全國(guó)通用高考數(shù)學(xué) 二輪復(fù)習(xí) 第一部分 微專題強(qiáng)化練 專題7 解三角形含解析

【走向高考】（全國(guó)通用）20xx高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 微專題強(qiáng)化練 專題7 解三角形一、選擇題1．(文)(20xx·唐山市一模)在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝2BC＝2CD，則cos∠DAC＝(　　)A.　　　　　　　　 B.C. D.[答案]　B[解析]　由已知條件可得圖形，如圖所示，設(shè)CD＝a，在△ACD中，CD2＝AD2＋AC2－2AD×AC×cos∠DAC，∴a2＝(a)2＋(a)2－2×a×a×cos∠DAC，∴cos∠DAC＝.[方法點(diǎn)撥]　解三角形的常見類型：(1)已知兩角和一邊，如已知A，B和c，由A＋B＋C＝π求C，由正弦定理求a，b.(2)已知兩邊和這兩邊的夾角，如已知a、b和C，應(yīng)先用余弦定理求c，再應(yīng)用正弦定理先求較短邊所對(duì)的角，然后利用A＋B＋C＝π求另一角．(3)已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，如已知a、b和A，應(yīng)先用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解的討論．(4)已知三邊a、b、c，可應(yīng)用余弦定理求A、B、C.(理)(20xx·河南六市聯(lián)考)在銳角△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，若sinA＝，a＝2，S△ABC＝，則b的值為(　　)A.　　　　　　　　　 B.C．2 D．2[答案]　A[解析]　由已知得：cosA＝，S△ABC＝bcsinA＝bc×＝，∴bc＝3，又由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bccosA，即b2＋c2－2＝4，∴b2＋c2＝6，∴b＋c＝2，解得b＝c＝，選A.2．(20xx·南昌市一模)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，c＝1，B＝45°，cosA＝，則b等于(　　)A. B.C. D.[答案]　C[解析]　因?yàn)閏osA＝，所以sinA＝＝＝，所以sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝cos45°＋sin45°＝.由正弦定理＝，得b＝×sin45°＝.3．(文)若三角形ABC中，sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2C，則此三角形的形狀是(　　)A．等腰三角形　 B．直角三角形C．等邊三角形 D．等腰直角三角形[答案]　B[解析]　∵sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2C，sin(A＋B)＝sinC≠0，∴sin(A－B)＝sin(A＋B)，∴cosAsinB＝0，∵sinB≠0，∴cosA＝0，∴A為直角．(理)(20xx·合肥第一次質(zhì)檢)在△ABC中，已知2acosB＝c，sinAsinB(2－cosC)＝sin2＋，則△ABC為(　　)A．等邊三角形 B．等腰直角三角形C．銳角非等邊三角形 D．鈍角三角形[答案]　B[解析]　依題意得2sinAcosB＝sinC＝sin(A＋B)，2sinAcosB－sin(A＋B)＝sin(A－B)＝0，因此B＝A，C＝π－2A，于是有sin2A(2＋cos2A)＝cos2A＋，即sin2A(3－2sin2A)＝1－sin2A＋＝，解得sin2A＝，因此sinA＝，又B＝A必為銳角，因此B＝A＝，△ABC是等腰直角三角形，故選B.[易錯(cuò)分析]　本題易犯的主要錯(cuò)誤是不能對(duì)所給恒等式進(jìn)行有效化簡(jiǎn)、變形，由于公式應(yīng)用錯(cuò)誤或者化簡(jiǎn)過程的盲目性導(dǎo)致化簡(jiǎn)過程無(wú)效，這是很多考生在此類問題中常犯的錯(cuò)誤．事實(shí)上，含有邊和角的恒等式，一般方法是實(shí)施邊和角的統(tǒng)一，如果邊化角后無(wú)法運(yùn)算，則可以嘗試角化邊．反之，如果角化邊較繁，則可以嘗試邊化角，平時(shí)訓(xùn)練時(shí)就要注意歸納小結(jié)．[方法點(diǎn)撥]　判斷三角形形狀時(shí)，一般先利用所給條件將條件式變形，結(jié)合正余弦定理找出邊之間的關(guān)系或角之間的關(guān)系．