新課標高考數(shù)學 考點專練16不等式

考點16 不等式 1.（20xx·安徽高考文科·8）設x,y滿足約束條件則目標函數(shù)z=x+y的最大值是（ ）（A）3 （B） 4 （C） 6 （D）8【命題立意】本題主要考查線性規(guī)劃問題，考查考生的作圖、運算求解能力.【思路點撥】由約束條件畫可行域確定目標函數(shù)的最大值點計算目標函數(shù)的最大值【規(guī)范解答】選C約束條件表示的可行域是一個三角形區(qū)域，3個頂點分別是，目標函數(shù)在取最大值6，故C正確【方法技巧】解決線性規(guī)劃問題，首先作出可行域，若為封閉區(qū)域（即幾條直線圍成的區(qū)域），則區(qū)域中的某個端點使目標函數(shù)取得最值 2.（20xx·福建高考文科·5）若，且，則的最小值等于（ ）(A)2 (B)3 (C)5 (D)9【命題立意】本題考查利用線性規(guī)劃的方法求最值 【思路點撥】先畫出不等式組表示的線性區(qū)域，再作出直線，平移，當其截距越小，的值越小【規(guī)范解答】選B不等式組所表示的平面區(qū)域如圖陰影所示：作，平移至點位置時，取得最小值，即 【方法技巧】本題可以采用多種解法，有些解法一反常規(guī)，顛覆視覺方法一（特殊點法）：因為直線兩兩相交分別交于，當時，；當時，；當時，；所以當時，方法二（反代入法）：，把代入得：所以有最小值3方法三（向量法）：設，則方向上的投影，所以當在位置時取得最小值，所以當時，為最小值 3.（20xx·浙江高考文科·7）若實數(shù)x,y滿足不等式組，則x+y的最大值為（ ）（A）9 （B） （C）1 （D）【命題立意】本題主要考查了平面區(qū)域的二元一次不等式組，以及簡單的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結合的思想，屬中檔題【思路點撥】畫出不等式組表示的平面區(qū)域，再利用圖象求的最大值【規(guī)范解答】選A令，則，表示過可行域內(nèi)點斜率為-1的直線在軸上的截距由圖可知當向上平移使它過點時，【方法技巧】（1）畫可行域時：“直線定界、特殊點定域”（2）尋找目標函數(shù)的最值時，應先指明它的幾何意義，這樣才能找到相應的最值 4.（20xx·天津高考文科·2）設變量x，y滿足約束條件則目標函數(shù)z=4x+2y的最大值為（ ）（A）12 （B）10 （C）8 （D）2【命題立意】考查線性規(guī)劃的意義，求目標函數(shù)的最值問題以及數(shù)形結合思想的應用【思路點撥】應用數(shù)形結合，畫圖分析求得最值【規(guī)范解答】選B在同一個坐標系中，畫出直線的圖象，作出可行域可知直線平行移動到直線的交點（2，1）處，目標函數(shù)z=4x+2y取得最大值10.【方法技巧】 線性規(guī)劃問題的關鍵是找準最優(yōu)點，畫圖失誤或求點失誤是常見的失誤點，解決最優(yōu)解問題可將各個邊界點代入驗證，然后尋找合適點 5.（20xx·山東高考理科·10）設變量x，y滿足約束條件則目標函數(shù)的最大值和最小值分別為（ ）（A）3，11（B）3, 11（C）11, 3（D）11,3【命題立意】本題考查不等式中的線性規(guī)劃知識及數(shù)形結合的數(shù)學思想、考查了考生的推理論證能力和運算求解能力.【思路點撥】先畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，再求解.【規(guī)范解答】選A 畫出平面區(qū)域如圖所示：可知當平移到點（5，3）時，目標函數(shù)取得最大值3；當平移到點（3，5）時，目標函數(shù)取得最小值-11，故選A. 6.（20xx·浙江高考理科·7）若實數(shù)，滿足不等式組且的最大值為9，則實數(shù)（ ）（A） （B） （C）1 （D）2【命題立意】本題考查線性規(guī)劃的相關知識，考查數(shù)形結合思想【思路點撥】畫出平面區(qū)域，利用的最大值為9，確定區(qū)域的邊界【規(guī)范解答】選C令，則，表示斜率為-1的直線在軸上的截距當最大值為9時，過點A，因此過點A，所以【方法技巧】畫平面區(qū)域時“直線定界、特殊點定域”7.