新課標高考數(shù)學 總復習：考點6導數(shù)、定積分含解析

考點6 導數(shù)、定積分 1.（20xx ·海南高考理科·T3）曲線在點處的切線方程為（ ）（A） （B） （C） （D）【命題立意】本題主要考查導數(shù)的幾何意義，以及熟練運用導數(shù)的運算法則進行求解.【思路點撥】先求出導函數(shù)，解出斜率，然后根據(jù)點斜式求出切線方程.【規(guī)范解答】選A.因為 ，所以，在點處的切線斜率，所以，切線方程為，即，故選A.2.（20xx·山東高考文科·8）已知某生產(chǎn)廠家的年利潤（單位：萬元）與年產(chǎn)量（單位：萬件）的函數(shù)關系式為，則使該生產(chǎn)廠家獲得最大年利潤的年產(chǎn)量為（ ）(A) 13萬件 (B) 11萬件(C) 9萬件 (D) 7萬件【命題立意】本題考查利用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題，考查了考生的分析問題解決問題的能力和運算求解能力.【思路點撥】利用導數(shù)求函數(shù)的最值.【規(guī)范解答】選C.,令得或（舍去），當時；當時，故當時函數(shù)有極大值，也是最大值，故選C.3.（20xx·山東高考理科·7）由曲線y=,y=圍成的封閉圖形面積為（ ）（A）(B) (C) (D) 【命題立意】本題考查定積分的基礎知識，由定積分求曲線圍成封閉圖形的面積,考查了考生的想象能力、推理論證能力和運算求解能力.【思路點撥】先求出曲線y=,y=的交點坐標，再利用定積分求面積.【規(guī)范解答】選A.由題意得: 曲線y=,y=的交點坐標為(0,0)，(1,1)，故所求封閉圖形的面積為,故選A.4.（20xx·遼寧高考理科·10）已知點P在曲線y=上，為曲線在點P處的切線的傾斜角，則的取值范圍是（ ）(A)0,) (B) (C) (D) 【命題立意】本題考查了導數(shù)的幾何意義，考查了基本等式，函數(shù)的值域，直線的傾斜角與斜率.【思路點撥】先求導數(shù)的值域，即tan的范圍，再根據(jù)正切函數(shù)的性質求的范圍.【規(guī)范解答】選D.，5.（20xx·湖南高考理科·4）等于（ ）(A) (B) (C) (D)【命題立意】考查積分的概念和基本運算.【思路點撥】記住的原函數(shù).【規(guī)范解答】選D .=(lnx+c) =(ln4+c)-(ln2+c)=ln2.【方法技巧】關鍵是記住被積函數(shù)的原函數(shù).6.（20xx·江蘇高考·8）函數(shù)y=x2(x>0)的圖像在點(ak,ak2)處的切線與x軸的交點的橫坐標為ak+1,，若a1=16，則a1+a3+a5的值是_.【命題立意】本題考查導數(shù)的幾何意義、函數(shù)的切線方程以及數(shù)列的通項等內容.【思路點撥】先由導數(shù)的幾何意義求得函數(shù)y=x2(x>0)的圖像在點(ak,ak2)處的切線的斜率，然后求得切線方程，再由，即可求得切線與x軸交點的橫坐標.【規(guī)范解答】由y=x2(x>0)得，所以函數(shù)y=x2(x>0)在點(ak,ak2)處的切線方程為：當時，解得，所以.【答案】217.（20xx·江蘇高考·4）將邊長為1m正三角形薄片沿一條平行于某邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記,則S的最小值是_ _.【命題立意】 本題考查函數(shù)中的建模在實際問題中的應用，以及等價轉化思想.【思路點撥】可設剪成的小正三角形的邊長為，然后用分別表示梯形的周長和面積，從而將S用x表示出來，利用函數(shù)的觀點解決.【規(guī)范解答】設剪成的小正三角形的邊長為，則：方法一：利用導數(shù)的方法求最小值.，當時，遞減；當時，遞增；故當時，S取最小值是.方法二：利用函數(shù)的方法求最小值令，則：故當時，S取最小值是.【答案】【方法技巧】函數(shù)的最值是函數(shù)最重要的性質之一，高考不但在填空題中考查，還會在應用題、函數(shù)導數(shù)的綜合解答題中考查.高中階段，常見的求函數(shù)的最值的常用方法有：換元法、有界性法、數(shù)形結合法、導數(shù)法和基本不等式法.8.（20xx·陜西高考理科·3）從如圖所示的長方形區(qū)域內任取一個點M（x,y）,則點M取自陰影部分的概率為 .【命題立意】本題考查積分、幾何概型概率的簡單運算，屬送分題.