由于特殊的三角形主要從正三角形、等腰三角形、直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形方面命題，故分析條件時(shí)，應(yīng)著重從上述三角形滿足的條件與已知條件的溝通上著手．4．(文)在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若(a2＋c2－b2)tanB＝ac，則角B的值為(　　)A. B.C.或 D.或[答案]　D[解析]　由(a2＋c2－b2)tanB＝ac得，·tanB＝，再由余弦定理cosB＝得，2cosB·tanB＝，即sinB＝，∴角B的值為或，故應(yīng)選D.(理)在△ABC中，已知b·cosC＋c·cosB＝3a·cosB，其中a、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊，則cosB的值為(　　)A. B．－C. D．－[答案]　A[解析]　由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝3sinAcosB，∴sin(B＋C)＝3sinAcosB，∴sinA＝3sinAcosB，∵sinA≠0，∴cosB＝.[方法點(diǎn)撥]　給出邊角關(guān)系的一個(gè)恒等式時(shí)，一般從恒等式入手化邊為角或化角為邊，再結(jié)合三角公式進(jìn)行恒等變形，注意不要輕易對(duì)等式兩邊約去同一個(gè)因式．5．(文)(20xx·遼寧葫蘆島市一模)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，則△ABC的面積是(　　)A．3 B.C. D．3[答案]　C[解析]　由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2－ab＝(a－b)2＋6，∴ab＝6，∴S△ABC＝absinC＝×6×＝.(理)在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，則sin∠BAC＝(　　)A. B.C. D.[答案]　C[解析]　本題考查了余弦定理、正弦定理．由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC·cos＝2＋9－2××3×＝5，∴AC＝，由正弦定理，＝，∴sinA＝＝＝.6．在銳角△ABC中，設(shè)x＝sinA·sinB，y＝cosA·cosB，則x、y的大小關(guān)系為(　　)A．x≤y B．x<yC．x>y D．x≥y[答案]　C[解析]　y－x＝cosAcosB－sinAsinB＝cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC，∵△ABC為銳角三角形，∴cosC>0，∴y－x<0，∴y<x.7．(20xx·昆明市質(zhì)檢)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若AB邊上的高為，且a2＋b2＝2ab，則C＝(　　)A. B.C. D.[答案]　B[解析]　由已知得：S△ABC＝absinC＝×c×，∴sinC＝，又由余弦定理得：cosC＝＝＝－＝－sinC，即sinC＋cosC＝，∴sin＝，∴sin＝1，C＋＝，C＝.8．(文)(20xx·鄭州市質(zhì)檢)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，已知sin(B＋A)＋sin(B－A)＝3sin2A，且c＝，C＝，則△ABC的面積是(　　)A. B.C. D.或[答案]　D[解析]　由已知得：2sinBcosA＝3sin2A＝6sinAcosA，若cosA＝0，則∠A＝，則B＝，b＝＝，∴S△ABC＝bc＝××＝；若∠A≠，則sinB＝3sinA，由正弦定理得：b＝3a，又由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcosC，即7＝a2＋9a2－3a2＝7a2，∴a＝1，b＝3，S△ABC＝absinC＝×1×3×＝，選D.(理)(20xx·衡水中學(xué)三調(diào))已知△ABC的內(nèi)角A、B、C對(duì)的邊分別為a、b、c，sinA＋sinB＝2sinC，b＝3，當(dāng)內(nèi)角C最大時(shí)，△ABC的面積等于(　　)A. B.C. D.[答案]　A[解析]　根據(jù)正弦定理及sinA＋sinB＝2sinC得a＋b＝2c，c＝，cosC＝＝＝＋－≥2－＝，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)sinC＝，S△ABC＝absinC＝××3×＝.二、填空題9．已知△ABC的一個(gè)內(nèi)角為120°，并且三邊長(zhǎng)構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列，則△ABC的面積為________．