（20xx·北京高考理科·7）設不等式組表示的平面區(qū)域為D，若指數(shù)函數(shù)y=的圖象上存在區(qū)域D上的點，則a 的取值范圍是（ ）（A）(1,3 (B)2,3 (C) (1,2 (D) 3, )【命題立意】本題考查平面區(qū)域，指數(shù)函數(shù)的相關知識【思路點撥】畫出平面區(qū)域D，再觀察的圖象【規(guī)范解答】選A區(qū)域D如圖所示，其中當恰過點A時，因此當時，的圖象上存在區(qū)域D上的點【方法技巧】畫區(qū)域D時可采用“直線定界、特殊點定域”的方法8.（20xx·江蘇高考·2）設x,y為實數(shù)，滿足38，49，則的最大值是 【命題立意】本題考查不等式的基本性質(zhì)，等價轉(zhuǎn)化思想【思路點撥】【規(guī)范解答】，的最大值是27【答案】279.（20xx·浙江高考文科·16） 某商家一月份至五月份累計銷售額達3 860萬元，預測六月份銷售額為500萬元，七月份銷售額比六月份遞增x%，八月份銷售額比七月份遞增x%，九、十月份銷售總額與七、八月份銷售總額相等，若一月至十月份銷售總額至少達7 000萬元，則x的最小值為 【命題立意】本題主要考查了用一元二次不等式解決實際問題的能力，屬中檔題【思路點撥】把一到十月份的銷售額求和，列出不等式，求解【規(guī)范解答】七月份：，八月份：所以一至十月份的銷售總額為：，解得（舍）或，【答案】2010.（20xx·浙江高考文科·15）若正實數(shù)，滿足，則的最小值是 【命題立意】本題主要考查了用基本不等式解決最值問題的能力 ，以及換元思想和簡單一元二次不等式的解法，屬中檔題【思路點撥】本題可利用基本不等式構造出關于的不等式，解出的最小值【規(guī)范解答】運用基本不等式，令，可得，注意到t0，解得t,故xy的最小值為18【答案】18【方法技巧】基本不等式有兩個常用變形：（1）當和為定值時，積有最大值，即（2）當積為定值時，和有最小值，即11.（20xx·山東高考文科·4）已知R+，且滿足，則xy的最大值為 .【命題立意】本題考查均值定理，考查考生運用基本不等式運算求解能力.【規(guī)范解答】R+，且，由基本不等式有，解得，當且僅當，即時，等號成立，所以xy的最大值為3.【答案】312.（20xx·山東高考理科·14）若對任意，恒成立，則的取值范圍是 【命題立意】本題考查了利用基本不等式求最值及不等式恒成立問題以及參數(shù)問題的求解，考查了考生的轉(zhuǎn)化能力和運算求解能力【思路點撥】將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題.【規(guī)范解答】因為，所以（當且僅當時取等號），所以有，即的最大值為，故 . 【答案】【方法技巧】1不等式的恒成立問題與函數(shù)最值有密切的關系，解決不等式恒成立問題，通常先分離參數(shù)，再轉(zhuǎn)化為最值問題來解：恒成立；恒成立2高次函數(shù)或非基本初等函數(shù)的最值問題，通常采用導數(shù)法解決.13.（20xx·安徽高考文科·15）若，則下列不等式對一切滿足條件的恒成立的是 (寫出所有正確命題的編號)； ； ； ； 【命題立意】本題主要考查均值定理，考查考生變形轉(zhuǎn)化的能力【思路點撥】可以利用特值排除，結合均值定理變形轉(zhuǎn)化求解【規(guī)范解答】令，排除，；由，命題正確；由，命題正確；由，命題正確【答案】14.（20xx·陜西高考文科·4）設x，y滿足約束條件則目標函數(shù)z3xy的最大值為 .【命題立意】本題考查不等式中的線性規(guī)劃知識，畫出平面區(qū)域與正確理解目標函數(shù)的幾何意義是解答好本題的關鍵，屬中檔題【思路點撥】作出可行域作出直線3xy0平移3x-y=0結論【規(guī)范解答】作出可行域當目標函數(shù)z3xy過點A時，z取到最大值5.【答案】15.（20xx·北京高考文科·11）若點P（m，3）到直線的距離為4，且點P在不等式3表示的平面區(qū)域內(nèi)，則m= 【命題立意】本題考查了點到直線的距離與線性規(guī)劃的知識【思路點撥】先利用點到直線的距離求出，再把所得點P的坐標代入到不等式中去驗證【規(guī)范解答】點P（m，3）到直線的距離為4，解得或m=又因為點P在不等式3表示的平面區(qū)域內(nèi)，所以【答案】-3【方法技巧】判斷點是否在某平面區(qū)域內(nèi)，只需把點的坐標代入到不等式(組)中看是否成立即可16.