新課標(biāo)高考數(shù)學(xué) 總復(fù)習(xí)：考點(diǎn)14等比數(shù)列含解析

考點(diǎn)14 等比數(shù)列 1.（20xx·遼寧高考文科·3）設(shè)為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知,則公比q = ( ) (A)3(B)4(C)5(D)6【命題立意】本題主要考查等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.【思路點(diǎn)撥】?jī)墒较鄿p，即可得到相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系，進(jìn)而可求公比q.【規(guī)范解答】選B.兩式相減可得：,.故選B.2.（20xx·遼寧高考理科·6）設(shè)an是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，為其前n項(xiàng)和.已知a2a4=1, ,則( )（A） (B) (C) (D) 【命題立意】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.【思路點(diǎn)撥】列出關(guān)于a1，q 的方程組，解出a1，q，再利用前n項(xiàng)和公式求出.【規(guī)范解答】選B.根據(jù)題意可得：3.（20xx·安徽高考理科·10）設(shè)是任意等比數(shù)列，它的前項(xiàng)和，前項(xiàng)和與前項(xiàng)和分別為，則下列等式中恒成立的是( )(A)(B)(C)(D)【命題立意】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查考生的觀察、分析、推理能力. 【思路點(diǎn)撥】從整體觀察，分析與，與的關(guān)系，即可得出結(jié)論. 【規(guī)范解答】選 D.設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意，所以，故D正確.4.（20xx·浙江高考理科·3）設(shè)為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，則（ ）（A）11 （B）5 （C） （D）【命題立意】本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.【思路點(diǎn)撥】抓等比數(shù)列的基本量可解決本題.【規(guī)范解答】選D.設(shè)等比數(shù)列的公式為，則由得，.5.（20xx·山東高考理科·9）設(shè)是等比數(shù)列，則“”是數(shù)列是遞增數(shù)列的（ ）（A）充分而不必要條件 (B)必要而不充分條件（C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件【命題立意】本題考查等比數(shù)列及充分必要條件的基礎(chǔ)知識(shí)，考查了考生的推理論證能力和運(yùn)算求解能力.【思路點(diǎn)撥】分清條件和結(jié)論再進(jìn)行判斷.【規(guī)范解答】選C.若已知，則設(shè)數(shù)列的公比為，因?yàn)?，所以有，解得且，所以?shù)列是遞增數(shù)列；反之，若數(shù)列是遞增數(shù)列，則，即，所以是數(shù)列是遞增數(shù)列的充分必要條件.6.（20xx·北京高考理科·2）在等比數(shù)列中，公比.若，則m =（ ）（A）9 （B）10 （C）11 （D）12【命題立意】本題考查等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí). 【思路點(diǎn)撥】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可解決. 【規(guī)范解答】選C.方法一：由得.又因?yàn)?，所?因此.方法二：因?yàn)?，所?又因?yàn)?，所以所以，?7.（20xx·山東高考文科·7）設(shè)是首項(xiàng)大于零的等比數(shù)列，則“”是“數(shù)列是遞增數(shù)列”的( )（A）充分而不必要條件 (B)必要而不充分條件(C)充分必要條件 (D)既不充分也不必要條件【命題立意】本題考查等比數(shù)列及充分必要條件的基礎(chǔ)知識(shí)，考查了考生的推理論證能力和運(yùn)算求解能力.【思路點(diǎn)撥】分清條件和結(jié)論再進(jìn)行判斷.【規(guī)范解答】選C.若已知，則設(shè)數(shù)列的公比為，因?yàn)?，所以有，又，解得所以?shù)列是遞增數(shù)列；反之，若數(shù)列是遞增數(shù)列且，則公比，所以，即，所以是數(shù)列是遞增數(shù)列的充分必要條件.8.（20xx·廣東高考文科·4）已知數(shù)列為等比數(shù)列，是它的前n項(xiàng)和若=2a1，且與2的等差中項(xiàng)為，則S5=( )(A)35 (B)33 (C)31 (D)29【命題立意】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)、等差數(shù)列的性質(zhì)以及等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式.【思路點(diǎn)撥】由等比數(shù)列的性質(zhì)及已知條件 得出，由等差數(shù)列的性質(zhì)及已知條件得出，從而求出及.【規(guī)范解答】選.由，又 得 .所以， ， .故選.9.（20xx·福建高考理科·11）在等比數(shù)列 中，若公比q=4，且前3項(xiàng)之和等于21，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式= .【命題立意】本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和公式.【思路點(diǎn)撥】由前3項(xiàng)之和等于21求出 ，進(jìn)而求出通項(xiàng)公式.【規(guī)范解答】, 【答案】【方法技巧】另解：，10.