新課標高考數(shù)學 總復習：考點24拋物線含解析

考點24 拋物線1.（20xx·福建高考理科·）以拋物線的焦點為圓心，且過坐標原點的圓的方程為（ ）【命題立意】本題考查學生對拋物線焦點的識記以及圓方程的求解.【思路點撥】的焦點為，求解圓方程時，確定了圓心與半徑即可.【規(guī)范解答】選D.拋物線的焦點為，又圓過原點，所以r，圓的方程為.【一題多解】方法一：（設圓的標準方程）拋物線的焦點為，圓心為.設圓的方程為，又圓過原點，所求圓的方程為，即為.方法二：（設圓的一般方程）設圓的方程為，拋物線的焦點為，圓心為，又圓過原點，所求圓的方程為 .2.（2010·陜西高考理科·8）已知拋物線y2=2px（p0）的準線與圓x2+y26 x7=0相切，則p的值為（ ）(A) (B) 1 (C) 2 (D) 4【命題立意】本題考查拋物線、圓等的基本概念與性質(zhì)，屬送分題.【思路點撥】y2=2px 準線 圓心到準線的距離等于半徑 求出p的值 【規(guī)范解答】選C.由y2=2px，得準線.圓x2+y26 x7=0可化為.由圓心到準線的距離等于半徑得：3.（20xx·遼寧高考理科·7）設拋物線y2=8x的焦點為F，準線為l,P為拋物線上一點,PAl,A為垂足如果直線AF的斜率為,那么|PF|=（ ） (A) (B)8 (C) (D) 16【命題立意】本題考查拋物線的定義，考查拋物線的準線方程，考查兩點間的距離公式.【思路點撥】A點坐標P點坐標求|PA|PF|PA|【規(guī)范解答】選B.由拋物線方程，可得準線l方程為：.設點A坐標為（-2,n）,.P點縱坐標為4.由，P點坐標為（6，4），|PF|PA|6（2）|8，故選B.4.（20xx·山東高考文科·9）已知拋物線，過其焦點且斜率為1的直線交拋物線于，兩點，若線段的中點的縱坐標為2，則該拋物線的準線方程為（） （A） (B) (C) (D)【命題立意】本題考查拋物線的性質(zhì)及直線與拋物線的位置關(guān)系，考查了考生的分析問題、解決問題能力和運算求解能力.【思路點撥】利用點差法先求出的值，再求拋物線的準線方程.【規(guī)范解答】選B.設，則因為，兩點在拋物線上，得， ， - 得 .又線段的中點的縱坐標為2，即，直線的斜率為1，故,因此拋物線的準線方程為【方法技巧】弦中點問題1.對于弦中點問題常用“根與系數(shù)的關(guān)系”或“點差法”求解,在使用根與系數(shù)的關(guān)系時，要注意使用條件是2.在橢圓中，以為中點的弦所在直線的斜率.3.在雙曲線中，以為中點的弦所在直線的斜率.4.在拋物線中，以為中點的弦所在直線的斜率.5.（20xx·湖南高考理科·5） 設拋物線上一點P到y(tǒng)軸的距離是4，則點P到該拋物線焦點的距離是（ ）(A)4 (B)6 (C)8 (D)12【命題立意】本題考查拋物線的定義.【規(guī)范解答】選B.點P到y(tǒng)軸的距離是4，延長使得和準線相交于點Q，則PQ等于點P到焦點的距離，從而PQ=6，故選B.6.（20xx·安徽高考文科·12）拋物線的焦點坐標是 .【命題立意】本題主要考查拋物線方程及其焦點，考查考生對拋物線方程理解認知水平. 【思路點撥】方程為標準形式 確定焦距P 確定焦點坐標 .【規(guī)范解答】拋物線，焦點.【答案】7.（20xx·浙江高考理科·13）設拋物線的焦點為，點.若線段的中點在拋物線上，則到該拋物線準線的距離為_.【命題立意】本題考查拋物線的相關(guān)知識.【思路點撥】先求出拋物線的焦點F，計算出點B的坐標，代入到拋物線方程，解出，從而可求出拋物線的方程，點B的坐標及準線方程.【規(guī)范解答】拋物線的焦點坐標為F，F(xiàn)A中點在拋物線上，拋物線的準線方程為，點B到該拋物線準線的距離為.