不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植樹的棵數(shù)是前一天的2倍,則需要的最少天數(shù)n(nN*)等于.解析:本題是等比數(shù)列前n項和的實(shí)際應(yīng)用題,設(shè)每天植樹的棵數(shù)組成的數(shù)列為an,由題意可知它是等比數(shù)列,且首項為2,公比為2,所以由題意可得2(1-2n)1-2100,即2n51,而25=32,26=64,nN*,所以n6.答案:610.(20xx廣東揭陽模擬)對于每一個正整數(shù)n,設(shè)曲線y=xn+1在點(diǎn)(1,1)處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xn,令an=lg xn,則a1+a2+a99=.解析:對y=xn+1求導(dǎo)得y=(n+1)xn,則曲線在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為y-1=(n+1)(x-1),令y=0,得xn=nn+1,則an=lg xn=lg nn+1,所以a1+a2+a99=lg(122399100)=lg 1100=-2.答案:-2三、解答題11.(20xx四川成都石室中學(xué)模擬)設(shè)an是公差大于零的等差數(shù)列,已知a1=2,a3=a22-10.(1)求an的通項公式;(2)設(shè)bn是以函數(shù)y=4sin2x的最小正周期為首項,以3為公比的等比數(shù)列,求數(shù)列an-bn的前n項和Sn.解:(1)設(shè)an的公差為d,且d>0,則a1=2,a1+2d=(a1+d)2-10.解得d=2.所以an=2+(n-1)2=2n.(2)y=4sin2x=41-cos2x2=-2cos 2x+2其最小正周期為22=1,故bn首項為1;因為公比為3,從而bn=3n-1.所以an-bn=2n-3n-1.故Sn=(2-30)+(4-31)+(2n-3n-1)=(2+2n)n2-1-3n1-3=n2+n+12-123n.12.(20xx高考新課標(biāo)全國卷)已知等差數(shù)列an的前n項和Sn滿足S3=0,S5=-5.(1)求an的通項公式;(2)求數(shù)列1a2n-1a2n+1的前n項和.解:(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d,由已知可得3a1+3d=0,5a1+10d=-5.解得a1=1,d=-1.故an的通項公式為an=2-n.(2)由(1)知1a2n-1a2n+1=1(3-2n)(1-2n)=12(12n-3-12n-1),從而數(shù)列1a2n-1a2n+1的前n項和為12(1-1-11+11-13+12n-3-12n-1)=n1-2n.能力提升13.(20xx山東菏澤模擬)數(shù)列an的通項公式為an=1n(n+1),其前n項和為910,則在平面直角坐標(biāo)系中,直線(n+1)x+y+n=0在y軸上的截距為(B)(A)-10(B)-9(C)10(D)9解析:an=1n(n+1)=1n-1n+1,Sn=(1-12)+（12-13）+（1n-1n+1）=1-1n+1=nn+1,由nn+1=910得n=9,直線方程為10x+y+9=0,其在y軸上的截距為-9.14.某林場年初有森林木材存量S m3,木材以每年25%的增長率生長,而每年年末要砍伐固定的木材量為x m3,為實(shí)現(xiàn)經(jīng)過兩次砍伐后的木材存量增加50%,則x的值為(C)(A)S32(B)S34(C)S36(D)S38解析:第一次砍伐后木材的存量為S(1+25%)-x=（54S-x）m3;第二次砍伐后木材的存量為S(1+25%)-x(1+25%)-x=（54）2S-54x-xm3,所以(54)2S-54x-x=S(1+50%),解得x=S36.15.(20xx陜西商洛一模)已知函數(shù)f(x)滿足f(x+y)=f(x)f(y)且f(1)=12.(1)當(dāng)nN*時,求f(n)的表達(dá)式;(2)設(shè)an=nf(n),nN*,求證:a1+a2+a3+an<2;(3)設(shè)bn=(9-n)f(n+1)f(n),nN*,Sn為bn的前n項和,當(dāng)Sn最大時,求n的值.(1)解:令x=n,y=1,得f(n+1)=f(n)f(1)=12f(n),f(n)是首項為12,公比為12的等比數(shù)列,f(n)=(12)n.(2)證明:設(shè)Tn為an的前n項和,an=nf(n)=n(12)n,Tn=12+2(12)2+3(12)3+n(12)n,12Tn=(12)2+2(12)3+3(12)4+(n-1)(12)n+n(12)n+1,兩式相減得12Tn=12+(12)2+(12)n-n(12)n+1,Tn=2-(12)n-1-n（12）n<2.(3)解:f(n)=（12）n,bn=(9-n)f(n+1)f(n)=(9-n)(12)n+1(12)n=9-n2,當(dāng)n8時,bn>0;當(dāng)n=9時,bn=0;當(dāng)n>9時,bn<0.當(dāng)n=8或9時,Sn取得最大值.探究創(chuàng)新16.(20xx高考四川卷)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,點(diǎn)(an,bn)在函數(shù)f(x)=2x的圖象上(nN*).(1)若a1=-2,點(diǎn)(a8,4b7)在函數(shù)f(x)的圖象上,求數(shù)列an的前n項和Sn;(2)若a1=1,函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(a2,b2)處的切線在x軸上的截距為2-1ln2,求數(shù)列anbn的前n項和Tn.解:(1)由已知,b7=2a7,b8=2a8=4b7,有2a8=42a7=2a7+2,則a8=a7+2,解得d=a8-a7=2.所以,Sn=na1+n(n-1)2d=-2n+n(n-1)=n2-3n.(2)由f(x)=2x,f(x)=2xln 2,過點(diǎn)(a2,b2),即(a2,2a2),斜率為 2a2ln 2,則函數(shù)f(x)=2x在(a2,b2)處的切線方程為y-2a2=(2a2ln 2)(x-a2),它在x軸上的截距為a2-1ln2.由題意,a2-1ln2=2-1ln2,解得a2=2.所以,d=a2-a1=1.從而an=n,bn=2n,所以Tn=12+222+323+n-12n-1+n2n,2Tn=11+22+322+n2n-1.因此,2Tn-Tn=1+12+122+12n-1-n2n=2-12n-1-n2n=2n+1-n-22n.所以,Tn=2n+1-n-22n.