（20xx ·海南寧夏高考·理科T17）設(shè)數(shù)列滿足，an+1-an=3·22n-1. （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式. （2）令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【命題立意】本題主要考查了數(shù)列通項(xiàng)公式以及前項(xiàng)和的求法，解決本題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察形式，找到規(guī)律，利用等比數(shù)列的性質(zhì)解題.【思路點(diǎn)撥】由給出的遞推關(guān)系，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【規(guī)范解答】（1）由已知，當(dāng)時(shí)，而，滿足上述公式，所以的通項(xiàng)公式為.（2）由可知，S 從而 得 即 .【方法技巧】利用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和.11.（20xx·陜西高考理科·6）已知是公差不為零的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【命題立意】本題主要考查等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式的應(yīng)用，考查考生的運(yùn)算求解能力【思路點(diǎn)撥】已知關(guān)于d的方程d【規(guī)范解答】，【方法技巧】1.在解決等差數(shù)列或等比數(shù)列的相關(guān)問題時(shí)，“基本量法”是常用的方法，但有時(shí)靈活地運(yùn)用性質(zhì)，可使運(yùn)算簡(jiǎn)便，而一般數(shù)列的問題常轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求解.2數(shù)列求通項(xiàng)的常見類型與方法：公式法、由遞推公式求通項(xiàng)，由求通項(xiàng)，累加法、累乘法等.3.數(shù)列求和的常用方法：公式法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、分組法、倒序相加法等.4解綜合題的成敗在于審清題目，弄懂來(lái)龍去脈，透過給定信息的表象，抓住問題的本質(zhì)，揭示問題的內(nèi)在聯(lián)系和隱含條件，明確解題方向，形成解題策略12.（20xx·北京高考文科·6）已知為等差數(shù)列，且，.（1）求的通項(xiàng)公式.（2）若等比數(shù)列滿足，求的前n項(xiàng)和公式.【命題立意】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，熟練掌握數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)是解答好本類題目的關(guān)鍵.【思路點(diǎn)撥】（1）由a3，a6可列方程解出，從而可求出通項(xiàng)公式；（2）求出，再求出公比q.代入等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可.【規(guī)范解答】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差.因?yàn)椋?所以解得，所以. （2）設(shè)等比數(shù)列的公比為， 因?yàn)?所以，即=3.所以的前項(xiàng)和公式為.13.（20xx·福建高考文科·7）數(shù)列 中1，前n項(xiàng)和滿足-（n）. （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和. （2）若S1, t ( S1+S2 ), 3( S2+S3 ) 成等差數(shù)列，求實(shí)數(shù)t的值.【命題立意】本題考查數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、化歸轉(zhuǎn)化思想. 【思路點(diǎn)撥】第一步先求的通項(xiàng)，可知為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和求解出；第二步利用等差中項(xiàng)列出方程求出t.【規(guī)范解答】 ( 1 ) 由得，又，故，從而.（2）由( 1 ) 從而由S1, t ( S1+S2 ), 3( S2+S3 ) 成等差數(shù)列可得解得.【方法技巧】要求數(shù)列通項(xiàng)公式，由題目提供的是一個(gè)遞推公式，如何通過遞推公式來(lái)求數(shù)列的通項(xiàng).題目要求的是項(xiàng)的問題，這就涉及有關(guān)“項(xiàng)”與“和”如何轉(zhuǎn)化的問題.一般地，含有的遞推關(guān)系式，常利用化“和”為“項(xiàng)”.14.（20xx·湖南高考文科·20）給出下面的數(shù)表序列：其中表n（n=1,2,3 ）有n行，第1行的n個(gè)數(shù)是1,3,5，2n-1，從第2行起，每行中的每個(gè)數(shù)都等于它肩上的兩數(shù)之和.（1）寫出表4，驗(yàn)證表4各行中數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成等比數(shù)列，并將結(jié)論推廣到表n（n3）（不要求證明）.（2）每個(gè)數(shù)列中最后一行都只有一個(gè)數(shù)，它們構(gòu)成數(shù)列1,4,12，記此數(shù)列為 求和：【命題立意】以數(shù)列為背景考查學(xué)生的觀察、歸納和總結(jié)的能力.【思路點(diǎn)撥】在第（2）問中首先應(yīng)得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，再根據(jù)通項(xiàng)公式?jīng)Q定求和的方法.【規(guī)范解答】 (1) 表4為1 3 5 74 8 1212 2032它的第1，2，3，4行中的平均數(shù)分別是4，8，16，32，它們構(gòu)成首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列.將這一結(jié)論推廣到表n（n3），即表n（n3）各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成首項(xiàng)為n，公比為2的等比數(shù)列.