新課標(biāo)高考數(shù)學(xué) 總復(fù)習(xí):考點(diǎn)17推理與證明含解析
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新課標(biāo)高考數(shù)學(xué) 總復(fù)習(xí):考點(diǎn)17推理與證明含解析
考點(diǎn)17 推理與證明 1.(20xx·山東高考文科·)觀察,由歸納推理可得:若定義在上的函數(shù)滿足,記為的導(dǎo)函數(shù),則=( )(A) (B) (C) (D)【命題立意】本題考查歸納推理的有關(guān)知識(shí),考查了考生的觀察問(wèn)題,分析問(wèn)題,解決問(wèn)題的能力.【思路點(diǎn)撥】觀察所給的結(jié)論,通過(guò)歸納類比聯(lián)想,得出結(jié)論.【規(guī)范解答】選D通過(guò)觀察所給的結(jié)論可知,若是偶函數(shù),則其導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù),故選D2.(20xx·陜西高考理科·)觀察下列等式:,根據(jù)上述規(guī)律,第五個(gè)等式為 _.【命題立意】本題考查歸納推理,屬送分題【思路點(diǎn)撥】找出等式兩邊底數(shù)的規(guī)律是解題的關(guān)鍵【規(guī)范解答】由所給等式可得:等式兩邊的冪式指數(shù)規(guī)律明顯,底數(shù)關(guān)系如下:即左邊底數(shù)的和等于右邊的底數(shù),故第五個(gè)等式為:【答案】 3.(20xx·福建高考文科·)觀察下列等式:可以推測(cè),m n + p = .【命題立意】本題主要考查利用合情推理的方法對(duì)系數(shù)進(jìn)行猜測(cè)求解【思路點(diǎn)撥】根據(jù)歸納推理可得 【規(guī)范解答】觀察得:式子中所有項(xiàng)的系數(shù)和為1,又, 【答案】9624.(20xx·浙江高考理科·14)設(shè),將的最小值記為,則其中=_ .【命題立意】本題考查合情推理與演繹推理的相關(guān)知識(shí),熟練掌握相關(guān)的推理規(guī)則是關(guān)鍵【思路點(diǎn)撥】觀察的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)的特點(diǎn)【規(guī)范解答】觀察表達(dá)式的特點(diǎn)可以看出,當(dāng)為偶數(shù)時(shí),;,當(dāng)為奇數(shù)時(shí),【答案】5.(20xx·北京高考文科·20)已知集合,對(duì)于,定義A與B的差為,A與B之間的距離為.(1)當(dāng)n=5時(shí),設(shè),求,.(2)證明:,且.(3) 證明:三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù).【命題立意】本題屬于創(chuàng)新題,考查了學(xué)生運(yùn)用新知識(shí)的能力.本題情景是全新的,對(duì)學(xué)生的“學(xué)習(xí)能力”提出了較高要求.要求教師真正重視學(xué)生的探究性學(xué)習(xí),更加注重學(xué)生“學(xué)習(xí)能力”“創(chuàng)新能力”的培養(yǎng)【思路點(diǎn)撥】(1)(2)直接按定義求解證明即可.(3) “至少”問(wèn)題可采用反證法證明【規(guī)范解答】(1)(1,0,1,0,1),3.(2)設(shè),所以中1的個(gè)數(shù)為k,中1的個(gè)數(shù)為,設(shè)是使成立的的個(gè)數(shù),則,由此可知,三個(gè)數(shù)不可能都是奇數(shù),即三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù) 6.(20xx·北京高考理科·20)已知集合,對(duì)于,定義A與B的差為 A與B之間的距離為.(1)證明:,且.(2)證明:三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù).(3) 設(shè)P,P中有m(m2)個(gè)元素,記P中所有兩元素間距離的平均值為(P). 證明:(P).【命題立意】本題屬于創(chuàng)新題,考查了學(xué)生運(yùn)用新知識(shí)的能力,考查了反證法、不等式證明等知識(shí)本題情景是全新的,對(duì)學(xué)生的“學(xué)習(xí)能力”提出了較高要求要求教師真正重視學(xué)生的探究性學(xué)習(xí),更加注重學(xué)生“學(xué)習(xí)能力”“創(chuàng)新能力”的培養(yǎng)【思路點(diǎn)撥】(1)直接按定義證明即可(2)“至少”問(wèn)題可采用反證法證明(3)把表示出來(lái),再利用基本不等式證明【規(guī)范解答】(1)設(shè), 因?yàn)?,所?, 從而, 又,由題意知,.當(dāng)時(shí),; 當(dāng)時(shí),,所以.(2)設(shè),, ,. 記,由(1)可知, , , , 所以中1的個(gè)數(shù)為,中1的個(gè)數(shù)為 設(shè)是使成立的的個(gè)數(shù),則, 由此可知,三個(gè)數(shù)不可能都是奇數(shù), 即,三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù)(3),其中表示中所有兩個(gè)元素間距離的總和,設(shè)中所有元素的第個(gè)位置的數(shù)字中共有個(gè)1,個(gè)0,則,由于,所以,從而.【方法技巧】(1)證明“至少有一個(gè)”時(shí),一般采用反證法(2)證明不等式時(shí)要多觀察形式,適當(dāng)變形轉(zhuǎn)化為基本不等式7.(20xx·江蘇高考·23)已知ABC的三邊長(zhǎng)都是有理數(shù),求證:cosA是有理數(shù).(2)求證:對(duì)任意正整數(shù)n,cosnA是有理數(shù).【命題立意】本題主要考查余弦定理、數(shù)學(xué)歸納法等基礎(chǔ)知識(shí),考查推理論證的能力與分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.【思路點(diǎn)撥】(1)利用余弦定理表示cosA,由三邊是有理數(shù),求得結(jié)論.(2)可利用數(shù)學(xué)歸納法證明.【規(guī)范解答】方法一:(1)設(shè)三邊長(zhǎng)分別為,是有理數(shù),是有理數(shù),分母為有理數(shù),又有理數(shù)集對(duì)于除法具有封閉性,必為有理數(shù),cosA是有理數(shù).(2)當(dāng)時(shí),顯然cosA是有理數(shù);當(dāng)時(shí),因?yàn)閏osA是有理數(shù), 也是有理數(shù).假設(shè)當(dāng)時(shí),結(jié)論成立,即coskA、均是有理數(shù),當(dāng)時(shí),解得:,cosA,均是有理數(shù),是有理數(shù),是有理數(shù),即當(dāng)時(shí),結(jié)論成立.綜上所述,對(duì)于任意正整數(shù)n,cosnA是有理數(shù).方法二:(1)由AB,BC,AC為有理數(shù)及余弦定理知,是有理數(shù).(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明cosnA和都是有理數(shù),當(dāng)時(shí),由(1)知是有理數(shù),從而有也是有理數(shù).假設(shè)當(dāng)時(shí),和都是有理數(shù).當(dāng)時(shí),由,由和歸納假設(shè),知和都是有理數(shù),即當(dāng)時(shí),結(jié)論成立.綜合、可知,對(duì)任意正整數(shù)n,cosnA是有理數(shù).