新課標(biāo)高考數(shù)學(xué) 總復(fù)習(xí)：考點(diǎn)19點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系含解析

考點(diǎn)19 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 1.（20xx山東高考理科3）在空間，下列命題正確的是（ ）（A）平行直線的平行投影重合（B）平行于同一直線的兩個平面平行（C）垂直于同一平面的兩個平面平行（D）垂直于同一平面的兩條直線平行【命題立意】 本題考查空間直線與平面的位置關(guān)系及線面垂直與平行的判定與性質(zhì)，考查了考生的空間想象能力、推理論證能力.【思路點(diǎn)撥】 可利用特殊圖形進(jìn)行排除.【規(guī)范解答】選D.在正方體中，但它們在底面上的投影仍平行，故A選項(xiàng)不正確；平面與平面都平行于直線，但平面與平面相交，故B選項(xiàng)不正確；平面與平面都垂直于平面，但平面與平面相交，故C選項(xiàng)不正確；而由空間直線與平面的位置關(guān)系及線面垂直與平行的判定與性質(zhì)定理可以證明選項(xiàng)D正確.2.（20xx浙江高考理科6）設(shè)，是兩條不同的直線，是一個平面，則下列命題正確的是（ ）（A）若，則 （B）若，則（C）若，則 （D）若，則【命題立意】本題考查空間中的線線、線面位置關(guān)系，考查空間想象能力.【思路點(diǎn)撥】利用線面平行、線面垂直的判定定理.【規(guī)范解答】選B.如圖（1），選項(xiàng)A不正確；如圖（2），選項(xiàng)B正確；如圖（3）選項(xiàng)C不正確；如圖（4）選項(xiàng)D不正確.3.（20xx福建高考理科6）如圖，若是長方體被平面EFCH截去幾何體后得到的幾何體，其中E為線段上異于的點(diǎn)，F(xiàn)為線段上異于的點(diǎn)，且EH/，則下列結(jié)論中不正確的是（ ）(A)EH/FG (B)四邊形EFGH是矩形 (C)是棱柱 (D)是棱臺【命題立意】本題考查考生對立體幾何體的理解程度、空間想像能力.靈活，全面地考查了考生對知識的理解.【規(guī)范解答】選D，若FG不平行于EH，則FG與EH相交，交點(diǎn)必然在B1C1上，而EH平行于B1C1，矛盾，所以FG/EH；由面，得到，可以得到四邊形EFGH為矩形，將從正面看過去，就知道是一個五棱柱，C正確；D沒能正確理解棱臺與這個圖形. 【方法技巧】線線平行，線面平行，面面平行是空間中的三種重要的平行關(guān)系，他們之間可以進(jìn)行相互的轉(zhuǎn)化，他們之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系就是我們學(xué)習(xí)的判定定理和性質(zhì)定理，我們要熟練掌握這些定理并利用這些定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化.我們以上面的題目進(jìn)行變式訓(xùn)練：（1）證明：/平面.（2）若E,F分別為A1B1，B1B的中點(diǎn)，證明：平面/平面.證明：(1) 在長方體ABCD-A1B1C1D1中，又，又平面，所以平面； (2) E,F分別為的中點(diǎn)，又EH/A1D1，平面平面；4.（20xx廣東高考理科18）如圖，是半徑為a的半圓，AC為直徑，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，點(diǎn)B和點(diǎn)C為線段AD的三等分點(diǎn).平面AEC外一點(diǎn)F滿足FB=FD=a，F(xiàn)E=a (1)證明：EBFD.(2)已知點(diǎn)Q,R分別為線段FE,FB上的點(diǎn)，使得FQ=FE,FR=FB,求平面BED與平面RQD所成二面角的正弦值.【命題立意】本題考察空間點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系以及空間幾何體的相關(guān)計算.【思路點(diǎn)撥】（1）點(diǎn)E為的中點(diǎn)，B為AC的中點(diǎn)，AC為直徑是直角三角形，又面 EBFD.(2)作出二面角的棱證明為所求二面角的平面角求，sinRBD【規(guī)范解答】（1）連結(jié),CE.因?yàn)槭前霃綖閍的半圓，為直徑，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，B為AC中點(diǎn)，所以，在中，在中，所以是等腰三角形，且點(diǎn)是底邊的中點(diǎn)，所以在RtECF中， 在中，所以是直角三角形，所以.