（20xx·安徽高考理科·13）設滿足約束條件若目標函數(shù)的最大值為8，則的最小值為_【命題立意】本題主要考查線性規(guī)劃問題和均值定理，考查考生的作圖、運算求解能力【思路點撥】由約束條件畫可行域 確定目標函數(shù)的最大值點計算的值 利用均值定理計算的最小值【規(guī)范解答】 已知滿足約束條件，其可行域是一個四邊形，4個頂點的坐標分別是，易得目標函數(shù)在點處取最大值8，所以，即，當且僅當時，等號成立所以的最小值為4【答案】4【方法技巧】線性規(guī)劃問題首先作出可行域，若為封閉區(qū)域（即幾條直線圍成的區(qū)域），則目標函數(shù)的最大或最小值在區(qū)域的端點或邊界處取得17.（20xx·遼寧高考理科·14）已知且，則的取值范圍是_（答案用區(qū)間表示）【命題立意】本題考查線性規(guī)劃問題【思路點撥】寫出答案利用性質(zhì)求出范圍作出可行域【規(guī)范解答】作出可行域（如圖），將目標函數(shù)z=2x-3y變形為，它表示與平行，截距是的一組平行直線，當它經(jīng)過點A時，截距最大，此是z取得最小值；當經(jīng)過點B時，截距最小，此時z最大由由z=2xy的取值范圍是（3，8）【答案】（3，8）【方法技巧】本題還可設，利用不等式求解注意：不要先分別求，的范圍再求的范圍，這樣會將范圍擴大，導致結果錯誤18.（20xx·陜西高考理科·4）鐵礦石A和B的含鐵率為,冶煉每萬噸鐵礦石CO2的排放量b及每萬噸鐵礦石的價格c如下表：b(萬噸)（百萬元）A50%13B70%056某冶煉廠至少要生產(chǎn)1.9(萬噸)鐵,若要求CO2的排放量不超過2(萬噸),則購買鐵礦石的最少費用為_ (百萬元)【命題立意】本題考查不等式中的線性規(guī)劃知識的應用，畫出平面區(qū)域與正確理解目標函數(shù)的幾何意義是解答好本題的關鍵屬中檔題【思路點撥】設購買鐵礦石A，B分別為萬噸線性約束條件最優(yōu)解結論【規(guī)范解答】設購買鐵礦石A，B分別為萬噸，購買鐵礦石的費用為z（百萬元），則，目標函數(shù)，畫出可行域可知，當目標函數(shù)過點P（1，2）時，z取到最小值15.【答案】1519.（20xx·廣東高考文科·19）某營養(yǎng)師要為某個兒童預定午餐和晚餐.已知一個單位的午餐含12個單位的碳水化合物，6個單位的蛋白質(zhì)和6個單位的維生素一個單位的晚餐含8個單位的碳水化合物，6個單位的蛋白質(zhì)和10個單位的維生素.另外，該兒童這兩餐需要的營養(yǎng)中至少含64個單位的碳水化合物，42個單位的蛋白質(zhì)和54個單位的維生素.如果一個單位的午餐、晚餐的費用分別是2.5元和4元，那么要滿足上述的營養(yǎng)要求，并且花費最少，應當為該兒童分別預訂多少個單位的午餐和晚餐?【命題立意】本題為應用題，考查簡單的線性規(guī)劃問題以及建立數(shù)學模型的方法.【思路點撥】建立目標函數(shù)列出約束條件畫出可行域求目標函數(shù)的最值.【規(guī)范解答】設為該兒童分別預定個單位的午餐和晚餐，共需元，則.作出可行域如圖：所以，當時，花費最少，為（元）.答：應當為該兒童分別預定4個午餐和3個晚餐.【方法技巧】線性規(guī)劃的應用問題，應從目標函數(shù)入手，列出約束條件，再根據(jù)約束條件畫出可行域，這樣思路更清晰.20.（20xx·廣東高考理科·19） 某營養(yǎng)師要為某個兒童預定午餐和晚餐.已知一個單位的午餐含12個單位的碳水化合物6個單位蛋白質(zhì)和6個單位的維生素C.一個單位的晚餐含8個單位的碳水化合物，6個單位的蛋白質(zhì)和10個單位的維生素C.另外，該兒童這兩餐需要的營養(yǎng)中至少含64個單位的碳水化合物，42個單位的蛋白質(zhì)和54個單位的維生素C.如果一個單位的午餐、晚餐的費用分別是2.5元和4元，那么要滿足上述的營養(yǎng)要求，并且花費最少，應當為該兒童分別預定多少個單位的午餐和晚餐？【命題立意】本題為應用題，考查簡單的線性規(guī)劃問題以及建立數(shù)學模型的方法.【思路點撥】建立目標函數(shù)列出約束條件畫出可行域求目標函數(shù)的最值.【規(guī)范解答】設為該兒童分別預定個單位的午餐和晚餐，共需元，則.作出可行域如圖：所以，當時，花費最少，為(元).答：應當為該兒童分別預定4個午餐和3個晚餐.【方法技巧】線性規(guī)劃的應用問題，應從目標函數(shù)入手，列出約束條件，再根據(jù)約束條件畫出可行域，這樣思路更清晰.