新課標高考數(shù)學 考點專練16不等式
考點16 不等式 1.(20xx·安徽高考文科·8)設x,y滿足約束條件則目標函數(shù)z=x+y的最大值是( )(A)3 (B) 4 (C) 6 (D)8【命題立意】本題主要考查線性規(guī)劃問題,考查考生的作圖、運算求解能力.【思路點撥】由約束條件畫可行域確定目標函數(shù)的最大值點計算目標函數(shù)的最大值【規(guī)范解答】選C約束條件表示的可行域是一個三角形區(qū)域,3個頂點分別是,目標函數(shù)在取最大值6,故C正確【方法技巧】解決線性規(guī)劃問題,首先作出可行域,若為封閉區(qū)域(即幾條直線圍成的區(qū)域),則區(qū)域中的某個端點使目標函數(shù)取得最值 2.(20xx·福建高考文科·5)若,且,則的最小值等于( )(A)2 (B)3 (C)5 (D)9【命題立意】本題考查利用線性規(guī)劃的方法求最值 【思路點撥】先畫出不等式組表示的線性區(qū)域,再作出直線,平移,當其截距越小,的值越小【規(guī)范解答】選B不等式組所表示的平面區(qū)域如圖陰影所示:作,平移至點位置時,取得最小值,即 【方法技巧】本題可以采用多種解法,有些解法一反常規(guī),顛覆視覺方法一(特殊點法):因為直線兩兩相交分別交于,當時,;當時,;當時,;所以當時,方法二(反代入法):,把代入得:所以有最小值3方法三(向量法):設,則方向上的投影,所以當在位置時取得最小值,所以當時,為最小值 3.(20xx·浙江高考文科·7)若實數(shù)x,y滿足不等式組,則x+y的最大值為( )(A)9 (B) (C)1 (D)【命題立意】本題主要考查了平面區(qū)域的二元一次不等式組,以及簡單的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結合的思想,屬中檔題【思路點撥】畫出不等式組表示的平面區(qū)域,再利用圖象求的最大值【規(guī)范解答】選A令,則,表示過可行域內(nèi)點斜率為-1的直線在軸上的截距由圖可知當向上平移使它過點時,【方法技巧】(1)畫可行域時:“直線定界、特殊點定域”(2)尋找目標函數(shù)的最值時,應先指明它的幾何意義,這樣才能找到相應的最值 4.(20xx·天津高考文科·2)設變量x,y滿足約束條件則目標函數(shù)z=4x+2y的最大值為( )(A)12 (B)10 (C)8 (D)2【命題立意】考查線性規(guī)劃的意義,求目標函數(shù)的最值問題以及數(shù)形結合思想的應用【思路點撥】應用數(shù)形結合,畫圖分析求得最值【規(guī)范解答】選B在同一個坐標系中,畫出直線的圖象,作出可行域可知直線平行移動到直線的交點(2,1)處,目標函數(shù)z=4x+2y取得最大值10.【方法技巧】 線性規(guī)劃問題的關鍵是找準最優(yōu)點,畫圖失誤或求點失誤是常見的失誤點,解決最優(yōu)解問題可將各個邊界點代入驗證,然后尋找合適點 5.(20xx·山東高考理科·10)設變量x,y滿足約束條件則目標函數(shù)的最大值和最小值分別為( )(A)3,11(B)3, 11(C)11, 3(D)11,3【命題立意】本題考查不等式中的線性規(guī)劃知識及數(shù)形結合的數(shù)學思想、考查了考生的推理論證能力和運算求解能力.【思路點撥】先畫出不等式組所表示的平面區(qū)域,再求解.【規(guī)范解答】選A 畫出平面區(qū)域如圖所示:可知當平移到點(5,3)時,目標函數(shù)取得最大值3;當平移到點(3,5)時,目標函數(shù)取得最小值-11,故選A. 6.(20xx·浙江高考理科·7)若實數(shù),滿足不等式組且的最大值為9,則實數(shù)( )(A) (B) (C)1 (D)2【命題立意】本題考查線性規(guī)劃的相關知識,考查數(shù)形結合思想【思路點撥】畫出平面區(qū)域,利用的最大值為9,確定區(qū)域的邊界【規(guī)范解答】選C令,則,表示斜率為-1的直線在軸上的截距當最大值為9時,過點A,因此過點A,所以【方法技巧】畫平面區(qū)域時“直線定界、特殊點定域”7.