簡(jiǎn)證如下（對(duì)考生不作要求）：首先，表n（n3）各行中的第一行，1，3，5，2n-1是等差數(shù)列，其平均數(shù)為；其次，若表n的第k（1kn-1）行a1 ，a2 ，an-k+1 是等差數(shù)列，則它的第k+1行a1+a2，a2+a3，an-k+an-k+1，也是等差數(shù)列.由等差數(shù)列的性質(zhì)知，表n的第k行中的數(shù)的平均數(shù)與第k+1行中的數(shù)的平均數(shù)分別是由此可知，表n（n3）各行中的數(shù)都成等差數(shù)列，且各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成首項(xiàng)為n，公比為2的等比數(shù)列.(2)表n的第一行是1，3，5，2n-1，其平均數(shù)是由(1)知，它的各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成首項(xiàng)為n，公比為2的等比數(shù)列，于是，表n中最后一行的唯一一個(gè)數(shù)為bn=n·2n-1.因此，故.【方法技巧】研究數(shù)列要抓住變化規(guī)律.15.（20xx·天津高考理科·22）在數(shù)列中，且對(duì)任意.，成等差數(shù)列，其公差為.（1）若=，證明，成等比數(shù)列（）.（2）若對(duì)任意，成等比數(shù)列，其公比為.設(shè)q11,證明是等差數(shù)列；若a2=2,證明【命題立意】本小題主要考查等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式、等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力、推理論證能力、綜合分析和解決問題的能力及分類討論的思想方法.【思路點(diǎn)撥】利用等差、等比數(shù)列的定義證明.【規(guī)范解答】（1）由題設(shè)，可得.所以=2k(k+1)，由=0，得于是.所以成等比數(shù)列.（2）方法一：由成等差數(shù)列，及成等比數(shù)列，得，當(dāng)1時(shí)，可知1，k所以是等差數(shù)列，公差為1.，可得，從而=1.由有所以因此，以下分兩種情況進(jìn)行討論：(i)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)n=2m()若m=1,則.若m2，則+所以(ii)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè)n=2m+1（）所以從而···綜合（i）（ii）可知，對(duì)任意,有.方法二：由題設(shè)，可得所以由可知.可得，所以是等差數(shù)列，公差為1.因?yàn)樗?所以，從而，.于是，由（1）可知是公差為1的等差數(shù)列.由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得= ，故.從而.所以由，可得.于是，由（1）可知以下同方法一.16.（20xx·湖南高考理科·21）數(shù)列中，是函數(shù)的極小值點(diǎn).（1）當(dāng)a=0時(shí)，求通項(xiàng). （2）是否存在a，使數(shù)列是等比數(shù)列？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.【命題立意】以三次函數(shù)為載體引出數(shù)列再考查數(shù)列，考查分類討論思想.【思路點(diǎn)撥】由一元三次函數(shù)極小值的求法，引出數(shù)列，進(jìn)一步研究數(shù)列. 【規(guī)范解答】（1）易知令若3an<n2,則 當(dāng)x<3an時(shí)，fn(x)>0, fn(x)單調(diào)遞增；當(dāng)3an<x<n2時(shí)，fn(x)<0, fn(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>n2時(shí)，fn(x)>0, fn(x)單調(diào)遞增.故fn(x)在x=n2取得極小值.若3an>n2，仿可得，fn(x)在x=3an取得極小值.若3an=n2，則f n(x)0, fn(x)無(wú)極值.當(dāng)a=0時(shí)，a1=0，則3a1<12.由知, a2=12=1.因3a2=3<22,則由知，a3=22=4.因?yàn)?a3=12>32，則由知，a4=3a3=3×4.又因?yàn)?a4=36>42,則由知，a5=3a4=32×4.由此猜測(cè)：當(dāng)n3時(shí)，an=4×3n-3.下面先用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n3時(shí)，3an>n2.事實(shí)上，當(dāng)n=3時(shí)，由前面的討論知結(jié)論成立.假設(shè)當(dāng)n=k(k3)時(shí)，3ak>k2成立，則由知，ak+1=3ak>k2,從而3ak+1-(k+1)2>3k2-(k+1)2=2k(k-2)+2k-1>0,所以3ak+1>(k+1)2.故當(dāng)n3時(shí)，3an>n2成立.于是由知，當(dāng)n3時(shí),an+1=3an,而a3=4,因此an=4×3n-3.綜上所述，當(dāng)a=0時(shí)，a1=0,a2=1, an=4×3n-3(n3).(2)存在a，使數(shù)列an是等比數(shù)列.事實(shí)上，由知，若對(duì)任意的n，都有3an>n2,則an+1=3an.即數(shù)列an是首項(xiàng)為a，公比為3的等比數(shù)列，且an=a·3n-1.而要使3an>n2,即a·3n>n2對(duì)一切n記bn=令y=在2,+)上單調(diào)遞減.故當(dāng)n2時(shí)，數(shù)列bn單調(diào)遞減，即數(shù)列bn中最大項(xiàng)為b2=當(dāng)a<綜上所述，存在a，使數(shù)列an是等比數(shù)列，且a的取值范圍是(【方法技巧】處理復(fù)雜函數(shù)的常用步驟：求導(dǎo)數(shù)，解方程，列表，求函數(shù)在關(guān)鍵點(diǎn)的極限，作出圖象，按要求解題.證明一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列，要使一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列，判斷一個(gè)數(shù)列是否為等比數(shù)列常用的方法有：定義法，前三項(xiàng)再檢驗(yàn)法等.