【思路點撥】由積分求出陰影部分的面積即可求解.【規(guī)范解答】陰影部分的面積為所以點M取自陰影部分的概率為.【答案】9（20xx ·海南高考理科·T13）設y=f(x)為區(qū)間0,1上的連續(xù)函數(shù)，且恒有0f(x) 1,可以用隨機模擬方法近似計算積分,先產(chǎn)生兩組（每組N個）區(qū)間0,1上的均勻隨機數(shù),和,由此得到N個點（i=1,2,N）,再數(shù)出其中滿足（i=1,2,N）的點數(shù)，那么由隨機模擬方法可得積分的近似值為 .【命題立意】本題主要考查了定積分的幾何意義以及幾何概型的計算公式.【思路點撥】由隨機模擬想到幾何概型，然后結合定積分的幾何意義進行求解.【規(guī)范解答】由題意可知，所有取值構成的區(qū)域是一個邊長為1的正方形，而滿足的點落在y=f(x)、以及、圍成的區(qū)域內，由幾何概型的計算公式可知的近似值為.【答案】10.（20xx·北京高考理科·8）已知函數(shù)()=ln(1+)-+， (0).(1)當=2時，求曲線=()在點(1，(1)處的切線方程；(2)求()的單調區(qū)間.【命題立意】本題考查了導數(shù)的應用，考查利用導數(shù)求切線方程及單調區(qū)間.解決本題時一個易錯點是忽視定義域.【思路點撥】（1）求出，再代入點斜式方程即可得到切線方程；（2）由討論的正負，從而確定單調區(qū)間.【規(guī)范解答】（1）當時， 由于， 所以曲線在點處的切線方程為 , 即 .（2），.當時，.所以，在區(qū)間上，；在區(qū)間上，.故的單調遞增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間是.當時，由，得，所以，在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，故的單調遞增區(qū)間是和，單調遞減區(qū)間是.當時，故的單調遞增區(qū)間是.當時，得，.所以在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，故的單調遞增區(qū)間是和，單調遞減區(qū)間是【方法技巧】（1）過的切線方程為.（2）求單調區(qū)間時要在定義域內討論的正負.11.（20xx·安徽高考文科·20）設函數(shù)，求函數(shù)的單調區(qū)間與極值.【命題立意】本題主要考查導數(shù)的運算，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性與極值的方法，考查考生運算能力、綜合分析問題能力和問題的化歸轉化能力.【思路點撥】對函數(shù)求導，分析導數(shù)的符號情況，從而確定的單調區(qū)間和極值.【規(guī)范解答】, +-0+極大值極小值,.【方法技巧】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和極值是解決函數(shù)單調性、極值問題的常用方法，簡單易行，具體操作流程如下：（1）求導數(shù)；（2）求方程的全部實根；（3）列表，檢查在方程的根左、右的值的符號；（4）判斷單調區(qū)間和極值.12.（20xx·北京高考文科·8） 設函數(shù)，且方程的兩個根分別為1，4.（1）當a=3且曲線過原點時，求的解析式；（2）若在無極值點，求a的取值范圍.【命題立意】本題考查了導數(shù)的求法，函數(shù)的極值，二次函數(shù)等知識.【思路點撥】(1)由的兩個根及過原點，可解出；（2）是開口向上的二次函數(shù)，無極值點，則恒成立.【規(guī)范解答】由 得 ,因為的兩個根分別為1,4，所以（*）（1）當時，（*）式為解得,又因為曲線過原點，所以,故.（2）由于a>0,所以在（-，+）內無極值點等價于在（-，+）內恒成立.由（*）式得.又,解 得即的取值范圍為【方法技巧】（1）當在的左側為正，右側為負時，為極大值點；當在的左側為負，右側為正時，為極小值點.（2）二次函數(shù)恒成立問題可利用開口方向與判別式來解決. （0）恒大于0，則；（0）恒小于0，則；13.（20xx·安徽高考理科·17）設為實數(shù)，函數(shù). (1)求的單調區(qū)間與極值；(2)求證：當且時，.【命題立意】本題主要考查導數(shù)的運算，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調區(qū)間、求函數(shù)的極值、證明不等式，考查考生運算能力、綜合分析問題能力和問題的化歸轉化能力.