新課標高考數(shù)學 考點專練20空間向量

考點20 空間向量 1.（20xx廣東高考理科0）若向量=（1,1,x）, =(1,2,1), =(1,1,1),滿足條件=-2,則= .【命題立意】本題考查空間向量的坐標運算及向量的數(shù)量積運算.【思路點撥】 先算出，再由向量的數(shù)量積列出方程，從而求出【規(guī)范解答】，由，得，即，解得【答案】22.（20xx浙江高考理科20）如圖， 在矩形中，點分別在線段上，.沿直線將 翻折成，使平面. （）求二面角的余弦值.（）點分別在線段上，若沿直線將四邊形向上翻折，使與重合，求線段的長. 【命題立意】本題主要考查空間點、線、面位置關(guān)系，二面角等基礎(chǔ)知識，考查空間向量的應用，同時考查空間想象能力和運算求解能力. 【思路點撥】方法一利用垂直關(guān)系建立空間直角坐標系，利用空間向量解決問題；方法二利用幾何法解決求二面角問題和翻折問題. 【規(guī)范解答】方法一：（）取線段EF的中點H，連結(jié)，因為=及H是EF的中點，所以,又因為平面平面.如圖建立空間直角坐標系，則（2，2，），C（10，8，0），F(xiàn)（4，0，0），D（10，0，0）.故=（-2，2，2），=（6，0，0）.設=（x,y,z）為平面的一個法向量，所以取，得.又平面FDC的一個法向量，故.所以所求二面角的余弦值為.（）設，則， 因為翻折后，與重合，所以， 所以.方法二：（）取線段的中點,的中點,連結(jié). 因為=及是的中點，所以.又因為平面平面，所以平面,又平面,故.又因為，是，的中點，易知，所以，又GHAH=H,于是平面，所以為二面角A-FD-C的平面角，在中，=，=2，=，所以.故二面角A-FD-C的余弦值為.（）設, 因為翻折后，與重合，所以， 而， +，得，經(jīng)檢驗，此時點在線段上，所以.【方法技巧】(1)利用向量法解決立體幾何問題關(guān)鍵是建系，一般要找到三個互相垂直的直線建系，這種方法思路相對簡單，但計算量大.(2)翻折問題要找好在翻折的過程中變化的與不變化的量，注意點、線、面等元素間位置關(guān)系的變化.3.（20xx陜西高考理科8）如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，AP=AB=2， BC=，E，F(xiàn)分別是AD,PC的中點.（）證明：PC平面BEF.（）求平面BEF與平面BAP夾角的大小.【命題立意】本題考查了空間幾何體的的線線、線面垂直以及二面角的求解問題，考查了考生的空間想象能力、空間思維能力以及利用空間向量解決立體幾何問題的方法與技巧.【思路點撥】思路一：建立空間直角坐標系，利用空間向量求解；思路二：利用幾何法求解.【規(guī)范解答】方法一：（）如圖，以A為坐標原點，AB，AD，AP所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系.AP=AB=2， BC=，四邊形ABCD是矩形.A，B，C，D的坐標為A(0,0,0),B(2,0,0),C(2, ,0)，D(0，0)，P(0,0,2)又E，F(xiàn)分別是AD，PC的中點，E(0，0),F(1，1).=（2，-2）,=（-1，1）,=（1,0,1），=-2+4-2=0，=2+0-2=0，PCBF,PCEF, ,PC平面BEF,（II）由（I）知平面BEF的一個法向量平面BAP 的一個法向量 設平面BEF與平面BAP的夾角為，則45， 平面BEF與平面BAP的夾角為45.方法二：（I）連接PE，EC，在中，PA=AB=CD, AE=DE, PE= CE, 即PEC 是等腰三角形，又F是PC 的中點，EFPC, （）因為PA平面ABCD，所以PABC，又底面ABCD是矩形，所以ABBC，平面BAP，又PB平面BAP，又由（1）知平面BEF，直線PC與BC的夾角即為平面BEF與平面BAP的夾角；在PBC中，PB=BC,90,45，所以平面BEF與平面BAP的夾角為45.4.（20xx遼寧高考理科19）已知三棱錐PABC中，PA平面ABC，ABAC，PA=AC=AB，N為AB上一點，AB=4AN,M,S分別為PB,BC的中點.（）證明：CMSN.（）求SN與平面CMN所成角的大小.【命題立意】本題考查了空間幾何體的線面與面面垂直、線面角的求解以及幾何體的計算問題，考查了考生的空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力.【規(guī)范解答】設PA1，以A為原點，射線AB，AC，AP分別為x,y,z軸正方向建立空間直角坐標系，如圖.則P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M(1,0, )，N(,0,0)，S(1,0).