新課標(biāo)高考數(shù)學(xué) 總復(fù)習(xí)：考點(diǎn)15數(shù)列求和含解析

考點(diǎn)15 數(shù)列求和 1.（20xx天津高考理科6）已知是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，是的前n項(xiàng)和，且，則數(shù)列的前5項(xiàng)和為( ) （A）或5 （B）或5 （C） （D）【命題立意】考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式【思路點(diǎn)撥】求出數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)鍵【規(guī)范解答】選C設(shè)，則，即，2.（20xx天津高考文科5）設(shè)an是等比數(shù)列，公比，Sn為an的前n項(xiàng)和記設(shè)為數(shù)列的最大項(xiàng)，則= 【命題立意】考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和、基本不等式等基礎(chǔ)知識(shí)【思路點(diǎn)撥】化簡(jiǎn)利用基本不等式求最值【規(guī)范解答】當(dāng)且僅當(dāng)即，所以當(dāng)n=4，即時(shí)，最大【答案】43.（20xx安徽高考理科20）設(shè)數(shù)列中的每一項(xiàng)都不為0 證明：為等差數(shù)列的充分必要條件是：對(duì)任何，都有【命題立意】本題主要考查等差數(shù)列與充要條件等知識(shí)，考查考生推理論證，運(yùn)算求解能力【思路點(diǎn)撥】證明可分為兩步，先證明必要性，適宜采用列項(xiàng)相消法，再證明充分性，可采用數(shù)學(xué)歸納法或綜合法【規(guī)范解答】已知數(shù)列中的每一項(xiàng)都不為0，先證若數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)公差為，當(dāng)時(shí)，有，即對(duì)任何，有成立；當(dāng)時(shí)，顯然也成立再證對(duì)任意，有，由-得：-上式兩端同乘，得，同理可得，由-得：，所以為等差數(shù)列 【方法技巧】1、在進(jìn)行數(shù)列求和問題時(shí)，要善于觀察關(guān)系式特點(diǎn)，進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，如分組、裂項(xiàng)等 ，轉(zhuǎn)化為常見的類型進(jìn)行求和；2、對(duì)數(shù)列中的含n的式子，注意可以把式子中的n換為或得到相關(guān)的式子，再進(jìn)行化簡(jiǎn)變形處理；也可以把n取自然數(shù)中的具體的數(shù)1，2，3等，得到一些等式歸納證明.4.（20xx山東高考理科18）已知等差數(shù)列滿足：，的前n項(xiàng)和為（1）求及（2）令 (nN*)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和 【命題立意】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用、裂項(xiàng)法求數(shù)列的和,考查了考生的邏輯推理、等價(jià)變形和運(yùn)算求解能力. 【思路點(diǎn)撥】(1)設(shè)出首項(xiàng)和公差，根據(jù)已知條件構(gòu)造方程組可求出首項(xiàng)和公差，進(jìn)而求出求及；(2)由(1)求出的通項(xiàng)公式，再根據(jù)通項(xiàng)的特點(diǎn)選擇求和的方法. 【規(guī)范解答】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因?yàn)?，所以有所以?.（2）由（1）知，所以bn=，所以=，即數(shù)列的前n項(xiàng)和=.【方法技巧】數(shù)列求和的常用方法：1、直接由等差、等比數(shù)列的求和公式求和，注意對(duì)公比的討論.2、錯(cuò)位相減法：主要用于一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘所得的數(shù)列的求和，即等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程的推廣.3、分組轉(zhuǎn)化法：把數(shù)列的每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)，使其轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列，再求解.4、裂項(xiàng)相消法：主要用于通項(xiàng)為分式的形式，通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差求和，正負(fù)項(xiàng)相消剩下首尾若干項(xiàng)，注意一般情況下剩下正負(fù)項(xiàng)個(gè)數(shù)相同.5、倒序相加法：把數(shù)列正著寫和倒著寫相加(即等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程的推廣).5.（20xx安徽高考文科21）設(shè)是坐標(biāo)平面上的一列圓，它們的圓心都在軸的正半軸上，且都與直線相切，對(duì)每一個(gè)正整數(shù),圓都與圓相互外切，以表示的半徑，已知為遞增數(shù)列.(1)證明：為等比數(shù)列；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和. 【命題立意】本題主要考查等比數(shù)列的基本知識(shí)，利用錯(cuò)位相減法求和等基本方法，考查考生的抽象概括能力以及推理論證能力 【思路點(diǎn)撥】（1）求直線傾斜角的正弦，設(shè)的圓心為，得，同理得，結(jié)合兩圓相切得圓心距與半徑間的關(guān)系，得兩圓半徑之間的關(guān)系，即中與的關(guān)系，可證明為等比數(shù)列（2）利用（1）的結(jié)論求的通項(xiàng)公式，代入數(shù)列，然后采用錯(cuò)位相減法求和. 【規(guī)范解答】又，【方法技巧】1、對(duì)數(shù)列中的含n的式子，注意可以把式子中的n換為或得到相關(guān)的式子，再進(jìn)行化簡(jiǎn)變形處理；2、在進(jìn)行數(shù)列求和問題時(shí)，要善于觀察關(guān)系式特點(diǎn)，進(jìn)行適當(dāng)?shù)奶幚?，如分組、裂項(xiàng)相消、錯(cuò)位相減等 ，轉(zhuǎn)化為常見的類型進(jìn)行求和6.（20xx江蘇高考9）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（用表示）；（2）設(shè)為實(shí)數(shù)，對(duì)滿足的任意正整數(shù)，不等式都成立。求證：的最大值為【命題立意】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)、求和、基本不等式以及不等式的恒成立問題等有關(guān)知識(shí)，考查探索、分析及論證的能力【思路點(diǎn)撥】（1）先求，然后利用的關(guān)系求解；（2）利用（1）中所求利用基本不等式解決【規(guī)范解答】（1）由題意知：， ，化簡(jiǎn)，得：，當(dāng)時(shí)，適合的情形故所求（2）方法一：， 恒成立 又，故，即的最大值為方法二：由及，得，于是，對(duì)滿足題設(shè)的，有所以的最大值方法三：任取實(shí)數(shù)設(shè)為偶數(shù)，令，則符合條件，且于是，只要，即當(dāng)時(shí)，所以滿足條件的，從而因此的最大值為 7.（20xx天津高考文科22）在數(shù)列中，=0，且對(duì)任意k，成等差數(shù)列，其公差為2k.（1）證明成等比數(shù)列.（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.（3）記，證明.【命題立意】本小題主要考查等差數(shù)列的定義及前n項(xiàng)和公式、等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力、推理論證能力、綜合分析和解決問題的能力及分類討論的思想方法【思路點(diǎn)撥】（1）（2）應(yīng)用定義法證明、求解；（3）對(duì)n分奇數(shù)、偶數(shù)進(jìn)行討論【規(guī)范解答】（1）由題設(shè)可知，。從而，所以，成等比數(shù)列（2）由題設(shè)可得所以 + .由，得 ，從而.所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為或?qū)憺?，?）由（2）可知，以下分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)n=2m若，則，若，則 . 所以，從而當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè)所以，從而綜合和可知，對(duì)任意有