(20xx·北京高考理科·7)設不等式組表示的平面區(qū)域為D,若指數(shù)函數(shù)y=的圖象上存在區(qū)域D上的點,則a 的取值范圍是( )(A)(1,3 (B)2,3 (C) (1,2 (D) 3, )【命題立意】本題考查平面區(qū)域,指數(shù)函數(shù)的相關知識【思路點撥】畫出平面區(qū)域D,再觀察的圖象【規(guī)范解答】選A區(qū)域D如圖所示,其中當恰過點A時,因此當時,的圖象上存在區(qū)域D上的點【方法技巧】畫區(qū)域D時可采用“直線定界、特殊點定域”的方法8.(20xx·江蘇高考·2)設x,y為實數(shù),滿足38,49,則的最大值是 【命題立意】本題考查不等式的基本性質(zhì),等價轉(zhuǎn)化思想【思路點撥】【規(guī)范解答】,的最大值是27【答案】279.(20xx·浙江高考文科·16) 某商家一月份至五月份累計銷售額達3 860萬元,預測六月份銷售額為500萬元,七月份銷售額比六月份遞增x%,八月份銷售額比七月份遞增x%,九、十月份銷售總額與七、八月份銷售總額相等,若一月至十月份銷售總額至少達7 000萬元,則x的最小值為 【命題立意】本題主要考查了用一元二次不等式解決實際問題的能力,屬中檔題【思路點撥】把一到十月份的銷售額求和,列出不等式,求解【規(guī)范解答】七月份:,八月份:所以一至十月份的銷售總額為:,解得(舍)或,【答案】2010.(20xx·浙江高考文科·15)若正實數(shù),滿足,則的最小值是 【命題立意】本題主要考查了用基本不等式解決最值問題的能力 ,以及換元思想和簡單一元二次不等式的解法,屬中檔題【思路點撥】本題可利用基本不等式構造出關于的不等式,解出的最小值【規(guī)范解答】運用基本不等式,令,可得,注意到t0,解得t,故xy的最小值為18【答案】18【方法技巧】基本不等式有兩個常用變形:(1)當和為定值時,積有最大值,即(2)當積為定值時,和有最小值,即11.(20xx·山東高考文科·4)已知R+,且滿足,則xy的最大值為 .【命題立意】本題考查均值定理,考查考生運用基本不等式運算求解能力.【規(guī)范解答】R+,且,由基本不等式有,解得,當且僅當,即時,等號成立,所以xy的最大值為3.【答案】312.(20xx·山東高考理科·14)若對任意,恒成立,則的取值范圍是 【命題立意】本題考查了利用基本不等式求最值及不等式恒成立問題以及參數(shù)問題的求解,考查了考生的轉(zhuǎn)化能力和運算求解能力【思路點撥】將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題.【規(guī)范解答】因為,所以(當且僅當時取等號),所以有,即的最大值為,故 . 【答案】【方法技巧】1不等式的恒成立問題與函數(shù)最值有密切的關系,解決不等式恒成立問題,通常先分離參數(shù),再轉(zhuǎn)化為最值問題來解:恒成立;恒成立2高次函數(shù)或非基本初等函數(shù)的最值問題,通常采用導數(shù)法解決.13.(20xx·安徽高考文科·15)若,則下列不等式對一切滿足條件的恒成立的是 (寫出所有正確命題的編號); ; ; ; 【命題立意】本題主要考查均值定理,考查考生變形轉(zhuǎn)化的能力【思路點撥】可以利用特值排除,結合均值定理變形轉(zhuǎn)化求解【規(guī)范解答】令,排除,;由,命題正確;由,命題正確;由,命題正確【答案】14.(20xx·陜西高考文科·4)設x,y滿足約束條件則目標函數(shù)z3xy的最大值為 .【命題立意】本題考查不等式中的線性規(guī)劃知識,畫出平面區(qū)域與正確理解目標函數(shù)的幾何意義是解答好本題的關鍵,屬中檔題【思路點撥】作出可行域作出直線3xy0平移3x-y=0結論【規(guī)范解答】作出可行域當目標函數(shù)z3xy過點A時,z取到最大值5.【答案】15.(20xx·北京高考文科·11)若點P(m,3)到直線的距離為4,且點P在不等式3表示的平面區(qū)域內(nèi),則m= 【命題立意】本題考查了點到直線的距離與線性規(guī)劃的知識【思路點撥】先利用點到直線的距離求出,再把所得點P的坐標代入到不等式中去驗證【規(guī)范解答】點P(m,3)到直線的距離為4,解得或m=又因為點P在不等式3表示的平面區(qū)域內(nèi),所以【答案】-3【方法技巧】判斷點是否在某平面區(qū)域內(nèi),只需把點的坐標代入到不等式(組)中看是否成立即可16.