【答案】8（20xx·湖南高考理科·4）過拋物線的焦點作斜率為1的直線與該拋物線交于兩點，在軸上的正射影分別為若梯形的面積為，則 【命題立意】以拋物線為載體，考查直線和圓錐曲線的關(guān)系，本題還考查了學生的運算能力.【思路點撥】直線和圓錐曲線聯(lián)立得一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系【規(guī)范解答】設直線方程為y=x+，結(jié)合得到x2-2px-p2=0，而梯形的面積=，p=2.【答案】2【方法技巧】關(guān)于直線和圓錐曲線的問題，常有三條思路：一是利用定義；二是點差法；三是利用根與系數(shù)的關(guān)系.9.（20xx·福建高考文科·9）已知拋物線C：過點A （1 , -2）.（1）求拋物線C 的方程，并求其準線方程.（2）是否存在平行于OA（O為坐標原點）的直線L，使得直線L與拋物線C有公共點，且直線OA與L的距離等于？若存在，求直線L的方程；若不存在，說明理由.【命題立意】本題考查直線、拋物線等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查函數(shù)方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸轉(zhuǎn)化思想. 【思路點撥】第一步用待定系數(shù)法求出拋物線方程及其準線方程；第二步依題意假設直線l的方程為，聯(lián)立直線與拋物線的方程，利用判別式限制參數(shù)t的范圍，再由直線OA與直線l的距離等于列出方程，求解出t的值，注意判別式對參數(shù)t的限制. 【規(guī)范解答】（1）將代入，得，故所求的拋物線方程為，其準線方程為. （2）假設存在符合題意的直線，其方程為，由得.因為直線與拋物線C有公共點，所以22-4×1×（-2t）=，解得.另一方面，由直線OA與直線的距離等于可得.由于所以符合題意的直線存在，其方程為.【方法技巧】在求解直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中的相交弦問題時，我們一定要注意判別式的限制.因為拋物與直線有交點，注意應用0進行驗證可避免增根也可以用來限制參數(shù)的范圍.10.（20xx·浙江高考文科·22）已知m是非零實數(shù)，拋物線（p>0）的焦點F在直線上. （1）若m=2，求拋物線C的方程.（2）設直線與拋物線C交于A,B，A,的重心分別為G,H.求證：對任意非零實數(shù)m,拋物線C的準線與x軸的交點在以線段GH為直徑的圓外.【命題立意】本題主要考查拋物線幾何性質(zhì)，直線與拋物線、點與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，同時考查解析幾何的基本思想方法和運算求解能力.【思路點撥】（1）寫出拋物線的焦點坐標代入到直線方程中可出求.（2）把點在圓外轉(zhuǎn)化為點到圓心的距離大于半徑.【規(guī)范解答】(1)因為焦點F(,0)在直線l上，得.又m=2,故.所以拋物線C的方程為.（2）設A(x1,y1) , B(x2,y2)，由消去x，得y22m3ym40.由于m0，故(-2m3)2-4×1×(-m4)4m64m40，且有y1y22m3，y1y2m4.設M1，M2分別為線段AA1，BB1的中點，由于可知G（），H（），所以所以GH的中點M為設R是以線段GH為直徑的圓的半徑，則4.設拋物線的準線與x軸交點N，則.故N在以線段GH為直徑的圓外.【方法技巧】（1）設而不求思想在解決圓錐曲線問題時較常用，一般設出后，通過聯(lián)立方程組，消元，利用根與系數(shù)的關(guān)系，得到（或），再整體代入.（2）點與圓的位置關(guān)系問題，一是看點到圓心的距離；二是代入到圓的方程中驗證.