[答案]　15[解析]　設(shè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a－4，a，a＋4，最大角為θ，由余弦定理得(a＋4)2＝a2＋(a－4)2－2a(a－4)·cos120°，則a＝10，所以三邊長(zhǎng)為6,10,14.△ABC的面積為S＝×6×10×sin120°＝15.[方法點(diǎn)撥]　有關(guān)數(shù)列與三角函數(shù)知識(shí)交匯的題目，利用正余弦定理將數(shù)列關(guān)系式或數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，用三角函數(shù)知識(shí)解決．10．(文)(20xx·福建理，12)在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，則△ABC的面積等于________．[答案]　2[解析]　本題考查正弦定理及三角形的面積公式，由正弦定理得，＝，∴sinB＝1，∴B＝90°，∴AB＝2，S＝×2×2＝2.(理)(20xx·天津理，12)在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c，已知b－c＝a,2sinB＝3sinC，則cosA的值為________．[答案]　－[解析]　∵2sinB＝3sinC，∴2b＝3c，又∵b－c＝a，∴b＝a，c＝a，∴cosA＝＝＝－.11．(20xx·南京二模)在△ABC中，已知AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，BD⊥AC，D為垂足，則·的值為________．[答案]　[解析]　利用余弦定理求出AC的長(zhǎng)度，再利用面積公式求出BD，最后利用數(shù)量積的定義求解．在△ABC中，由余弦定理可得AC2＝4＋9－2×2×3×＝7，所以AC＝，由△ABC的面積公式可得×2×3×＝×BD，解得BD＝.所以·＝·(＋)＝||2＝.[方法點(diǎn)撥]　解答三角函數(shù)與平面向量交匯的題目，先運(yùn)用向量的有關(guān)知識(shí)(平行、垂直、數(shù)量積的坐標(biāo)表示等)脫去向量外衣再運(yùn)用三角函數(shù)知識(shí)解決．或先利用三角函數(shù)或解三角形的有關(guān)知識(shí)求出需要的量(邊的長(zhǎng)度、角的大小)再進(jìn)行向量運(yùn)算．三、解答題12．(文)(20xx·新課標(biāo)Ⅰ文，17)已知a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，sin2B＝2sin Asin C.(1)若a＝b，求cos B；(2)設(shè)B＝90°，且a＝，求△ABC的面積．[分析]　(1)本小題可先利用正弦定理，根據(jù)題設(shè)得出三角形的三條邊長(zhǎng)之間的關(guān)系，再利用余弦定理求出cos B；(2)本小題中已知角B為直角，利用勾股定理列出方程，再結(jié)合(Ⅰ)中a、c的關(guān)系式求出邊長(zhǎng)c，即可求出△ABC的面積．[解析]　(1)由題設(shè)及正弦定理可得b2＝2ac.又a＝b，可得b＝2c，a＝2c.由余弦定理可得cos B＝＝.(2)由(1)知b2＝2ac.因?yàn)锽＝90°，由勾股定理得a2＋c2＝b2.故a2＋c2＝2ac，得c＝a＝.所以△ABC的面積為S△ABC＝ac＝1.(理)(20xx·山西太原市一模)已知a，b，c分別是△ABC的角A，B，C所對(duì)的邊，且c＝2，C＝.(1)若△ABC的面積等于，求a，b；(2)若sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求A的值．[解析]　(1)∵c＝2，C＝，由余弦定理得4＝a2＋b2－2abcos＝a2＋b2－ab，∵△ABC的面積等于，∴absinC＝，∴ab＝4，聯(lián)立解得a＝2，b＝2；(2)∵sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，∴sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sinAcosA，∴sinBcosA＝2sinAcosA，①當(dāng)cosA＝0時(shí)，則A＝，②當(dāng)cosA≠0時(shí)，sinB＝2sinA，由正弦定理得b＝2a，聯(lián)立解得a＝，b＝，∴b2＝a2＋c2，∵C＝，∴A＝，綜上所述，A＝或A＝.13．(文)(20xx·天津文，16)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知△ABC的面積為3，b－c＝2，cos A＝－.(1)求a和sin C的值；(2)求cos的值．[分析]　考查1.