【思路點撥】(1)先分析的導數(shù)的符號情況，從而確定的單調區(qū)間和極值；(2) 設，把問題轉化為：求證：當且時，.【規(guī)范解答】（1），,令，得，極小值在上單調遞減，在上單調遞增；當時，取得極小值為.（2）設，,由（1）問可知，恒成立，當時，則0恒成立，所以在上單調遞增，所以當時，即當且時，.【方法技巧】1、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性是解決函數(shù)單調性問題的常用方法，簡單易行；2、證明不等式問題，如證，通常令，轉化為證明：.14.（20xx·天津高考文科·20）已知函數(shù)f（x）=，其中a>0. （1）若a=1，求曲線y=f（x）在點（2，f（2）處的切線方程；（2）若在區(qū)間上，f（x）>0恒成立，求a的取值范圍.【命題立意】本小題主要考查曲線的切線方程、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性與極值、解不等式等基礎知識，考查運算能力及分類討論的思想方法.【思路點撥】應用導數(shù)知識求解曲線的切線方程及函數(shù)最值.【規(guī)范解答】（1）當a=1時，f（x）=，f（2）=3；f(x)=, f(2)=6.所以曲線y=f（x）在點（2，f（2）處的切線方程為y-3=6（x-2），即y=6x-9.（2）f(x)=.令f(x)=0，解得x=0或x=.以下分兩種情況討論：若，當x變化時，f(x)，f（x）的變化情況如下表：x0f(x)+0-f(x)極大值 當?shù)葍r于 解不等式組得-5<a<5.因此.若a>2，則.當x變化時，f(x),f（x）的變化情況如下表：x0f(x)+0-0+f(x)極大值極小值當時，f（x）>0等價于即解不等式組得或.因此2<a<5. 綜合（1）和（2），可知a的取值范圍為0<a<5.15.（20xx·山東高考文科·21）已知函數(shù).（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）當時，討論的單調性.【命題立意】本題主要考查導數(shù)的概念、導數(shù)的幾何意義和利用導數(shù)研究函數(shù)性質的能力.考查分類討論思想、數(shù)形結合思想和等價變換思想.【思路點撥】(1)根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出曲線在點處的切線的斜率；（2）直接利用函數(shù)與導數(shù)的關系討論函數(shù)的單調性,同時應注意分類標準的選擇.【規(guī)范解答】（1） 當所以 , 因此， ,即曲線又所以曲線（2）因為,所以 , ,令當時，所以 當時，>0，此時，函數(shù)單調遞減；當時，<0，此時，函數(shù)單調遞增.當時，由，即 ，解得. 當時， ， 恒成立，此時，函數(shù)在（0，+）上單調遞減; 當時， ，時，,此時,函數(shù)單調遞減，時，<0,此時,函數(shù)單調遞增，時，此時，函數(shù)單調遞減， 當時，由于,時，,此時,函數(shù)單調遞減，時，<0,此時,函數(shù)單調遞增.綜上所述：當時，函數(shù)在上單調遞減;函數(shù)在上單調遞增，當時,函數(shù)在上單調遞減，當時，函數(shù)在上單調遞減；函數(shù) 在上單調遞增； 函數(shù)在上單調遞減.【方法技巧】1、分類討論的原因(1)某些概念、性質、法則、公式分類定義或分類給出；(2)數(shù)的運算：如除法運算中除式不為零，在實數(shù)集內偶次方根的被開方數(shù)為非負數(shù)，對數(shù)中真數(shù)與底數(shù)的要求，不等式兩邊同乘以一個正數(shù)還是負數(shù)等；(3)含參數(shù)的函數(shù)、方程、不等式等問題，由參數(shù)值的不同而導致結果發(fā)生改變；(4)在研究幾何問題時，由于圖形的變化(圖形位置不確定或形狀不確定)，引起問題的結果有多種可能.2、分類討論的原則(1)要有明確的分類標準；(2)對討論對象分類時要不重復、不遺漏；(3)當討論的對象不止一種時，應分層次進行.3、分類討論的一般步驟(1)明確討論對象，確定對象的范圍；(2)確定統(tǒng)一的分類標準，進行合理分類，做到不重不漏；(3)逐段逐類討論，獲得階段性結果；(4)歸納總結，得出結論.16. （20xx·陜西高考文科·2）已知函數(shù)（1）若曲線與曲線相交，且在交點處有相同的切線，求的值及該切線的方程；（2）設函數(shù),當存在最小值時，求其最小值的解析式；（3）對（2）中的，證明：當時，【命題立意】本題將導數(shù)、不等式知識有機地結合在一起，考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、利用導數(shù)求函數(shù)的最值問題，考查了分類討論的數(shù)學思想以及解不等式的能力；考查了學生綜合運用所學知識分析問題、解決問題的能力.