(20xx·安徽高考理科·13)設滿足約束條件若目標函數(shù)的最大值為8,則的最小值為_【命題立意】本題主要考查線性規(guī)劃問題和均值定理,考查考生的作圖、運算求解能力【思路點撥】由約束條件畫可行域 確定目標函數(shù)的最大值點計算的值 利用均值定理計算的最小值【規(guī)范解答】 已知滿足約束條件,其可行域是一個四邊形,4個頂點的坐標分別是,易得目標函數(shù)在點處取最大值8,所以,即,當且僅當時,等號成立所以的最小值為4【答案】4【方法技巧】線性規(guī)劃問題首先作出可行域,若為封閉區(qū)域(即幾條直線圍成的區(qū)域),則目標函數(shù)的最大或最小值在區(qū)域的端點或邊界處取得17.(20xx·遼寧高考理科·14)已知且,則的取值范圍是_(答案用區(qū)間表示)【命題立意】本題考查線性規(guī)劃問題【思路點撥】寫出答案利用性質(zhì)求出范圍作出可行域【規(guī)范解答】作出可行域(如圖),將目標函數(shù)z=2x-3y變形為,它表示與平行,截距是的一組平行直線,當它經(jīng)過點A時,截距最大,此是z取得最小值;當經(jīng)過點B時,截距最小,此時z最大由由z=2xy的取值范圍是(3,8)【答案】(3,8)【方法技巧】本題還可設,利用不等式求解注意:不要先分別求,的范圍再求的范圍,這樣會將范圍擴大,導致結果錯誤18.(20xx·陜西高考理科·4)鐵礦石A和B的含鐵率為,冶煉每萬噸鐵礦石CO2的排放量b及每萬噸鐵礦石的價格c如下表:b(萬噸)(百萬元)A50%13B70%056某冶煉廠至少要生產(chǎn)1.9(萬噸)鐵,若要求CO2的排放量不超過2(萬噸),則購買鐵礦石的最少費用為_ (百萬元)【命題立意】本題考查不等式中的線性規(guī)劃知識的應用,畫出平面區(qū)域與正確理解目標函數(shù)的幾何意義是解答好本題的關鍵屬中檔題【思路點撥】設購買鐵礦石A,B分別為萬噸線性約束條件最優(yōu)解結論【規(guī)范解答】設購買鐵礦石A,B分別為萬噸,購買鐵礦石的費用為z(百萬元),則,目標函數(shù),畫出可行域可知,當目標函數(shù)過點P(1,2)時,z取到最小值15.【答案】1519.(20xx·廣東高考文科·19)某營養(yǎng)師要為某個兒童預定午餐和晚餐.已知一個單位的午餐含12個單位的碳水化合物,6個單位的蛋白質(zhì)和6個單位的維生素一個單位的晚餐含8個單位的碳水化合物,6個單位的蛋白質(zhì)和10個單位的維生素.另外,該兒童這兩餐需要的營養(yǎng)中至少含64個單位的碳水化合物,42個單位的蛋白質(zhì)和54個單位的維生素.如果一個單位的午餐、晚餐的費用分別是2.5元和4元,那么要滿足上述的營養(yǎng)要求,并且花費最少,應當為該兒童分別預訂多少個單位的午餐和晚餐?【命題立意】本題為應用題,考查簡單的線性規(guī)劃問題以及建立數(shù)學模型的方法.【思路點撥】建立目標函數(shù)列出約束條件畫出可行域求目標函數(shù)的最值.【規(guī)范解答】設為該兒童分別預定個單位的午餐和晚餐,共需元,則.作出可行域如圖:所以,當時,花費最少,為(元).答:應當為該兒童分別預定4個午餐和3個晚餐.【方法技巧】線性規(guī)劃的應用問題,應從目標函數(shù)入手,列出約束條件,再根據(jù)約束條件畫出可行域,這樣思路更清晰.20.(20xx·廣東高考理科·19) 某營養(yǎng)師要為某個兒童預定午餐和晚餐.已知一個單位的午餐含12個單位的碳水化合物6個單位蛋白質(zhì)和6個單位的維生素C.一個單位的晚餐含8個單位的碳水化合物,6個單位的蛋白質(zhì)和10個單位的維生素C.另外,該兒童這兩餐需要的營養(yǎng)中至少含64個單位的碳水化合物,42個單位的蛋白質(zhì)和54個單位的維生素C.如果一個單位的午餐、晚餐的費用分別是2.5元和4元,那么要滿足上述的營養(yǎng)要求,并且花費最少,應當為該兒童分別預定多少個單位的午餐和晚餐?【命題立意】本題為應用題,考查簡單的線性規(guī)劃問題以及建立數(shù)學模型的方法.【思路點撥】建立目標函數(shù)列出約束條件畫出可行域求目標函數(shù)的最值.【規(guī)范解答】設為該兒童分別預定個單位的午餐和晚餐,共需元,則.作出可行域如圖:所以,當時,花費最少,為(元).答:應當為該兒童分別預定4個午餐和3個晚餐.【方法技巧】線性規(guī)劃的應用問題,應從目標函數(shù)入手,列出約束條件,再根據(jù)約束條件畫出可行域,這樣思路更清晰.