正弦定理、余弦定理及面積公式；2三角變換．(1)由面積公式可得bc的值，結(jié)合b－c＝2，可解得b，c.再由余弦定理求得a.最后由正弦定理求sin C的值；(2)直接展開求值．[解析]　(1)在△ABC中，由cos A＝－，得sin A＝，由S△ABC＝bcsin A＝3，得bc＝24，又由b－c＝2，解得b＝6，c＝4.由a2＝b2＋c2－2bccos A，可得a＝8.由＝，得sin C＝.(2)cos＝cos 2Acos －sin 2Asin ＝(2cos2A－1)－×2sin Acos A＝.(理)(20xx·安徽理，16)設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別是a、b、c且b＝3，c＝1，A＝2B.(1)求a的值；(2)求sin(A＋)的值．[解析]　(1)因?yàn)锳＝2B，所以sinA＝sin2B＝2sinBcosB，由正、余弦定理得a＝2b·，因?yàn)閎＝3，c＝1，所以a2＝12，a＝2.(2)由余弦定理得cosA＝＝＝－，由于0<A<π，所以sinA＝＝＝，故sin(A＋)＝sinAcos＋cosAsin＝×＋(－)×＝.14．(文)(20xx·陜西理，16)△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c.(1)若a、b、c成等差數(shù)列，證明：sinA＋sinC＝2sin(A＋C)；(2)若a、b、c成等比數(shù)列，求cosB的最小值. [解析]　(1)∵a，b，c成等差數(shù)列，∴a＋c＝2b，由正弦定理得sinA＋sinC＝2sinB.∵sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，∴sinA＋sinC＝2sin(A＋C)．(2)∵a，b，c成等比數(shù)列，∴b2＝ac，由余弦定理得cosB＝＝≥＝，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時(shí)，等號(hào)成立．∴cosB的最小值為.(理)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知sinAsinB＋sinBsinC＋cos2B＝1.(1)求證：a，b，c成等差數(shù)列；(2)若C＝，求的值．[解析]　(1)由已知得sinAsinB＋sinBsinC＝2sin2B，因?yàn)閟inB≠0，所以sinA＋sinC＝2sinB.由正弦定理，有a＋c＝2b，即a，b，c成等差數(shù)列．(2)由C＝，c＝2b－a及余弦定理得(2b－a)2＝a2＋b2＋ab，即有5ab－3b2＝0，所以＝.15．(文)在△ABC中，已知a2tanB＝b2tanA，試判斷△ABC的形狀．[分析]　條件式a2tanB＝b2tanA是邊a、b與角A、B的關(guān)系，可用正弦定理化邊為角，將“切化弦”，然后，通過三角變形探究A與B之間的關(guān)系判斷形狀；也可以應(yīng)用正弦定理和余弦定理化角為邊，再通過代數(shù)變形探尋邊之間的關(guān)系后判斷形狀．[解析]　解法1：由正弦定理得a＝2RsinA，b＝2RsinB.∴(2RsinA)2＝(2RsinB)2，∴sinAcosA＝sinBcosB.∴sin2A＝sin2B，∴2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝.∴△ABC為等腰或直角三角形. 解法2：∵a2tanB＝b2tanA，∴＝＝.由正弦定理得＝.由余弦定理得cosB＝，cosA＝.∴＝·＝，整理得(a2－b2)(c2－a2－b2)＝0.∴a＝b或a2＋b2＝c2，∴△ABC為等腰或直角三角形．(理)在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，<C<且＝.(1)判斷△ABC的形狀；(2)若|＋|＝2，求·的取值范圍．[解析]　(1)由＝得，＝，∴＝.由正弦定理得sinB＝sin2C.所以B＝2C或B＋2C＝π.若B＝2C，由<C<知<2C<π.即<B<π，∴B＋C>π，與三角形內(nèi)角和為π矛盾，故B＝2C舍去．∴B＋2C＝π.∴A＝π－(B＋C)＝π－(π－2C＋C)＝C.故△ABC為等腰三角形．(2)由(1)知a＝c，∵|＋|＝2，∴|＋|2＝4，∴a2＋c2＋2accosB＝4，∴cosB＝＝，∴·＝accosB＝2－a2，∵cosB＝cos(π－2C)＝－cos2C，由<C<知<2C<π，∴－1<cos2C<－，∴<cosB<1，∴<<1，∴1<a2<，∴<2－a2<1，∴·的取值范圍是(，1)．[方法點(diǎn)撥]　“變”是解決三角問題的主題，變角、變名、變表達(dá)形式、變換次數(shù)等比比皆是，強(qiáng)化變換意識(shí)，抓住萬(wàn)變不離其宗——即公式不變，方法不變，要通過分析、歸類把握其規(guī)律.。