【思路點撥】曲線與在交點處有相同的切線交點坐標的值及該切線的方程；利用導數(shù)法求的最小值的解析式利用單調性證明（3）.【規(guī)范解答】（1） 兩條曲線交點的坐標為（e2,e），切線的斜率為所以切線的方程為（2）由已知條件知當>0時，令,解得=,所以當0 < < 時，h(x)在（0，）上遞減；當x>時，在上遞增.所以x=是在（0， + ）上的唯一極值點，且是極小值點，從而也是的最小值點.當a  0時，在（0，+）遞增，無最小值.故（3）由（2）知由由所以所以又所以當時，17.（20xx·陜西高考理科·2）已知函數(shù) （1）若曲線與曲線相交，且在交點處有相同的切線，求的值及該切線的方程；（2）設函數(shù),當存在最小值時，求其最小值的解析式；（3）對（2）中的和任意的，證明：【命題立意】本題將導數(shù)、不等式知識有機地結合在一起，考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、利用導數(shù)求函數(shù)的最值問題，考查了分類討論的數(shù)學思想以及解不等式的能力；考查了學生綜合運用所學知識分析問題、解決問題的能力.【思路點撥】曲線與在交點處有相同的切線交點坐標的值及該切線的方程；由利用導數(shù)法求的最小值的解析式利用基本不等式證明（3）.【規(guī)范解答】（1） 兩條曲線交點的坐標為（e2,e），切線的斜率為所以切線的方程為（2）由已知條件知當>0時，令,解得=,所以當0 < < 時，h(x)在（0，）上遞減；當x>時，在上遞增.所以x=是在（0， + ）上的唯一極值點，且是極小值點，從而也是的最小值點.當a0時，在（0，+）遞增，無最小值.故（3）由（2）知綜上可得：【方法技巧】不等式的證明方法1證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法仍是證明不等式的最基本方法要依據(jù)題設、結論的結構特點、內在聯(lián)系，選擇適當?shù)淖C明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應的步驟，技巧和語言特點2在證明不等式前，要依據(jù)題設和待證不等式的結構特點、內在聯(lián)系，選擇適當?shù)淖C明方法通過等式或不等式的運算，將待證的不等式化為明顯的、熟知的不等式，從而使原不等式得到證明；反之亦可從明顯的、熟知的不等式入手，經(jīng)過一系列的運算而導出待證的不等式，前者是“執(zhí)果索因”，后者是“由因導果”，為溝通聯(lián)系的途徑，證明時往往聯(lián)合使用分析法綜合法，兩面夾擊，相輔相成，達到欲證的目的18.（20xx·湖南高考理科·4）已知函數(shù)對任意的，恒有.（1）證明：當時，；（2）若對滿足題設條件的任意b，c，不等式恒成立，求M的最小值.【命題立意】以二次函數(shù)為載體，考查導數(shù)，不等式的證明，消元等知識.考查了等價轉化的思想.【思路點撥】（1）在對任意的，恒有下可以得到b,c的關系，目標是證明當時，其實是尋找條件和目標的關系，連接的紐帶是b和c的關系.（2）恒成立，轉化為求函數(shù)的最值，而且是二元函數(shù)的最值的求法，沒有等式的條件下常常用整體消元.【規(guī)范解答】（1）易知f(x)=2x+b.由題設，對任意的x恒成立，所以(b-2)2-4(c-b)0,從而c于是c1，且c|b|,因此2c-b=c+(c-b)>0.故當x0時，有(x+c)2-f(x)=(2c-b)x+c(c-1)0.即當x0時，.(2)由（1）知，c|b|時，有M當c=|b|時，由（1）知，b=±2,c=2.此時f(c)-f(b)=-8或0，c2-b2=0,從而f(c)-f(b)0，M無最小值.綜上所述，M的最小值為.【方法技巧】求最值是高考中重點也是難點.