由，且，所以面，又 面，所以，所以平面，而平面，所以（2）過點(diǎn)作， FQ=FE,FR=FB， ， ， 與共面且與共面， 為平面BED與平面RQD所成二面角的棱.由（1）知，平面， 平面，而平面，平面， ，是平面BED與平面RQD所成二面角的平面角.在中， ， =.由余弦定理得：， 又由正弦定理得： ，即 所以平面BED與平面RQD所成二面角的正弦值為【方法技巧】求無棱二面角，往往需先作出二面角的棱，并證明之，然后再作（證）二面角的平面角.5.（20xx浙江高考文科20）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=2BC，ABC=120.E為線段AB的中點(diǎn)，將ADE沿直線DE翻折成ADE，使平面ADE平面BCD，F(xiàn)為線段AC的中點(diǎn).（）求證：BF平面ADE；（）設(shè)M為線段DE的中點(diǎn)，求直線FM與平面ADE所成角的余弦值.【命題立意】本題主要考查空間線線、線面、面面位置關(guān)系，線面角等基礎(chǔ)知識，同時考查空間想象能力和推理論證能力.【思路點(diǎn)撥】（1）可以在面內(nèi)找一條直線與BF平行，從而證明線面平行；（2）求線面角的關(guān)鍵是找到對應(yīng)的平面角.【規(guī)范解答】 ()取AD的中點(diǎn)G，連結(jié)GF，CE，EG,由條件易知FGCD，F(xiàn)G=CD. BECD,BECD.所以FGBE,FG=BE. 故四邊形BEGF為平行四邊形, 所以BFEG,因?yàn)槠矫妫珺F平面，所以 BF/平面.（）在平行四邊形ABCD中，設(shè)BC=a，則AB=CD=2a, AD=AE=EB=a, 連結(jié)CE,AM.因?yàn)?20，在BCE中，可得CE=a, 在ADE中，可得DE =a,在CDE中，因?yàn)镃D 2=CE 2+DE 2，所以CEDE,在正三角形ADE中，M為DE中點(diǎn)，所以AMDE.由平面ADE平面BCD,可知AM平面BCD, AMCE.取AE的中點(diǎn)N，連結(jié)NM，NF，所以NFDE,NFAM.因?yàn)镈EAM = M, 所以NF平面ADE,則FMN為直線FM與平面ADE所成的角.在RtFMN中，NF=a, MN=a, FM=a,則cos=.所以直線FM與平面ADE所成角的余弦值為.【方法技巧】找線面所成角時，可適當(dāng)?shù)淖饕粭l面的垂線，從而把線面角轉(zhuǎn)化為線線夾角.6.（20xx陜西高考文科8）如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F(xiàn)分別是PB,PC的中點(diǎn).(1)證明：EF平面PAD；(2)求三棱錐EABC的體積V.【命題立意】本題考查了空間幾何體的的線線、線面平行及線面垂直、以及幾何體的體積計算問題，考查了考生的空間想象能力以及空間思維能力.【思路點(diǎn)撥】（1）E，F(xiàn)分別是PB,PC的中點(diǎn). EFBC EFAD 結(jié)論；（2）EGPA交AB于點(diǎn)G EG平面ABCD EG=PA VE-ABC.【規(guī)范解答】 (1)在PBC中，E，F(xiàn)分別是PB，PC的中點(diǎn)，EFBC.又BCAD,EFAD,又AD平面PAD,EF平面PAD,EF平面PAD.(2)連接AE,AC,EC,過E作EGPA交AB于點(diǎn)G,則EG平面ABCD，EG=PA.在PAB中，AP=AB,PAB=90,BP=2,AP=AB=,EG=.SABC=ABBC=2=,VE-ABC=SABCEG=.7.（20xx北京高考理科6）如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，CEAC,EFAC,AB=，CE=EF=1.（1）求證：AF平面BDE；（2）求證：CF平面BDE；（3）求二面角A-BE-D的大小. 【命題立意】本題考查了線面平行、線面垂直及二面角的求法.一般的，運(yùn)用幾何法（方法一）對空間想象能力，空間運(yùn)算能力要求較高，關(guān)鍵是尋找二面角的平面角；運(yùn)用向量法（方法二）思路簡單，但運(yùn)算量較大，熟練掌握向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積是解決問題的關(guān)鍵.【思路點(diǎn)撥】解決立體幾何問題一般有兩種方法：幾何法與向量法.幾何法：（1）證明AF與平面BDE內(nèi)的某條線平行；（2）證明CF垂直于平面BDE內(nèi)的兩條相交直線；（3）由第（2）問的結(jié)論，可過A作一直線與CF平行，從而垂直于平面BDE，找到二面角的平面角.向量法：利用三個垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的垂直和數(shù)量積求二面角的大小.