新課標(biāo)高考數(shù)學(xué) 總復(fù)習(xí)：考點(diǎn)17推理與證明含解析

考點(diǎn)17 推理與證明 1.（20xx·山東高考文科·）觀察，由歸納推理可得：若定義在上的函數(shù)滿足，記為的導(dǎo)函數(shù)，則=（ ）（A） (B) (C) (D)【命題立意】本題考查歸納推理的有關(guān)知識(shí)，考查了考生的觀察問(wèn)題，分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力.【思路點(diǎn)撥】觀察所給的結(jié)論，通過(guò)歸納類比聯(lián)想，得出結(jié)論.【規(guī)范解答】選D通過(guò)觀察所給的結(jié)論可知，若是偶函數(shù)，則其導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)，故選D2.（20xx·陜西高考理科·）觀察下列等式：,根據(jù)上述規(guī)律，第五個(gè)等式為 _.【命題立意】本題考查歸納推理，屬送分題【思路點(diǎn)撥】找出等式兩邊底數(shù)的規(guī)律是解題的關(guān)鍵【規(guī)范解答】由所給等式可得：等式兩邊的冪式指數(shù)規(guī)律明顯，底數(shù)關(guān)系如下：即左邊底數(shù)的和等于右邊的底數(shù)，故第五個(gè)等式為：【答案】 3.（20xx·福建高考文科·）觀察下列等式：可以推測(cè)，m n + p = .【命題立意】本題主要考查利用合情推理的方法對(duì)系數(shù)進(jìn)行猜測(cè)求解【思路點(diǎn)撥】根據(jù)歸納推理可得 【規(guī)范解答】觀察得：式子中所有項(xiàng)的系數(shù)和為1，又， 【答案】9624.（20xx·浙江高考理科·14）設(shè)，將的最小值記為，則其中=_ .【命題立意】本題考查合情推理與演繹推理的相關(guān)知識(shí)，熟練掌握相關(guān)的推理規(guī)則是關(guān)鍵【思路點(diǎn)撥】觀察的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)的特點(diǎn)【規(guī)范解答】觀察表達(dá)式的特點(diǎn)可以看出，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，【答案】5.（20xx·北京高考文科·20）已知集合，對(duì)于，定義A與B的差為，A與B之間的距離為.（1）當(dāng)n=5時(shí)，設(shè)，求，.（2）證明：，且.（3） 證明：三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù).【命題立意】本題屬于創(chuàng)新題，考查了學(xué)生運(yùn)用新知識(shí)的能力.本題情景是全新的，對(duì)學(xué)生的“學(xué)習(xí)能力”提出了較高要求.要求教師真正重視學(xué)生的探究性學(xué)習(xí)，更加注重學(xué)生“學(xué)習(xí)能力”“創(chuàng)新能力”的培養(yǎng)【思路點(diǎn)撥】（1）（2）直接按定義求解證明即可.(3) “至少”問(wèn)題可采用反證法證明【規(guī)范解答】（1）（1,0,1,0,1），3.(2)設(shè)，所以中1的個(gè)數(shù)為k,中1的個(gè)數(shù)為，設(shè)是使成立的的個(gè)數(shù)，則，由此可知，三個(gè)數(shù)不可能都是奇數(shù)，即三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù) 6.（20xx·北京高考理科·20）已知集合，對(duì)于，定義A與B的差為 A與B之間的距離為.（1）證明：，且.（2）證明：三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù).(3) 設(shè)P，P中有m(m2)個(gè)元素，記P中所有兩元素間距離的平均值為(P). 證明：（P）.【命題立意】本題屬于創(chuàng)新題，考查了學(xué)生運(yùn)用新知識(shí)的能力，考查了反證法、不等式證明等知識(shí)本題情景是全新的，對(duì)學(xué)生的“學(xué)習(xí)能力”提出了較高要求要求教師真正重視學(xué)生的探究性學(xué)習(xí)，更加注重學(xué)生“學(xué)習(xí)能力”“創(chuàng)新能力”的培養(yǎng)【思路點(diǎn)撥】（1）直接按定義證明即可（2）“至少”問(wèn)題可采用反證法證明(3)把表示出來(lái)，再利用基本不等式證明【規(guī)范解答】（1）設(shè)， 因?yàn)?，所?， 從而， 又,由題意知，.當(dāng)時(shí)，; 當(dāng)時(shí)，,所以.(2)設(shè)，, ，. 記，由（1）可知, ， , , 所以中1的個(gè)數(shù)為，中1的個(gè)數(shù)為 設(shè)是使成立的的個(gè)數(shù)，則, 由此可知，三個(gè)數(shù)不可能都是奇數(shù)， 即,三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù)（3）,其中表示中所有兩個(gè)元素間距離的總和，設(shè)中所有元素的第個(gè)位置的數(shù)字中共有個(gè)1，個(gè)0,則,由于,所以,從而.【方法技巧】（1）證明“至少有一個(gè)”時(shí)，一般采用反證法（2）證明不等式時(shí)要多觀察形式，適當(dāng)變形轉(zhuǎn)化為基本不等式7.（20xx·江蘇高考·23）已知ABC的三邊長(zhǎng)都是有理數(shù)，求證：cosA是有理數(shù).（2）求證：對(duì)任意正整數(shù)n，cosnA是有理數(shù).【命題立意】本題主要考查余弦定理、數(shù)學(xué)歸納法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證的能力與分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.【思路點(diǎn)撥】（1）利用余弦定理表示cosA，由三邊是有理數(shù)，求得結(jié)論.（2）可利用數(shù)學(xué)歸納法證明.【規(guī)范解答】方法一：（1）設(shè)三邊長(zhǎng)分別為，是有理數(shù)，是有理數(shù)，分母為有理數(shù)，又有理數(shù)集對(duì)于除法具有封閉性，必為有理數(shù)，cosA是有理數(shù).（2）當(dāng)時(shí)，顯然cosA是有理數(shù)；當(dāng)時(shí)，因?yàn)閏osA是有理數(shù)， 也是有理數(shù).假設(shè)當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立，即coskA、均是有理數(shù)，當(dāng)時(shí)，解得：，cosA，均是有理數(shù)，是有理數(shù)，是有理數(shù)，即當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立.綜上所述，對(duì)于任意正整數(shù)n，cosnA是有理數(shù).方法二：（1）由AB，BC，AC為有理數(shù)及余弦定理知，是有理數(shù).（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明cosnA和都是有理數(shù)，當(dāng)時(shí)，由（1）知是有理數(shù)，從而有也是有理數(shù).假設(shè)當(dāng)時(shí)，和都是有理數(shù).當(dāng)時(shí)，由，由和歸納假設(shè)，知和都是有理數(shù)，即當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立.綜合、可知，對(duì)任意正整數(shù)n，cosnA是有理數(shù).