解題的思路是，首先看變量的個數(shù)，如果是三個變量常有三條路，一是利用柯西不等式、均值不等式和排序不等式，二是消元轉化為二元再轉化為一元，三是有時利用幾何背景解題.如果是兩個變量常常有三條路可走，一是利用柯西不等式、均值不等式，二是消元轉化為一元函數(shù)，三是如果條件是不等式，常常也可以用數(shù)學規(guī)劃.如果是一個變量，常用方法：基本函數(shù)模型，單調性法和導數(shù)法.19.（20xx·遼寧高考文科·21）已知函數(shù)f(x)=(a+1)lnx+ax2+1. (1)討論函數(shù)f(x)的單調性；(2)設a-2，證明：對任意x1,x2(0,+)，|f(x1)-f(x2)|4|x1-x2|.【命題立意】本題考查了函數(shù)的單調性與導數(shù)，求參數(shù)的取值范圍，考查了分類討論、轉化等思想方法以及運算推理能力.【思路點撥】（1）求導數(shù)，對參數(shù)分類，討論導數(shù)的符號，判斷單調性， （2）轉化為等價命題，構造新函數(shù)g(x)=f(x)+4x,通過g(x)的單調性證明.【規(guī)范解答】【方法技巧】1.討論函數(shù)的單調性要明確函數(shù)的定義域，一般用導數(shù)的方法，對參數(shù)分類做到不重不漏.2、直接證明一個命題，不好證時可考慮證明它的等價命題.20.（20xx·遼寧高考理科·21）已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調性；（2）設.如果對任意，求的取值范圍.【命題立意】本題考查了函數(shù)的單調性與導數(shù)，求參數(shù)的取值范圍，考查了分類討論、轉化等思想方法以及運算能力.【思路點撥】（1）求導數(shù)，對參數(shù)分類，討論導數(shù)的符號，判斷單調性， （2）轉化為等價命題，構造新函數(shù)g(x)=f(x)+4x,分離參數(shù)，求a的范圍.【規(guī)范解答】【方法技巧】討論函數(shù)的單調性首先要明確函數(shù)的定義域，一般用導數(shù)的方法，對參數(shù)分類做到不重不漏.求參數(shù)的取值范圍往往要分離變量，分離時一定要使分離后的式子有意義，如分母不為0等.直接證明一個命題，不好證時可考慮證明它的等價命題.21.（20xx·天津高考理科·2）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調區(qū)間和極值；（2）已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關于直線對稱，證明當時，.（3）如果，且，證明.【命題立意】本小題主要考查導數(shù)的應用，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性與極值等基礎知識，考查運算能力及用函數(shù)思想分析解決問題的能力.【思路點撥】利用導數(shù)及函數(shù)的性質解題.【規(guī)范解答】（1）f，令f(x)=0,解得x=1，當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表x()1()f(x)+0-f(x)極大值所以f(x)在()內是增函數(shù)，在()內是減函數(shù).函數(shù)f(x)在x=1處取得極大值f(1)且f(1)=.（2）由題意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x),令F(x)=f(x)-g(x),即,于是,當x>1時，2x-2>0,從而(x)>0,從而函數(shù)F（x）在1,+)是增函數(shù).又F(1)=F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x).(3)若若根據(jù)得由（2）可知，>,又=，所以>,從而>.因為，所以，又由（1）可知函數(shù)f(x)在區(qū)間（-，1）內是增函數(shù)，所以>,即>2.22.（20xx·江蘇高考·20）設是定義在區(qū)間上的函數(shù)，其導函數(shù)為.如果存在實數(shù)和函數(shù)，其中對任意的都有>0，使得，則稱函數(shù)具有性質.(1)設函數(shù)，其中為實數(shù).(i)求證：函數(shù)具有性質； (ii)求函數(shù)的單調區(qū)間.(2)已知函數(shù)具有性質，給定設為實數(shù)，且，若|<|，求的取值范圍.