（I）【方法技巧】（1）空間中證明線線、線面垂直，經(jīng)常用向量法. （2）求線面角往往轉(zhuǎn)化成直線的方向向量與平面的法向量的夾角問題來解決. （3）線面角的范圍是090，因此線面角是直線的方向向量與平面法向量的夾角的余弦的絕對值.AEFBCDHGAEFBCDH5.（20xx安徽高考理科18）如圖，在多面體中，四邊形是正方形，為的中點. (1)求證：平面.(2)求證：平面.(3)求二面角的大小.【命題立意】本題主要考查了空間幾何體的線面平行、線面垂直的證明、二面角的求解的問題，考查了考生的空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力. 【思路點撥】可以采用綜合法證明，亦可采用向量法證明. 【規(guī)范解答】綜合法證明如下：向量法證明如下：AEFBCDHGXYZ 【方法技巧】（1）證明線面平行通常轉(zhuǎn)化為證明直線與平面內(nèi)的一條直線平行.（2）證明線面垂直通常轉(zhuǎn)化為證明直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直.（3）確定二面角的大小，可以先構(gòu)造二面角的平面角，然后轉(zhuǎn)化到一個合適的三角形中進行求解.（4）以上立體幾何中的常見問題，也可以采用向量法建立空間直角坐標系，轉(zhuǎn)化為向量問題進行求解.應用向量法解題，思路簡單，易于操作，推薦使用.6.（20xx山東高考理科19）如圖，在五棱錐PABCDE中，PA平面ABCDE，ABCD，ACED，AEBC， ABC = 45，AB = 2，BC =2AE = 4，三角形PAB是等腰三角形（1）求證：平面PCD平面PAC（2）求直線PB與平面PCD所成角的大?。?）求四棱錐PACDE的體積【命題立意】本題考查了空間幾何體的線面與面面垂直、線面角的求解以及幾何體的計算問題，考查了考生的空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力.【思路點撥】(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，通過計算證明.(2)方法一：先證明AB平面，于是點B 到平面PCD的距離等于點A到平面PCD的距離，據(jù)此可求線面角；方法二：利用空間向量求線面角；(3)先判斷出四邊形ACDE的形狀，并求出其面積，再根據(jù)PA平面ABCDE，得四棱錐PACDE的高即為PA，從而可求體積.【規(guī)范解答】（1）因為ABC=45，AB=2，BC=4，所以在中，由余弦定理得：，解得，所以，即，又PA平面ABCDE，所以PA，又PA，所以，又ABCD，所以，又因為，所以平面PCD平面PAC，（2）方法一：由（1）知平面PCD平面PAC，所以在平面PAC內(nèi)，過點A作于H，則，又ABCD，AB平面內(nèi)，所以AB平面，所以點A到平面的距離等于點B到平面的距離.因為PAB是等腰三角形，所以PA = AB =2 ，因此PB = 4，在RtPAC中，PA =2，AC = 2，所以PC = 4，故PC邊上的高，此即為點A到平面PCD的距離，設直線PB與平面PCD所成角為，則又，所以即直線PB與平面PCD所成角的大小為.方法二：由(1)知AB，AC，AP兩兩相互垂直，分別以AB，AC，AP為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，由于PAB是等腰三角形，所以PA = AB =2 ，又AC = 2，因此A(0,0，0)，B(2，0,0)，C(0，2，0)，P(0,0，2)，因為，又ACED，所以四邊形ACDE是直角梯形，因為AE = 2，AEBC，所以BAE = 135，因此CAE = 45.故所以D(-，2，0).因此，設是平面PCD的一個法向量，則向量與平面PCD的法向量所成的角，則，所以因此直線PB與平面PCD所成角的大小為.（3）由（1）知，所以，又ACED，所以四邊形ACDE是直角梯形，因為AE = 2，ABC = 45，AEBC，所以BAE = 135，因此CAE = 45.故所以四邊形ACDE的面積為，又PA平面ABCDE，得四棱錐P ACDE的高為PA=，所以四棱錐P ACDE的體積為=.7.（20xx天津高考理科9）如圖，在長方體中，分別是棱,上的點，,.求異面直線與所成角的余弦值.證明：平面.求二面角的正弦值.【命題立意】本小題主要考查異面直線所成的角、直線與平面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識，考查用空間向量解決立體幾何問題的方法，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力.【思路點撥】建立空間直角坐標系或常規(guī)方法處理問題.【規(guī)范解答】方法一：以A為坐標原點，AB所在直線為X軸，AD所在直線為Y軸，AA1所在直線為z軸建立空間直角坐標系（如圖所示），設,依題意得,易得,，于是，所以異面直線與所成角的余弦值為.