【規(guī)范解答】方法一： （1） 設(shè)AC與BD交于點(diǎn)G.因?yàn)镋F/AG，且EF=1，AG=AC=1.所以四邊形AGEF為平行四邊形. 所以AF/EG，因?yàn)槠矫鍮DE，AF平面BDE，所以AF/平面BDE.(2)連接FG，四邊形CEFG為平行四邊形，又， CEFG為菱形，.在正方形ABCD中，.正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，BD ，又，.（3）設(shè)EG交FC于點(diǎn)K，在平面ACEF內(nèi)，過A作，垂足為H，連接HB，則AH/CF.AH平面BDE，.又面ABCD面ACEF，CEAC，面ABCD，.又，面BCE，.面ABH.為所求的二面角A-BE-D的平面角.由得，為銳角，.方法二：（1）因?yàn)檎叫蜛BCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，且CEAC，所以CE平面ABCD.如圖，以C為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則C（0，0，0），B（0，0），所以，.設(shè)為平面BDE的法向量，則，即，令，得，.，又平面BDE，AF/平面BDE.（2）由（1）知，所以,，所以,.又因?yàn)?，所以平面BDE.(3)設(shè)平面ABE的法向量, 由（I）知=，則，.即所以且令則. 所以. 從而.所以. 因?yàn)槎娼菫殇J角， 所以二面角的大小為.8.（20xx福建高考文科20）如圖，在長方體ABCD A1B1C1D1中，E，H分別是棱A1B1,D1C1上的點(diǎn)（點(diǎn)E與B1不重合），且EH/A1D1.過EH的平面與棱BB1,CC1相交，交點(diǎn)分別為F，G. （I）證明：AD/平面EFGH； （II）設(shè)AB=2AA1=2a.在長方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn)，記該點(diǎn)取自于幾何體A1ABFED1DCGH內(nèi)的概率為P.當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別在棱A1B1, B1B上運(yùn)動且滿足EF=a時，求P的最小值.【命題立意】本題主要考查直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系，以及幾何體的體積、幾何概型等基礎(chǔ)知識；考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力；考查函數(shù)方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等. 【思路點(diǎn)撥】第一步由線線平行得到線面平行；第二步首先求出長方體以及三棱柱EB1F-HC1G的體積，并求解三棱柱的體積的最大值，然后利用體積比計算出幾何概率，最后得解. 【規(guī)范解答】 ( I ) 在長方體ABCD-A1B1C1D1中，又，又平面，所以平面.（II）設(shè)，則長方體ABCD-A1B1C1D1的體積，幾何體的體積，又，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，從而，故Pmin，此時，所以的最小值等于.【方法技巧】立體幾何中的證明問題，一定要把條件寫完整了，保證邏輯合理，如：本題一定要寫出“平”.9.（20xx 海南寧夏高考理科T18）如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為等腰梯形，ABCD,BD垂足為H,PH是四棱錐的高，E為AD中點(diǎn). （)證明：PEBC（）若=60，求直線PA與平面PEH所成角的正弦值.【命題立意】本題主要考查了利用向量法解決立體幾何中證明位置關(guān)系求夾角等問題.【思路點(diǎn)撥】建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行計算.【規(guī)范解答】如圖，以為原點(diǎn)， 分別為軸，線段的長為單位長， 建立空間直角坐標(biāo)系，則 （）設(shè) ,，（）由已知條件可得 ， 設(shè) z)為平面的法向量，因此可以取，由，可得 ，所以直線與平面所成角的正弦值為.10.（20xx江蘇高考6）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，ABDC，BCD=900.求證：PCBC.求點(diǎn)A到平面PBC的距離.【命題立意】本題主要考查直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，考查幾何體的體積，考查空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算能力.