【命題立意】本題主要考查函數(shù)的概念、性質、圖象及導數(shù)等基礎知識，考查靈活運用數(shù)形結合、分類討論的思想方法進行探索、分析與解決問題的綜合能力.【思路點撥】(1)求出，并將其表示為的形式，注意.(2)利用(1)的結論求解.【規(guī)范解答】（1）(i)，時，恒成立，函數(shù)具有性質.(ii)（方法一）設，與的符號相同.當時，故此時在區(qū)間上遞增；當時，對于，有，所以此時在區(qū)間上遞增；當時，圖像開口向上，對稱軸，而，所以當x>1時，所以此時在區(qū)間上遞增；當時，圖像開口向上，對稱軸，方程的兩根為：，而 當時，故此時在區(qū)間上遞減；同理得：在區(qū)間上遞增.綜上所述，當時，在區(qū)間上遞增； 當時，在上遞減；在上遞增.（方法二）當時，對于， 所以，故此時在區(qū)間上遞增；當時，圖像開口向上，對稱軸，方程的兩根為：，而, 當時，故此時在區(qū)間上遞減；同理得：在區(qū)間上遞增.綜上所述，當時，在區(qū)間上遞增； 當時，在上遞減；在上遞增.(2)（方法一）由題意，得：又對任意的都有>0，所以對任意的都有，在上遞增.又.當時，且，若，（不合題意）.綜合以上討論，得所求的取值范圍是（0，1）.（方法二）由題設知，的導函數(shù)，其中函數(shù)對于任意的都成立.所以，當時，從而在區(qū)間上單調遞增.當時，有，得，同理可得，所以由的單調性知、，從而有|<|，符合題設.當時，于是由及的單調性知，所以|，與題設不符.當時，同理可得，進而得|，與題設不符.因此綜合、得所求的的取值范圍是（0，1）23.（20xx·浙江高考文科·21）已知函數(shù)（-b）<b).（1）當a=1，b=2時，求曲線在點（2，）處的切線方程.（2）設是的兩個極值點，是的一個零點，且，證明：存在實數(shù)，使得 按某種順序排列后得等差數(shù)列，并求【命題立意】本題主要考查函數(shù)的極值概念、導數(shù)運算法則、切線方程、導數(shù)應用、等差數(shù)列等基礎知識，同時考查抽象概括、推理論證能力和創(chuàng)新意識.【思路點撥】（1）先求出再代入點斜式方程；（2）先找到，觀察它們之間的關系，從而確定在等差數(shù)列中的位置.【規(guī)范解答】(1)當a=1,b=2時，,因為(x)=(x-1)(3x-5)，故 (2)=1，f(2)=0,所以f(x)在點（2,0）處的切線方程為y=x-2.（2）因為（x）3（xa）（x），由于a<b.故a<.所以f（x）的兩個極值點為xa,x.不妨設x1a，x2，因為x3x1，x3x2，且x3是f（x）的零點，故x3b.又因為a2（b），所以成等差數(shù)列.所以4（a），所以存在實數(shù)x4滿足題意，且x4.【方法技巧】（1）函數(shù)在處的切線方程為；（2）在函數(shù)的極值點處.24.（20xx·廣東高考文科·21）已知曲線，點是曲線上的點.（1）試寫出曲線在點處的切線的方程，并求出與軸的交點的坐標；（2）若原點到的距離與線段的長度之比取得最大值，試求點的坐標；（3）設與為兩個給定的不同的正整數(shù)，與是滿足（2）中條件的點的坐標，證明：.【命題立意】本題為一道綜合題，主要考查解析幾何、導數(shù)、不等式等的綜合應用.【思路點撥】(1)利用導數(shù)求解；（2）利用不等式的性質求解；（3）用數(shù)學歸納法證明.【規(guī)范解答】（1） ， ， 切線的方程為：， 即：，令，得 ， .（2）設原點到的距離為，則 ， ,所以 ，當且僅當即時，等號成立，此時， 所以， .（3）要證成立，下面用數(shù)學歸納法證明成立.當時，左邊=1，右邊，不等式成立.假設時，不等式成立，即成立,當時， ， ,當時，有成立，綜上，成立，又 、，且 < ,所以，原不等式成立.25.（20xx·浙江高考理科·22）已知是給定的實常數(shù)，設函數(shù)，是的一個極大值點(1)求的取值范圍；(2)設是的3個極值點，問是否存在實數(shù)，可找到，使得的某種排列(其中=)依次成等差數(shù)列?若存在，求所有的及相應的；若不存在，說明理由【命題立意】本題主要考查函數(shù)極值的概念、導數(shù)運算法則、導數(shù)應用及等差數(shù)列等基礎知識，同時考查推理論證能力、分類討論等綜合解題能力和創(chuàng)新意識.【思路點撥】（1）利用函數(shù)取得極大值的條件，求的范圍；（2）可先求出，利用等差數(shù)列的相關知識來求.由于的排列有多種情況，因此要注意討論.