新課標高考數(shù)學 考點專練9正弦定理和余弦定理

考點9 正弦定理和余弦定理 1.（20xx天津高考理科7）在ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c，若，則A=( )【命題立意】考查三角形的有關(guān)性質(zhì)、正弦定理、余弦定理以及分析問題、解決問題的能力.【思路點撥】根據(jù)正、余弦定理將邊角互化.【規(guī)范解答】選A.根據(jù)正弦定理及得：.，【方法技巧】根據(jù)所給邊角關(guān)系，選擇使用正弦定理或余弦定理，將三角形的邊轉(zhuǎn)化為角.2.（20xx北京高考文科7）某班設(shè)計了一個八邊形的班徽（如圖），它由腰長為1，頂角為的四個等腰三角形，及其底邊構(gòu)成的正方形所組成，該八邊形的面積為( )（A） （B）（C） （D）【命題立意】本題考查解三角形的相關(guān)知識，用到了面積公式、余弦定理等知識.【思路點撥】在等腰三角形中利用余弦定理求出底邊，從而班徽的面積等于四個等腰三角形的面積與正方形的面積之和.【規(guī)范解答】選A.等腰三角形的底邊長為.所以班徽的面積為.3.（20xx湖南高考理科4）在ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a,b,c，若C=120，,則（ ）(A)a>b (B)a<b (C)a=b (D)a與b的大小關(guān)系不能確定【命題立意】以三角形為依托，以余弦定理為明線，以方程的解為暗線考查學生運用知識和等價轉(zhuǎn)化的能力.【思路點撥】由余弦定理得到邊的二元等量關(guān)系，然后從方程的角度消元求解.【規(guī)范解答】選A.C=120，2a2=a2+b2-2abcos120，a2=b2+ab，（）2+-1=0，= <1，b<a. 【方法技巧】三角形是最簡單的平面圖形，是中學數(shù)學所學知識最多的圖形，在高考中是重點.常常考查邊角關(guān)系，余弦定理和正弦定理，常常結(jié)合不等式和方程來解,尤其是均值不等式的考查.4.（20xx北京高考理科0）在ABC中，若b = 1，c =，則a= .【命題立意】本題考查利用三角形中的余弦定理求解.【思路點撥】對利用余弦定理，通過解方程可解出.【規(guī)范解答】由余弦定理得，即，解得或（舍）.【答案】1【方法技巧】已知兩邊及一角求另一邊時，用余弦定理比較好.5.（20xx廣東高考理科11）已知a,b,c分別是ABC的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊，若a=1,b=, A+C=2B,則sinC= .【命題立意】本題考查正弦定理在解三角形中的應用.【思路點撥】由已知條件求出，的大小，再求出，從而求出【規(guī)范解答】由A+C=2B及得，由正弦定理得，得，由知，所以，所以【答案】16.（20xx山東高考理科15）在中，角所對的邊分別為a，b，c，若，則角的大小為 【命題立意】本題考查了三角恒等變換、已知三角函數(shù)值求角以及正弦定理，考查了考生的推理論證能力和運算求解能力. 【思路點撥】先根據(jù)求出B，再利用正弦定理求出，最后求出A. 【規(guī)范解答】由，得，即，因為，所以，又因為，所以在中，由正弦定理得：，解得，又，所以，所以.【答案】30或7.（20xx江蘇高考13）在銳角三角形ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若，則的值是_.【命題立意】考查三角形中的正、余弦定理以及三角函數(shù)知識的應用，等價轉(zhuǎn)化思想.【思路點撥】對條件采用角化邊，對采用切化弦并結(jié)合正弦定理解決.【規(guī)范解答】，.，由正弦定理得，上式 .【答案】4【方法技巧】上述解法采用了解決三角形問題的通性通法，即利用正弦定理和余弦定理靈活實現(xiàn)邊角互化.本題若考慮到已知條件和所求結(jié)論對于角A、B和邊a、b具有輪換性，可采用以下方法解決：當A=B或a=b時滿足題意，此時有：，= 4.8.（20xx遼寧高考文科17）在ABC中，a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對邊，且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC.()求A的大小.（）若sinB +sinC=1,試判斷ABC的形狀.【命題立意】本題考查了正弦定理、余弦定理和考生的運算求解能力.【思路點撥】(I)根據(jù)正弦定理將已知條件中角的正弦化成邊，得到邊的關(guān)系，再由余弦定理求角.(II)利用（I）的結(jié)論，求出角B(或角C)，判斷三角形的形狀.【規(guī)范解答】【方法技巧】(1)利用正弦定理，實現(xiàn)角的正弦化為邊時只能是用a替換sinA，用b替換sinB,用c替換sinC.sinA,sinB,sinC的次數(shù)要相等，各項要同時替換，反之，用角的正弦替換邊時也要這樣，不能只替換一部分.(2)以三角形為背景的題目，要注意三角形的內(nèi)角和定理的使用,如本例中B+C60.9.（20xx浙江高考文科18）在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a,b,c,設(shè)S為ABC的面積，滿足.（）求角C的大小.（）求的最大值.【命題立意】解析本題主要利用余弦定理、三角形面積公式、三角變換等基礎(chǔ)知識，同時考查考生的運算求解能力.【思路點撥】利用面積公式求角C，然后利用三角形的內(nèi)角和定理及兩角和的正弦公式化簡，求最值.【規(guī)范解答】()由題意可知absinC2abcosC， 所以tanC.因為0<C<，所以C.（)由已知sinA+sinB = sinA+sin(-C-A)sinA+sin(-A)sinA+cosA+sinAsin(A+).當A，即ABC為正三角形時取等號，所以sinA+sinB的最大值是.【方法技巧】求時，利用，轉(zhuǎn)化為求關(guān)于角A的三角函數(shù)的最值問題.10.（20xx遼寧高考理科17）在ABC中，a, b, c分別為內(nèi)角A, B, C的對邊，且（）求A的大小.（）求的最大值.【命題立意】考查了正弦定理、余弦定理、三角函數(shù)的恒等變換及三角函數(shù)的最值.【思路點撥】（I）根據(jù)正弦定理將已知條件中角的正弦化成邊，得到邊的關(guān)系，再由余弦定理求角.（II）由（I）知角C60-B，代入sinB+sinC中，看作關(guān)于角B的函數(shù)，進而求出最值.【規(guī)范解答】（）由已知，根據(jù)正弦定理得，即，由余弦定理得，故 ，又0<A<180，A=120. （）由（）得： 故當B30時，sinB+sinC取得最大值1.【方法技巧】(1)利用正弦定理，實現(xiàn)角的正弦化為邊時只能是用a替換sinA，用b替換sinB,用c替換sinC.sinA, sinB,sinC的次數(shù)要相等，各項要同時替換，反之，用角的正弦替換邊時也要這樣，不能只替換一部分.(2)以三角形為背景的題目，要注意三角形的內(nèi)角和定理的使用，如本例中B+C60.11.（20xx浙江高考理科18）在ABC中,角A，B，C所對的邊分別為a,b,c，已知， (I)求sinC的值()當a=2， 2sinA=sinC時，求b及c的長 【命題立意】本題主要考查三角變換、正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識，同時考查考生的運算求解能力. 【思路點撥】利用二倍角余弦公式求的值，再利用正弦定理求，利用余弦定理求. 【規(guī)范解答】（）因為cos2C=1-2sin2C=及0C，所以sinC=.（）當a=2，2sinA=sinC時，由正弦定理，得c=4.由cos2C=2cos2C-1=及0C，得cosC=，由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，b2b-12=0，解得b=或2.所以