【思路點(diǎn)撥】（1）可證明BC與PC所在的某一個平面垂直.（2）點(diǎn)A到平面PBC的距離是點(diǎn)D到平面PBC的距離的2倍.【規(guī)范解答】（1）因?yàn)镻D平面ABCD，BC平面ABCD，所以PDBC.由BCD=90，得CDBC，又PDDC=D，PD，DC平面PCD，所以BC平面PCD.因?yàn)镻C平面PCD，故PCBC.（2）分別取AB，PC的中點(diǎn)E，F(xiàn)，連DE，DF，則易證DECB，DE平面PBC，點(diǎn)D，E到平面PBC的距離相等.又點(diǎn)A到平面PBC的距離等于點(diǎn)E到平面PBC的距離的2倍.由（1）知：BC平面PCD，所以平面PBC平面PCD，且平面PBC平面PCD=PC，因?yàn)镻D=DC，PF=FC，所以DFPC，所以DF平面PBC.易知DF=，故點(diǎn)A到平面PBC的距離為.【方法技巧】一個幾何體無論怎樣轉(zhuǎn)動，其體積是不變的.如果一個幾何體的底面積和高較難求解時，我們可考慮利用等體積法求解.等體積法也稱等積轉(zhuǎn)換或等積變形，它是通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，多用來解決有關(guān)錐體的體積，把底面積和高的求解轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系清晰的底面及其對應(yīng)的高，減少運(yùn)算量，這也是轉(zhuǎn)化與化歸思想在立體幾何中的具體體現(xiàn).本題也可利用等體積法求解：連結(jié)AC.設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距離為h.因?yàn)锳BDC，BCD=900，所以ABC=900.又AB=2，BC=1，得的面積.由PD平面ABCD及PD=1，得三棱錐P-ABC的體積.因?yàn)镻D平面ABCD，DC平面ABCD，所以PDDC.又PD=DC=1，所以.由PCBC，BC=1，得的面積.由，得，故點(diǎn)A到平面PBC的距離等于.11.（20xx遼寧高考文科19） 如圖，棱柱ABCA1B1C1的側(cè)面BCC1B1是菱形，B1CA1B.()證明：平面AB1C平面A1BC1;（)設(shè)D是A1C1上的點(diǎn)，且A1B平面B1CD，求A1D:DC1的值. 【命題立意】本題考查了空間幾何體的線面垂直與面面垂直、以及幾何體的計算問題，考查了考生的空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力. 【思路點(diǎn)撥】（I）先證明B1C平面A1BC1.再證明平面AB1C平面A1BC1. （II）利用線面平行的性質(zhì)，得到線線平行，進(jìn)而可解. 【規(guī)范解答】（I）【方法技巧】1、證明面面垂直，一般通過證明一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，為此分析題設(shè)，觀察圖形找到是哪條直線和哪個平面垂直.2、證明直線和平面垂直，就是要證明這條直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，這一點(diǎn)在解題時一定要體現(xiàn)出來，如本題中強(qiáng)調(diào)了A1BBC1B.12.（20xx山東高考文科20）在如圖所示的幾何體中，四邊形是正方形，平面，分別為，的中點(diǎn)，且.（1）求證：平面平面.（2）求三棱錐與四棱錐的體積之比.【命題立意】本題主要考查空間中的線面關(guān)系和面面關(guān)系.考查線面垂直，面面垂直的判定及幾何體積的計算，考查了考生的識圖能力、空間想象能力和邏輯思維能力. 【思路點(diǎn)撥】(1)先證明，再由可證平面平面.（2）求三棱錐的體積關(guān)鍵是求點(diǎn)P到的距離，由可將該距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)D到的距離. 【規(guī)范解答】（1），,所以.又BC平面ABCD，所以.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以.又，因此.在中，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn),所以，因此.又,所以.(2)因?yàn)椋倪呅蜛BCD為正方形，不妨設(shè)MA=1，則 PD=AD=2,所以，由題易知,所以 DA即為點(diǎn)P到平面MAB的距離.三棱錐，所以：.13.