【規(guī)范解答】（1）f(x)=ex(x-a) 令于是，假設當x1=a 或x2=a時，則x=a不是f(x)的極值點，此時不合題意.當x1a且x2a時，由于x=a是f(x)的極大值點，故x1<a<x2.即，即所以，所以的取值范圍是.（2）由（1）可知，假設存在及滿足題意，解方程得，.當時，則或，于是，即.此時或-.當或時，(i)若，則，于是，即，于是或（舍）.此時.若，則，于是（舍）或.此時，綜上所述，存在b滿足題意，當b=-a-3時， ；當時，；當時，.【方法技巧】1、函數(shù)在處取得極大值的條件是，在的左側，在的右側；2、由于本題的的3個極值點間存在關系x1<a<x2，所以可能有四種情況：或或或.討論時要做到不重不漏.26.（20xx·福建高考文科·22）已知函數(shù)f（x）=的圖像在點P（0,f(0)）處的切線方程為y=3x-2.(1)求實數(shù)a,b的值；(2)設g（x）=f(x)+是上的增函數(shù).求實數(shù)m的最大值；當m取最大值時，是否存在點Q，使得過點Q的直線若能與曲線y=g(x)圍成兩個封閉圖形，則這兩個封閉圖形的面積總相等?若存在，求出點Q的坐標；若不存在，說明理由.【命題立意】本小題主要考查函數(shù)、導數(shù)等基礎知識，考查抽象概括、推理論證、運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結合思想、化歸轉化思想、分類與整合的思想.【思路點撥】第一步利用切線方程列出兩個方程求解a,b的值；第二步（1）利用導數(shù)的符號與單調性的關系，把單調性問題轉化為恒成立問題進而轉化為求最值的問題進行解決；（2）利用函數(shù)圖像的中心對稱，得兩個封閉圖形的面積總是相等的.【規(guī)范解答】(1)由，及題設得 （2）由得，是上的增函數(shù)，在上恒成立，設，即不等式在上恒成立.當時，不等式在上恒成立；當時，不等式，因為，所以函數(shù)在上單調遞增；因此，又，故，綜上所述，m的最大值為3；由得，其圖像關于點成中心對稱.證明如下：，因此，上式表明，若點為函數(shù)的圖像上的任意一點，則點也一定在函數(shù)的圖像上，而線段的中點恒為，由此即知函數(shù)的圖像關于點成中心對稱.這也表明，存在點，使得過點的直線若能與函數(shù)的圖像圍成兩個封閉的圖形，則這兩個封閉的圖形的面積總相等.【方法技巧】函數(shù)導數(shù)的內容在歷年高考中主要集中在切線方程、導數(shù)的計算，利用函數(shù)判斷函數(shù)單調性、極值、最值等問題，以及與不等式、三角函數(shù)、數(shù)列、立體幾何、解析幾何等知識相聯(lián)系的綜合題目，類型有交點個數(shù)、恒成立問題等,其中滲透并充分利用構造函數(shù)、分類討論、轉化與化歸、數(shù)形結合等重要的思想方法，主要考查導數(shù)的工具性作用.27.（20xx·山東高考理科·22）已知函數(shù).(1)當時，討論的單調性；（2）設當時，若對任意，存在，使，求實數(shù)的取值范圍.【命題立意】本題將導數(shù)、二次函數(shù)、不等式知識有機地結合在一起，考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、利用導數(shù)求函數(shù)的最值以及二次函數(shù)的最值問題，考查了同學們分類討論的數(shù)學思想以及解不等式的能力；考查了學生綜合運用所學知識分析問題、解決問題的能力.【思路點撥】（1）直接利用函數(shù)單調性與導數(shù)的關系討論函數(shù)的單調性,同時應注意分類標準的選擇；（2）利用導數(shù)求出的最小值、利用二次函數(shù)知識或分離常數(shù)法求出在閉區(qū)間1,2上的最大值，然后解不等式求參數(shù).【規(guī)范解答】（1）因為， 所以， 令，. 當時， 所以當，函數(shù)單調遞減； 當時，此時，函數(shù)單調遞增. 當時，由， 即 ，解得 ,時，此時，函數(shù)單調遞減；時，此時，函數(shù)單調遞增；時，此時，函數(shù)單調遞減.(iii)當時，由于, 時，此時，函數(shù)單調遞減；時，此時，函數(shù)單調遞增 綜上所述： 當時，函數(shù)在（0,1）上單調遞減； 函數(shù)在上單調遞增； 當時，函數(shù)在上單調遞減； 當時，函數(shù)在（0,1）上單調遞減； 函數(shù)在上單調遞增； 函數(shù)在上單調遞減.