已知,，于是=0，=0.因此，,又，所以平面.(3)設平面的法向量，則不妨令X=1,可得由（2）可知，為平面的一個法向量.于是，從而，所以二面角的正弦值為，方法二：（1）設AB=1，可得AD=2,AA1=4,CF=1.CE=，連接B1C,BC1，設B1C與BC1交于點M,易知A1DB1C，由,可知EFBC1.故是異面直線EF與A1D所成的角，易知BM=CM=,所以 ,所以異面直線EF與A1D所成角的余弦值為.（2）連接AC，設AC與DE交點N 因為，所以，從而，又由于,所以，故ACDE,又因為CC1DE且，所以DE平面ACF，從而AFDE.連接BF，同理可證B1C平面ABF,從而AFB1C,所以AFA1D，又因為，所以AF平面A1ED.(3)連接A1N,FN,由（2）可知DE平面ACF,又NF平面ACF, A1N平面ACF，所以DENF,DEA1N,故為二面角A1-ED-F的平面角,易知，所以，又,所以，8.（20xx福建高考理科18）如圖，圓柱OO1內(nèi)有一個三棱柱ABC-A1B1C1,三棱柱的底面為圓柱底面的內(nèi)接三角形，且AB是圓O的直徑.（I）證明：平面A1ACC1平面B1BCC1.（II）設ABAA1,在圓柱OO1內(nèi)隨機選取一點，記該點取自三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)的概率為P.（i）當點C在圓周上運動時，求P的最大值；（ii）記平面A1ACC1與平面B1OC所成的角為（）,當p取最大值時，求cos的值.【命題立意】本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，以及幾何體的體積、幾何概型等基礎(chǔ)知識；考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力；考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、必然與或然思想.【思路點撥】第一步先由線線垂直得到線面垂直，再由線面垂直得到面面垂直；第二步首先求出長方體的體積，并求解三棱柱的體積的最大值，利用體積比計算出幾何概率.立體幾何中我們可以利用向量處理角度問題，立體幾何中涉及的角有：異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角等.關(guān)于角的計算，均可歸結(jié)為兩個向量的夾角.對于空間向量，有，利用這一結(jié)論，我們可以較方便地處理立體幾何中有關(guān)角的問題.【規(guī)范解答】 （I）平面，平面，又是的直徑，C，又，平面，而平面，所以平面平面；（II）（i）設圓柱的底面半徑為，則，故圓柱的體積為，設三棱柱ABC-A1B1C1的體積為，所以，所以當取得最大值時取得最大值.又因為點在圓周上運動，所以當時，的面積最大，進而，三棱柱ABC-A1B1C1的體積最大，且其最大值為，故的最大值為；（ii）由（i）知，取最大值時，于是，以為坐標原點，建立空間直角坐標系如圖，則平面，是平面的一個法向量，設平面的法向量為，則，令z=1,得x=0,y=-2,故，.【方法技巧】立體幾何中我們可以利用空間向量處理常見的問題，本題的（II）（i）也可以采用向量法進行證明：以為坐標原點，建立空間直角坐標系，設圓柱的底面半徑為， ，則，故圓柱的體積為，設三棱柱ABC-A1B1C1的體積為，所以，所以當取得最大值時取得最大值.，所以當時的的面積最大，進而，三棱柱ABC-A1B1C1的體積最大，且其最大值為，故的最大值為；9.（20xx安徽高考文科19）如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，AB=2EF=2，EFAB,EFFB,BFC=90，BF=FC,H為BC的中點，（1）求證：FH平面EDB.（2）求證：AC平面EDB. （3）求四面體BDEF的體積.【命題立意】本題主要考查了空間幾何體的線面平行、線面垂直的證明、體積的求解等問題，考查了考生的空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力. 【思路點撥】可以采用綜合法證明，亦可采用向量法證明.【規(guī)范解答】綜合法證明如下：方法一：，方法二：，點到的距離，又，即.向量法證明如下：AEFBCDHGXYZ【方法技巧】(1)證明線面平行通常轉(zhuǎn)化為證明直線與平面內(nèi)的一條直線平行.(2)證明線面垂直通常轉(zhuǎn)化為證明直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直.(3)求四面體的體積時，關(guān)鍵是選擇適當?shù)牡酌婧透哌M行求解.(4)以上立體幾何中的常見問題，也可以采用向量法建立空間直角坐標系，轉(zhuǎn)化為向量問題進行求解證明.應用向量法解題，思路簡單，易于操作，推薦使用.