（20xx天津高考文科9）如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ADEF是正方形，F(xiàn)A平面ABCD，BCAD，CD=1，AD=，BADCDA45.（1）求異面直線CE與AF所成角的余弦值. （2）證明CD平面ABF.（3）求二面角B-EF-A的正切值.【命題立意】本小題主要考查異面直線所成的角、直線與平面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力，運(yùn)算能力和推理論證能力.【思路點(diǎn)撥】（1）CED即為異面直線CE與AF所成的角.（2）證明CD垂直于兩條相交直線AB，F(xiàn)A.（3）做輔助線構(gòu)造二面角的平面角.【規(guī)范解答】(1)因?yàn)樗倪呅蜛DEF是正方形，所以FA/ED.故為異面直線CE與AF所成的角.因?yàn)镕A平面ABCD，所以FACD.故EDCD.在RtCDE中，CD=1，ED=，CE=3,故cos=.所以異面直線CE與AF所成角的余弦值為.(2)過點(diǎn)B作BG/CD,交AD于點(diǎn)G，則.由,可得BGAB,從而CDAB,又CDFA,FAAB=A,所以CD平面ABF.(3)由（2）及已知，可得AG=，即G為AD的中點(diǎn).取EF的中點(diǎn)N，連接GN，則GNEF,因?yàn)锽C/AD,所以BC/EF.過點(diǎn)N作NMEF，交BC于M，則為二面角B-EF-A的平面角.連接GM，可得AD平面GNM,故ADGM.從而BCGM.由已知，可得GM平面MAB.由NG/FA,FAGM,得NGGM.在RtNGM中，tan,所以二面角B-EF-A的正切值為.14.（20xx廣東高考文科18）如圖，是半徑為的半圓，為直徑，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)為線段的三等分點(diǎn)，平面外一點(diǎn)滿足平面，=. （1）證明：；（2）求點(diǎn)到平面的距離.【命題立意】本題考察空間點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系以及空間幾何體的相關(guān)計算.【思路點(diǎn)撥】(1) , 又點(diǎn)為的中點(diǎn) （2）利用求解.【規(guī)范解答】(1) FC平面，平面， ， 又 點(diǎn)為 的中點(diǎn)，B為AC中點(diǎn)， ，且， ，平面， 平面， 又 平面， （2） 由（1）得， ， ， 又 點(diǎn)和點(diǎn)為線段的三等分點(diǎn)， ， ， ， 取的中點(diǎn)，連接，則， ， 又 ，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由得： ，即 ，解得： ，即點(diǎn)到平面的距離為【方法技巧】立體幾何中求點(diǎn)到平面的距離，通常用等體積法.15.（20xx湖南高考文科18）如圖所示，在長方體中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中點(diǎn)（1）求異面直線A1M和C1D1所成的角的正切值，（2）證明：平面ABM平面A1B1M【命題立意】以非常簡單常見的長方體為載體，考查空間線線的定量和面面的定性關(guān)系.【思路點(diǎn)撥】異面直線所成的角關(guān)鍵是平移直線構(gòu)成三角形，再解三角形.面面垂直的證明關(guān)鍵是在一個平面內(nèi)找一條直線垂直于另一個平面.【規(guī)范解答】(1) 如圖，C1D1B1A1，MA1B1為異面直線A1M與C1D1所成的角. A1B1平面BCC1B1,A1B1M=90. 而A1B1=1，故 . 即異面直線A1M和C1D1所成的角的正切值為. (2) 由A1B1平面BCC1B1，平面，得A1B1BM 又，,從而BMB1M 又A1B1B1M=B1，再由，得 BM平面A1B1M，而平面，因此平面ABM平面A1B1M.【方法技巧】(1)求異面直線所成的角關(guān)鍵是平移一條直線，或者是找一條直線和其中一條直線平行而和另一條直線相交，找直線的技巧是中點(diǎn)對中點(diǎn)，產(chǎn)生中位線，引出平行，也可以取連接兩條異面直線的線段的中點(diǎn)，再把這些中點(diǎn)連成線段. (2)證明面面垂直關(guān)鍵在一個平面內(nèi)找一條直線垂直于另一個平面，在證明一條直線垂直另一個平面時常常轉(zhuǎn)化為證明這條直線垂直另一個平面內(nèi)兩條相交直線.證明直線垂直直線常常有兩種情況：一是相交垂直，常可以計算，也可以定性證明，二是異面垂直，異面垂直常轉(zhuǎn)化射影垂直，即把其中一條直線放在一個平面上，找到另一條直線在這個平面上的射影，再證明一條直線垂直于射影即可.