（2）因為，由（1）知，當時， 函數(shù)單調遞減；當時，函數(shù)單調遞增，所以在 （0 , 2）上的最小值為， 由于“對任意，存在，使”等價于 “在上的最小值不大于在（0 ，2）上的最小值” 【方法技巧】1、分類討論的原因(1)某些概念、性質、法則、公式分類定義或分類給出；(2)數(shù)的運算：如除法運算中除式不為零，在實數(shù)集內偶次方根的被開方數(shù)為非負數(shù)，對數(shù)中真數(shù)與底數(shù)的要求，不等式兩邊同乘以一個正數(shù)還是負數(shù)等；(3)含參數(shù)的函數(shù)、方程、不等式等問題，由參數(shù)值的不同而導致結果發(fā)生改變；(4)在研究幾何問題時，由于圖形的變化(圖形位置不確定或形狀不確定)，引起問題的結果有多種可能.2、分類討論的原則(1)要有明確的分類標準；(2)對討論對象分類時要不重復、不遺漏；(3)當討論的對象不止一種時，應分層次進行.3、分類討論的一般步驟(1)明確討論對象，確定對象的范圍；(2)確定統(tǒng)一的分類標準，進行合理分類，做到不重不漏；(3)逐段逐類討論，獲得階段性結果；(4)歸納總結，得出結論.28.（20xx ·海南高考理科·T21）設函數(shù)=.（1)若,求的單調區(qū)間;（2）若當時，求的取值范圍.【命題立意】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，最值問題，【思路點撥】利用導數(shù)求出函數(shù)的單調區(qū)間，然后再利用單調性求參數(shù)的取值.【規(guī)范解答】（1) 時，.當時，；當時，故的單增區(qū)間為，單減區(qū)間為.（2）.由（1)知，當且僅當時等號成立，故，從而當，即時，而，于是，當時.由可得，從而，當時，故當時，而，所以當時，綜上可知，實數(shù)的取值范圍為.【方法技巧】利用導數(shù)求出函數(shù)的單調區(qū)間，再利用函數(shù)的單調性，列出參數(shù)需滿足的不等式（組）進行相關的計算.29.（20xx·福建高考理科·20）(1)已知函數(shù)f(x)=x3-x，其圖像記為曲線C. 求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間； 證明：若對于任意非零實數(shù)x1，曲線C與其在點P1（x1,f(x1）)處的切線交于另一點P2（x2,f(x2)）.曲線C與其在點P2處的切線交于另一點P3 （x3,f(x3)），線段P1P2,P2P3與曲線C所圍成封閉圖形的面積分別記為S1,S2，則為定值.（2）對于一般的三次函數(shù)g（x）=ax3+bx2+cx+d(a0)，請給出類似于(1) 的正確命題，并予以證明.【命題立意】本小題主要考查函數(shù)、導數(shù)、定積分等基礎知識，考查抽象概括、推理論證、運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結合思想、化歸轉化思想、特殊與一般的思想.【思路點撥】第一步（1）利用導數(shù)求解函數(shù)的單調區(qū)間，（2）利用導數(shù)求解切線的斜率，寫出切線方程，并利用定積分求解及其比值；第二步利用合情推理的方法對問題進行推廣得到相關命題，并利用平移的方法進行證明.【規(guī)范解答】（1) ，令得到，令得，因此原函數(shù)的單調遞增區(qū)間為）和(；單調遞減區(qū)間為；，因此過點的切線方程為：，即，由得，所以或，故，進而有，用代替，重復上面的計算，可得和，又，因此有.（2）命題:若對于任意函數(shù)的圖像為曲線，其類似于(1) 的命題為：若對任意不等于的實數(shù)，曲線與其在點處的切線交于另一點，曲線與其在點處的切線交于另外一點，線段、與曲線所圍成圖形的面積為，則.證明:對于曲線，無論如何平移，其要求面積值是恒定的，所以這里僅考慮的情形，因此過點的切線方程為：化簡：得到所以同樣運用(1)中的方法便可以得到， 所以.【方法技巧】函數(shù)、導數(shù)的內容在歷屆高考中主要考查切線方程、導數(shù)的計算，利用導數(shù)判斷函數(shù)單調性、極值、最值等問題，試題還與不等式、三角函數(shù)、數(shù)列、立體幾何、解不等式等知識聯(lián)系，類型有交點個數(shù)、恒成立問題等,其中滲透并充分利用構造函數(shù)、分類討論、轉化與化歸、數(shù)形結合等重要的思想方法，主要考查導數(shù)的工具性作用.